數學教學如何讓學生“想得到”

摘要：數學學習的最高層次是知何由以知其所以然，即“想得到”。已有知識、一般觀念（或者說基本思想方法、研究“套路”）以及最終目標、差異消除等，都是“想得到”的重要影響因素。數學教學中，要讓學生從已有知識出發，運用一般觀念，自主探究發現新的知識;從最終目標出發，實現差異消除，自主探究得到解題思路。這樣，學生才更能“想得到”。

關鍵詞：數學教學;“想得到”;學會學習;知識發現;問題解決

數學學習有三個遞進的層次：知其然，即知道是什么;知其所以然，即知道為什么;知何由以知其所以然，即知道怎么想到。它們分別指向記住、懂了、會了。顯然，最高的層次即“想得到”，是培養自主學習能力（“帶得走”的素養）的關鍵。那么數學教學中，如何讓學生“想得到”呢？已有知識、一般觀念（或者說基本思想方法、研究“套路”）以及最終目標、差異消除等，都是“想得到”的重要影響因素。因此，要讓學生通過自主探究，體會到它們對“想得到”的作用。本文從知識發現教學與問題解決教學兩個方面舉一些案例來說明。

一、知識發現“想得到”：基于已有知識，運用一般觀念

數學知識之間充滿聯系。新知識不是從天而降的，而是以舊知識為“生長點”與“延伸點”，在一般觀念的指引下得到的。知識教學中，教師不能告知或預設知識結果，而要讓學生從已有知識出發，運用一般觀念，自主探究發現新的知識。這里的一般觀念通常包括從一般到特殊的演繹、從特殊到一般的歸納以及各類數學對象（各個數學領域）研究“套路”的類比遷移。

例如，教學“完全平方公式”時，教師通常這樣引導學生發現公式：（1）讓學生用兩種方法計算如圖1所示的正方形的面積;（2）讓學生從數到字母、從特殊到一般逐步計算（m+2）2、（3+2b）2、（2m+3n）2、（a+b）2。這樣的教學雖然沒有直接告知，但是已經預設了結果，過度牽引學生按照教師的指令操作，使學生缺少探索的空間，雖然“做得到”，但是“想不到”。比如，這樣的正方形哪里來的？為什么要計算這些式子的結果？

實際上，完全平方公式等乘法公式是多項式乘法的特例。學生前面已經學習了多項式的乘法，完全可以由此出發，運用從一般到特殊（演繹推理）的一般觀念，自主探究發現完全平方公式。具體教學設計如下石樹偉.數學課堂教學立意的“層次”“關系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構引發的思考[J].數學教育學報，2013（1）：74-76。：

1.前面已經學習了多項式的乘法，能說說運算法則嗎？運算的依據是什么？

2.（x+b）（x+d）可以利用公式直接寫出結果，它是（a+b）（c+d）在a=c=x時的特例。（給出“先行組織者”，讓學生更容易“想得到”。）在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，你認為還有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手讓學生探究，學生的結論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式。）

3.今天我們主要研究完全平方公式，完全平方公式有什么特征？請用自己的語言表述公式。

再如，教學“三角形的中位線定理” 時，教師通常這樣引導學生發現定理：（1）讓學生按步驟取中點、畫中位線、測量角度和長度、發現結論，然后證明結論;（2）讓學生動手操作，將三角形紙片剪拼成平行四邊形（如圖2所示），從而引出三角形中位線的概念，發現三角形中位線的性質（定理）并得到證明的思路。這樣的教學依然存在過度牽引的問題，使學生雖然“做得到”，但是“想不到”。比如，為什么要測量角度和長度？為什么要將三角形剪拼成平行四邊？

實際上，學生對等邊三角形（如圖3所示）和等腰直角三角形（如圖4、圖5所示）等特殊的三角形比較熟悉，從中發現三角形中位線的性質也比較容易（當然，從圖3中不太容易想到中位線與第三邊的長度關系）。因此，可以讓學生由此出發，運用從特殊到一般（歸納推理）的一般觀念，自主探究發現（猜想）三角形的中位線定理，然后嚴格證明。王玉宏.在數學知識學習中培養創新思維——以三角形中位線的教學為例[J].數學通報，2017（2）：2629。

又如，教學“平行四邊形的性質”時，教師通常直接要求學生將平行四邊形繞其中心旋轉180°，觀察哪些點、線段、角重合，從而依次發現其關于邊、角、對角線的性質。這樣的教學依然存在探究空間過小的問題，使學生雖然“做得到”，但是“想不到”。

而實際上，我們可以引導學生基于對性質的理解，從已經學過的三角形性質出發，總結圖形性質研究的一般“套路”，再運用這樣的一般觀念，自主探究發現平行四邊形的性質。具體教學設計如下：

1.性質是指事物內部元素之間穩定的聯系。（給出“先行組織者”，讓學生更容易“想得到”。）一般三角形的性質有哪些？是從哪些方面來研究的？（如三角形的內角和為180°，任兩邊之和大于第三邊，外角等于不相鄰的兩個內角的和，三條高交于一點，等腰三角形“三線合一”等，是從三角形的組成要素、相關要素的數量和位置關系上來研究的。）

2.那么，平行四邊形的性質可以從哪些方面來研究？（從平行四邊形的組成要素和相關要素——邊、角、對角線之間關系的角度研究。）

3.前面研究過一般的四邊形，你是怎么研究的？（將四邊形轉化為三角形。）根據這些方法與經驗，請嘗試研究平行四邊形的性質。

二、問題解決“想得到”：圍繞最終目標，實現差異消除

問題解決和知識發現主要的不同在于，問題解決時往往有一個明確的目標，而知識發現時往往目標不夠明確。解題教學中，教師不能告知或預設解法結果，也不能簡單歸類題型、套用解法，而要讓學生從最終目標出發，實現差異消除，自主探究得到解題思路。這里的差異消除，指的是消除最終目標和已知條件或已有知識之間的差異，基本手段是轉化。

例如，教學“解方程x-14-1=2x+16”時，不應讓學生套用解一元一次方程的一般步驟（去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1等），而要讓學生先明確解方程的最終目標（得到“x=a”的形式），再分析已知方程與最終目標的差異（如兩邊都有未知數和常數、未知數和常數作為整體在參與運算等），思考如何（依據什么）轉化可以消除差異（如移項、去分母和去括號等）。由此，學生便能自己想到解方程的步驟（知道解法步驟是怎么來的）。

再如，“證明三角形的中位線定理”的教學。發現（猜想）了三角形的中位線定理后，學生便有了證明的目標。教學中，可以讓學生從這個目標出發，分析其與已知條件或已有知識的差異。學生從已知條件考慮，會發現“平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”的目標與“三角形”“兩邊中點”的條件差異較大;而從已有知識考慮，會發現目標與“對邊平行且相等”的平行四邊形性質差異較小。由此，學生可以想到將中位線延長為原來的兩倍，構造待證的平行四邊形（如圖2中的DBCF）。然后，由這個新的目標出發，分析其與已知條件的差異，學生可以發現“中位線延長為原來的兩倍”“一邊中點”的條件決定了一個平行四邊形（如圖2中的ADCF），從而“另一邊中點”的條件又決定了一個平行四邊形，即上述新的目標。如此，學生便找到了證明三角形的中位線定理的思路。

又如，有這樣一道題：

如下頁圖6，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P 作PE⊥PA，交CD所在直線于E。

（1）在圖中找出一對相似三角形，并說明理由;

（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍。

作為鋪墊，對第（1）問，易得△ABP∽△PCE。

教學第（2）問時，可以讓學生從“求m的取值范圍”這個目標出發，分析其與已知條件的差異。學生會發現“點E總在線段CD上”這個條件蘊含著“CE≤CD=1”這個不等關系，與目標的差異最小。進而，發現在梯形ABCD中，點E隨點P的運動而運動，點E的位置（CE長）由點P的位置（BP長）決定。于是，想到利用△ABP∽△PCE，得到ABPC=BPCE，進而得到CE（y）與BP（x）之間的函數關系：