以《函數的奇偶性》為例探析高中數學概念課教學

【摘要】本文以《函數的奇偶性》為例，論述高中數學概念課教學途徑，從“初識概念”“認識概念”“理解概念”“總結概念”等四個維度，結合教學實踐進行具體闡述，以期達到提升高中數學教學效果，實現學生核心素養提升及教師專業水平發展的目標。

【關鍵詞】高中數學 概念課 《函數的奇偶性》 教學策略

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）02-0135-03

數學概念是數學理論的奠基石，要想提高數學素養，必先掌握數學概念，以此為基礎展開各種數學實踐。數學概念課的教學策略研究是為了運用概念解決實際問題，以此提高學習者的數學學科核心素養，為其今后的發展打下良好的基礎。

高中數學概念多且復雜，教師在進行概念教學時，需要適當考慮數學概念的發生過程，創設并有效依托具體情境，著重關注抽取概念特征的過程。在從情境中抽取概念內涵的過程中，教師要不斷提問、質疑，通過言語引導學生感知概念，讓學生體驗概念產生的過程，幫助學生學會從具體情境感知概念，提高學生的思維能力。筆者根據多年來的教學實踐，以高中數學必修1第二章《函數的奇偶性》為例，以增強學生參與和交流為目標，探索符合高中數學教學要求的概念課的教學目標，以期達到提升高中數學教學效果，實現學生核心素養的提升以及教師專業水平的發展。下面筆者從“初識概念”“認識概念”“理解概念”“總結概念”等四個維度進行闡述，呈現高中數學概念課教學實施的策略。

一、初識概念——依托具體情境，獲得初步感知

學習一個新的數學概念，最好是從實際生活中的問題開始。教師可以創設與此概念相關的情境，提出相關數學問題，再展示與此概念有直接關聯或特殊意義的例子，讓學生初步認識概念，獲得初步的感性認識，對這個新概念有初步的理解。在本課例中，筆者先展示與本課數學概念緊密聯系的對稱的圖片（如圖1所示），而且這些圖片也是生活中比較常見的，利用兩個問題引導學生歸納這些圖片的特征。

問題1：你能找出這一組圖片的共同特征嗎？

問題2：你能找出哪些圖形是軸對稱或中心對稱嗎？你能找出對稱軸或對稱中心嗎？

設計意圖：通過生活中常見的例子使學生感知對稱，同時引導學生學會用數學思維去觀察生活中的事物，順利地引入課題。

接著，筆者利用平面直角坐標系把這些圖片引入數學領域，引導學生發現這些圖片是關于y軸或原點對稱的。

筆者從之前展示的圖片中，找出一個關于y軸對稱的圖形和一個中心對稱圖形，并在平面直角坐標系中展示出來，讓學生注意觀察，分別找出它們的特征，如圖2、圖3所示。學生很快發現，第一個圖形是軸對稱圖形，關于y軸對稱，第二個圖形是中心對稱圖形，關于原點對稱，兩種對稱的圖象在y軸上的射影都是關于原點對稱的。

設計意圖：通過這兩種對稱，讓學生感知軸對稱和中心對稱的特點，它們在x軸上的射影是關于原點對稱的，逐步向新課靠近，為新課教學做好鋪墊，同時也讓學生感知這節新課是與對稱有關的。

二、認識概念——自主探索，概括概念

在教學實踐中，有部分教師將概念引入課堂就認為已經完成了這個概念的教學，這是錯誤的。要想讓學生有更深入的理解，教師還需要引導學生進行自主探索，讓他們自己概括導出概念，從而更深刻地認識概念。教師可以帶領學生一起理順概念的脈絡，挖掘概念的內涵和外延，分析重點、難點等。

在本課例中，學生已經通過之前的學習找出了圖片中的對稱關系，對對稱的概念有了感性認識。接著，筆者通過兩個具體例子，引導學生進一步認識概念。

教師作出函數y=x2圖象（如圖4所示），再引導學生觀察表1，找出函數的特點。

學生經過觀察，發現有以下等式成立。

f（-1）=f（1）=1.

f（-2）=f（2）=4.

f（-a）=f（a）=a2.

進而猜想：f（-x）=f（x）.

教師作出函數y=[x]的圖象（如圖5所示），再引導學生觀察表2，找出函數的特點。

學生經過觀察，發現有以下等式成立。

f（-3）=f（3）=3.

f（-2）=f（2）=2.

f（-1）=f（1）=1.

由此猜想：當自變量x在定義域內任取一對相反數時，相應的兩個函數值相等，即f（-x）=f（x），且圖象關于y軸對稱，這樣稱這個函數為偶函數。所以y=x2、y=[x]是偶函數。

以上是從具體函數來引出偶函數的概念，下面要從特殊到一般引出偶函數的概念。經過學生回答及教師補充，得出偶函數的概念及其特征。

偶函數概念：設函數f（x）的定義域為D，如果對于[?]x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），則這個函數y=f（x）叫做在D內的偶函數。

同理，得出奇函數的概念：設函數f（x）的定義域為D，如果對于[?]x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），則這個函數y=f（x）就叫做在D內的奇函數。

得出奇偶函數的概念后，教師再和學生進一步理清概念的脈絡，挖掘概念的內涵和外延，分析重點、難點，突出思想方法等，很多教師往往忽略這一步而直接進入例題講解，造成學生對概念理解不清。

筆者帶領學生理清概念脈絡，得出如下結論。

（一）如果一個函數y=f（x），x∈D具有奇偶性：它的定義域一定是關于原點對稱，即對于[?]x∈D，則-x∈D。

（二）若y=f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）成立，其圖象關于原點對稱;若y=f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）成立，其圖象關于y軸對稱。

（三）如果一個函數y=f（x），x∈D具有奇偶性，那么這個函數y=f（x），x∈D是奇函數或偶函數，是函數的整體性質。

（四）一個函數y=f（x），x∈D可以既是奇函數也是偶函數，也可以不是奇函數也不是偶函數，簡稱為非奇非偶函數。

這樣，學生進一步明確函數奇偶性的概念，不論從數學符號的角度，還是從圖象的角度，都有了清晰的認識，消除了心中疑慮。

三、理解概念——借助實戰演練，論證概念

學生進一步認識數學概念之后，需要理解這個概念。筆者認為，教師借助實戰演練，與學生合作探究論證概念，是一個很奇妙的過程，師生均可以感受到這個概念產生、解決問題的過程，從而感受科學探究帶來的成就感。

借助實戰演練具體來說就是通過與此概念相關的具數學實例進行練習，進一步理解和鞏固數學概念的內涵和外延。應用數學概念解決生活生產中的數學問題是數學概念教學的主要目標，也是一個重要環節。在此過程中，最好能讓學生先體驗，找到方法和易錯點，師生再共同總結這個環節是否成功，從而促進學生對數學概念的理解，提高學生的解題能力。

在本課例中，通過前面學習，學生已經深刻認識了函數奇偶性概念，接下來筆者與學生一起論證概念，主要是通過例題講解和練習，一共有兩種題型：題型一是用定義判斷下列函數的奇偶性，師生共同完成，并總結解這一類題型的步驟，即一看定義域是否關于原點對稱，二計算f（-x）=±f（x）是否成立，三判斷函數的奇偶性，得出結論;題型二是根據函數圖象判斷函數的奇偶性，主要考查圖象對稱性及定義域是否關于原點對稱。

四、總結概念——基于已有認知，鞏固概念

高中數學教師在進行概念課教學時，還應在一個章節教學結束后，引導學生基于已有認知，理順知識之間的關聯，建立概念間的聯系，組織和更新已學過的概念，使已學知識條理化、系統化，進一步鞏固概念，從而實現將課本中的知識轉變為自身的能力，實現知識的遷移與應用，為提高數學素養打下堅實的基礎。另外，教師除引導學生通過實例鞏固外，還可以通過反例、錯解等引導學生進行辨析，這樣的教學對鞏固數學概念也有很大的幫助。

本課例中，在完成例題及練習后，師生共同小結，學生講述，教師補充，獲得結果如表3所示。

在本課例的最后，教師可以與學生一起進行反思，達到鞏固所學數學概念目的。

第一，本節課的重點是函數奇偶性的概念及對函數奇偶性的判定。對剛進入高中的新生來說，由于初中數學學習更注重具體數學運算，因而他們的數學邏輯推理能力較弱，很多高一學生還弄不清代數形式的證明。因此，本課的學習難點是函數的奇偶性的證明。教學的關鍵是通過具體生活情境，結合直觀的圖形，充分應用數形結合的數學思想，讓學生從感性認識轉變為理性認識，真正掌握數學概念的內涵。

第二，強調函數的定義域D關于原點對稱是這個函數具有奇偶性的必要條件，在判定函數的奇偶性時，首先應該求出函數的定義域。

至此，才算完成函數奇偶性概念的講解：從生活中的情境找出對稱圖象，在直角坐標系中展示圖片，得出對稱關系;再從特殊函數引出關系，得出一般的函數奇偶性概念;最后歸納總結，鞏固概念，形成數學素養，獲得解題的一般方法。

高中數學概念課的教學方法多種多樣，但是其教學目標是一致的，即要通過教學使學生明確以下內容：第一，要明確高中數學概念產生背景、發展過程及形成名稱，此概念主要討論的對象是什么，不能模棱兩可;第二，概念中有哪些規定和限制的條件;第三，概念表述的語言有何特點;第四，用數學符號如何表達，與其他概念比較，有沒有容易混淆的地方，應當如何加以區別;第五，此概念有沒有等價的表述，是怎樣表述的;第六，運用此概念能解決哪些實際的數學問題。

本文以《函數的奇偶性》概念課教學為例，創設合理的情境，引導學生參與學習，在潛移默化中培養和提高學生的數學學科核心素養。在高中數學概念課的教學中，教師要選擇適當的教學方法，創造性地使用教材，激發學生的興趣愛好，使其愛上數學，最終達到認識數學思想和數學概念本質的目的，實現學生核心素質的提升以及教師專業水平的發展。

參考文獻

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作者簡介：江妙浩（1977— ），廣西南寧人，碩士研究生，一級教師，研究方向為數學教育。

（責編 劉小瑗）