試卷講評貴在“評”中“悟”

[摘要] 試卷講評是重要的糾錯與思維提升的機會。教師可以通過創設認知沖突，引發學生探究的興趣：在“為什么會錯”的沖突中，經由自我否定，實現自主建構;在“為什么做不下去”的沖突中，借由“相互比較”，實現解題方法的自我領悟，從而逐步學會思考。

[關鍵詞] 試卷講評;認知沖突;學會思考

試卷講評課是一種比較特殊的課型，也是寶貴的糾錯與思維提升的機會。但在平常的試卷講評中，我們經常發現教師講解是苦口婆心的，學生聽講是心不在焉的，講評效果十分低下。對于試卷來說應如何講評才能更加有效呢？本文試著闡述一定的理解和做法。

一、試卷講評：以“評”促“悟”的好時機

其實，學生檢測成績偏低主要是基于兩個原因：

（1）出現知識性錯誤;（2）面對復雜化的問題情境不能有效地制定出解題方案。在日常學習中，學生往往不太在意這些，但當檢測中出現問題后，他們往往會產生認知沖突：為什么會這樣？因此試卷講評就是利用學生這種原生的認知沖突，促進學生經由自我領悟，實現自主建構、思維提升的課堂目標。

1.對于知識性錯誤，關鍵在于引導學生在“自我否定”中自主建構

建構主義學習觀告訴我們：學習不是學生對老師知識的全盤接受，而是以學生已有知識、經驗為基礎的自主建構。而“糾錯”則是對認知的自我否定，它對應于認知過程中的順應。糾錯的主體是學生自己，而不是老師。因此，簡單的外在評價或老師對錯因的直接解說都不能替代學生的內在理解，學生的錯誤也不可能單純依靠正面示范和反復練習來得到糾正。相反，引導學生主動地發現錯誤則可能是明智之舉，這既有利于學生理解錯因，也有利于學生重建正確解答，從而有效地防止此類錯誤的再現。

2.對于解題策略問題，關鍵在于引導學生在相互比較中學會思考

不會思考、分析能力弱，面對復雜化的問題情境不能有效地制定出解題方案，這是數學檢測中最為常見的問題。但學生的數學解題分析能力卻不是教師講出來的，而只能是學生自我發展出來的：只有通過方法論的重建，才能使方法對于學生而言真正成為“可以理解的”“可以學到手的”和“可以加以推廣應用的”。在對學生的解題過程進行分析之后，我們可以明確感受到：元認知水平的高低也是成功的解題者與不成功解題者的一個重要區別所在，并且在事實上構成了決定解題活動成功與否的一個重要因素。因此，方法論的重建和元認知的滲透是提高學生解題的有效途徑。

事實上，試卷講評課恰好為師生提供了一個寶貴的時機：多種方法的比較，多種問題的比較。在這種相互比較中，在“我為什么做不下去”的認知沖突當中激發起學生積極的心向，使其在對比中逐步學會思考：體驗方法的重構過程，體驗元認知自我監控過程。

二、創設沖突：以“評”促“悟”的好方法

如何利用好學生原生的認知沖突，從而引發學生自我領悟呢？事實上，檢測中的問題與錯誤本身就會引發學生的認知沖突，因此試卷講評的主要任務是通過學生自暴矛盾——為什么會錯？為什么做不下去？來營造一種外在的氛圍，引發學生認知上的不平衡，產生自我否定的積極心向，從而激發追求正確理解與深入思考的念想。

1.在“為什么會錯”的自我矛盾中，領悟正確的邏輯關系，建立正確認知

糾錯是自我否定，而自我否定是以自我反省，特別是內在的觀念沖突作為必要前提的。因此，糾錯的關鍵就在于提供適當的外部環境來激發學生的觀念沖突。老師可以在順應學生思路的基礎上使其自然地推演出矛盾，從而營造這種外部環境引發學生形成“為什么會錯”的認知沖突。

[案例1]在△ABC中，已知，，求CosC.

[典型錯誤描述]

CosC=-Cos（A+B）=SinA·SinB-CosA·CosB=

或.

上述錯誤中我們發現，在△ABC中，SinA>

SinBA>B，由A是銳角可知，B是銳角。錯解

中忽略了對B角的挖掘，從而誤以為有兩解。要讓學生主動認識到這個解法有錯，老師可以動員學生進行逆運算，即在△ABC中，已知，，

求SinB。事實上，可算出此時。

這時，學生將會很著急地去查找原因。

[案例2]已知如下兩個命題，p：不等式x2-x-12>0

的解集是{x│x>4};q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x<-3}。寫出復合命題p或q的形式。

[典型錯誤描述]p或q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x>4或x<-3}。

對于這一道題，若讓老師直接向學生解說此題錯誤的原因，顯然不容易說清楚，即使老師認為說得明白了，學生也不一定能深刻理解。怎么辦呢？不妨順應學生的思路，假設這種寫法是正確的，則p或q為真。這樣，p假q假p或q真，這與真值表有矛盾。這樣，在矛盾的強烈激蕩下，學生就會產生糾錯的積極心向了。

試卷講評課中僅僅講出正確的答案，而沒有提供給學生一個辨認錯誤、建構正確認識的講評是無效的。因此，我們要創設認知沖突，讓學生自主去領悟為什么錯，怎樣才正確，在此過程中，不同的思維之間產生了新的碰撞，讓學生進一步理解了本質，也領悟出了知識背后的邏輯關系。

2.在多種解法的比較中，領悟思維的靈活性，學會思考

思維的靈活性就是學生會從多個角度來考察問題，能夠在事物的多元表征中選擇出最優化的、最適合于自己的解題方法。因此，對于試卷中經典的一題多解現象，教師要格外重視，要充分發揮它的作用，因為它給學生提供了相互比較的時機，在“我為什么做不下去”的認知沖突下，激發出學生積極探究的心向。

對于試卷中經典的一題多解現象，教師在組織講評時，一方面要讓學生在理解別人的解法后，深刻去理解某一知識的多元表征，實現多元表征之間的相互轉換;同時更要通過學生相互交流、討論，實現思維的充分交互，使得學生可以在賞析別人智慧的同時學會思考。

[案例3]如圖所示，已知圓C：（x-3）2+（y-4）2，直線l1：y=k（x-1），若l1與圓相交于P，Q兩點，線段PQ中點為M，A（1，0），l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，問AM·AN是否為定值，若是求出定值，如不是，請說明理由。

[案例描述]在學生的解法中主要是兩種，一種是直接計算AM·AN=f（k），最后消去k，AM·AN就是常數，另一種是將AM·AN=-AM·AN，簡化了計算。大部分學生選擇了第一種解法，但是做到了一半就放棄了，還有部分學生雖然堅持到了最后，但結果錯了。當然，本題還有一種幾何方法，即利用三角形相似來解題，沒有學生想到。

[案例分析]本題的已知條件敘述方式比較隱晦：A，M，N三個點分別從三個角度描述，掩蓋了三點共線的信息，直線AC與l2垂直也需要學生主動發現，才可能辨識出相似三角形。這種敘述方式將大部分學生的思維限制在方法一的框架內難以變通。但也有少數學生為了減少現實的運算量，選擇跳出細節站在整體的高度思考問題，這樣可能就會產生好的思路。講評的關鍵是讓學生在欣賞別人的解法基礎上，理解別人是怎樣想的、為什么這樣想，并且體會到同一個量可以有不同的表達方式，不同的表達帶來不同的解題路徑、不同的計算長度，從而逐步建立多元表征的意識。

為了充分發揮這道題的價值，我們可以分為三個階段來組織講評：（1）逐步引導學生發現三種不同的算法;（2）組織討論——三種解法的比較;（3）組織討論——如何學會思考，特別是在條件較多、計算量明顯很大的情況下，如何靈活處理？

在解法比較環節，學生基本形成了共識：第一種解法順藤摸瓜，比較自然，符合大部分人的思維狀態，在緊張狀態下想一步算一步，一步一個腳印，扎扎實實地算，這種堅持算下去的態度很實在;第二種解法將距離表達為數量積，結構簡單了，便于化簡，但是難以發現三點共線現象;第三種解法最簡單，但是對解題者的要求更高：不僅要發現三點共線，直線AC與l2垂直，還要求解題者能夠整體地思考問題，在圖形的整體結構下展開類比聯想。

在討論“如何學會思考”環節，學生基本形成了共識：（1）要有強烈的分析意識與化簡意識：想找一種簡便方法是出發點，因此要觀察元素關系，這是破題的關鍵;（2）看出來才是王道：不僅僅要多觀察幾何元素之間的關系，還要多觀察式子結構的特點，以及元素之間的關系，這樣才有機會找到簡便方法;（3）學會自我監控：解題過程中如果一時看不出來，還可以重新觀察，尋找已有經驗，而不是盲目下手。

在這種講評中，教師沒有滿足于啟發學生僅僅是想出這些方法;而是將重點放在了讓學生在充分理解別人的做法后，去思考別人是怎樣想的，為什么這樣想，怎樣才能這樣想，從而獲得思維上的啟示：感受到化簡意識、觀察意識、自我監控意識的必要性;領悟了數形結合、觀察、嘗試、自我監控等解題活動的意義。

3.在多種問題的比較中，領悟事物的本質，學會思考

在試卷中有些題目具有特定的背景和明顯的規律性，因此，教師可以將其變更條件加以推廣，使得學生在不斷地探究中理解題目背后的知識背景，在多種問題的比較中，領略其中的思維規律，從而洞察一系列問題的背后本質，做到綱舉目張，舉一反三。

[案例4]已知橢圓的左、右頂點分別為A、

B，S點是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS

與直線分別交于M，N兩點。判斷以線段MN為直

徑的圓是否經過x軸上的定點？

[案例描述]絕大部分學生沒有計算下去，半途而廢，還有一部分學生沒有明確的思路。

[案例分析]顯然，本題的背景指向圓錐曲線的另

一種幾何本質，即是一個定值，其他的

定值現象都源于此。

為了讓學生更加深入地理解問題，在引導學生分析完試題后，教師將問題進行推廣，設計了一組變式題。

初步探究1：MS與NS的斜率之積是否為定值？點M，N的縱坐標之積是否為定值？

深入探究2：試求MN的最小值為多少？

拓展探究3：設直線l⊥x軸，且與橢圓交于P1，P2兩點，橢圓的左右焦點分別為F1，F2，AP1，BP2相交于點P，試判斷|PF1|-|PF2|是否為定值？

在這一組變式題的探究過程中，學生將體驗如何用函數觀點去求解定值問題，學會如何依據條件選擇算法，掌握兩種基本的處理點坐標的方法，同時也體驗到數形結合思想的重要性，領悟到探求事物規律背后的艱辛努力和理性精神。

總之，學生在檢測中對每一道題都是認真思考的，因此每一個問題的解答不論對錯，作為教師都要善待它，認識到它的意義與價值。錯的，應當分析它為什么錯，直接原因是什么？教師要思考如何創設認知沖突，讓學生建立起正確的概念。對于沒有做出來的也要分析原因：是沒有算對，還是意志力缺失，還是知識的表征不對？教師要在講評課中通過方法的對比與擇優引發學生的思考，從而逐步讓他們學會在不同表征中轉換，學會選擇適合自己的方法，從而逐步學會思考。當試題具有很好的背景，教師可以變更條件引導學生去探究，這樣既拓寬了知識面，又在探究過程中洞察了問題的本質，體會了思想方法。

正是基于以上想法，教師要把學生的思維作品——試卷展示出來，以他們的思維過程為教學的素材，實現在思考中學會思考，在評價與欣賞中體驗數學思維。正因如此，試卷講評重在評中悟。

[本文系江蘇省南京市教學研究室2019年度課題“認知學徒制教學：指向高中數學活動經驗的實踐研究”（項目編號：2019NJJK——L11）階段性研究成果]

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