提升初中生數學歸納推理素養的教學策略研究

【摘 要】對于學生發展而言，初中階段具有承上啟下的重要意義。提升歸納推理能力對于學生思維品質的發展和思考方式的優化大有幫助，其在學生實踐能力的提高和創新能力的發展中，也扮演著非常重要的角色。文章通過一系列教學策略，在初中常見的閱讀材料題的分析中滲透歸納推理素養的培養，以期提高初中生的歸納推理能力和意識。

【關鍵詞】初中數學;歸納推理素養;教學策略;閱讀材料題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）12-0096-03

當前時代要求教師培養學生的創新能力，而歸納推理是培養創新能力的重要方法。培養學生的數學歸納推理素養，不但可以使學生的思維更加活躍，還可以使學生的創新能力得到發展。學生的數學歸納推理素養的培養應該得到所有教育工作者的重視。

歸納推理是通過觀察、分析、聯想和概括等方法，對個別事物進行探索，獲得一般結論的推理類型。聯想是由一件事物想到另一事物的心理活動過程，是溝通未知事物與已知事物的橋梁，能夠達到化未知為已知的目的[1]。概括能力也是非常重要的數學能力。學者蔡金法先生認為：“數學概括能力是數學能力的核心[2]。”數學中的很多概念、定義、定理，如點、直線等概念及相關定理，都是通過數學概括得到的，要想揭示事物的本質規律，概括能力是必不可少的。因此學生的聯想能力和概括能力的培養對于提升學生的數學歸納推理素養同樣是非常重要的。

初中是學生各方面能力全面發展的階段，在這個階段，教師需要重視培養學生的歸納推理能力，使學生具備一定的歸納推理素養。一線數學教師對數學歸納推理素養的認知情況會直接影響到平常的教學活動。學生在日常學習活動中又會對教師的行為進行模仿。因此，教學活動如何開展、教學內容如何設計、教師是否重視數學歸納推理等，都會對初中生能否養成良好的數學歸納推理素養產生影響。

1? ?在歸納推理時，培養學生“理智上的勇氣”

“理智上的勇氣”就是一個人有勇氣有膽識，隨時準備對任何一個信念進行修正。在日常的數學活動中，學生往往會有一種思維定勢，即思考問題時總是會遵循頭腦中已經存在的思維路徑，特別是對于腦海中已經存在的知識，有一種盲目的信任。因此教師在歸納推理教學中，要打破學生的這種思維定勢。

【閱讀材料1】

有這樣一列數：11，31，41，61，71，101，111，131，141，151，161，171，181，191，同學們從這組數中能發現什么樣的規律呢？

分析：首先對這組數進行觀察分析，其具有什么共同特征呢？很多學生因為已有的思維定勢，會從前項與后項的差這個角度進行分析。他們首先發現前后項的差組成的數列是這樣的：20，10，20，10，30，10，20，10，10，10，10，10，10。然后，很多學生會專注于對前后項的差組成的數列所具有的規律進行分析，教師給學生充分的時間考慮過后，對學生發起追問：“差形成的數列存在某種規律嗎？”學生回答：“前面四項是有的，但是后面幾項是沒有的。”

學生在思維定勢的影響下，會將注意力集中在前后項的差組成的數列上，因此教師應該引導學生及時轉變想法，讓學生從數本身的特點來觀察。為此要提出問題：“可以發現這些數都有什么共同的性質呢？”學生回答：“可以發現數列中所有的數都是以1為個位。”然后教師再次追問：“還有什么發現呢？”此時教師的追問可以拓展學生的思維，使學生對之前的思考進行修正，從而發現每一個數都是素數。

評注：“理智上的勇氣”體現在當學生思考問題陷入思維僵局時，教師要及時引導學生對自己的思考方式和方向進行修正，讓學生時刻準備對自己已有的猜想或信念進行修正。在以上案例中，如果學生一直用之前的經驗來思考，問題就無法解決。

2? ?在歸納推理時，培養學生“理智上的誠實”

如果因為某個猜想是自己冥思苦想得到的而固執地堅持，那么這種行為就是不誠實的，也是不成熟的。因此教師應該引導學生形成這樣一種品格或者態度：如果存在一種理由能夠改變信念，就應該對這一信念作出改變。

【閱讀材料2】

費馬根據n=1，2，3，4的情況，提出“形如2+1（n取正整數）的數是素數”這個猜想，那么這個猜想是正確的嗎？

分析：通過分析問題，可以知道這個猜想是費馬通過觀察四個特例提出來的，即將n=1，2，3，4分別帶入2+1中，可以發現計算得到的結果都是素數。那么當n為其他數時，這一猜想仍舊成立嗎？帶著這個疑問，不妨將n=5帶入2+1中，此時2+1=232+1=641×6700417。這個數并不是素數，那么通過這樣一個反例，就可以推翻費馬的猜想。

評注：費馬提出這個猜想以后，歐拉通過舉出一個反例，將此猜想否定了。在歸納推理的過程中，如果存在一個理由能夠推翻已有的結論，就必須誠實地對已經得到的猜想進行修正。因此教師在教學活動中，要注意引導學生善于利用反例，對一個猜想或者一般性命題進行反駁。

3? ?在歸納推理時，要求學生具有“明智的克制”

僅為追求最新、最流行的東西，而不經過嚴謹認真的考察，就輕易地改變某種信念，這種行為非常不明智。然而，從現實的角度來說，人們并沒有充分的時間與足夠的能力對所有的信念進行考察。因此波利亞認為比較明智的態度是：對于該做的事情，繼續推進;對存在的問題，暫時保留。

“理智上的勇氣”“理智上的誠實”和“明智的克制”是三種非常重要的品質，對歸納推理素養的培養至關重要。那么在日常的數學教學活動中，應該如何正確地對學生的這三種品質進行培養呢？下面筆者將通過一道例題的講解來說明。

【閱讀材料3】

設an為下述自然數N的個數：N的各位數字之和為n，并且各位數字只可以取1、3、4。求證：a2n為完全平方數。

分析：首先代入幾個簡單的值，從中發現規律，也就是n=1，2，3，……，8。學生據此可以算出：a1=1，a2=1=12，a3=2，a4=4=22，a5=6，a6=9=32。然后讓學生猜想一下a8的值應該是多少。大部分學生通過上面的數據進行分析，認為a8=42=16。這時，教師應該注意訓練學生的歸納能力，并進行追問：“此時的值就是a8的正確結果嗎？是否有同學想對此答案進行修正呢？”而后有學生通過計算發現a8=52=25，接著可以再次對學生進行追問：“可以發現新的規律嗎？”學生發現a2n恰好是斐波那契數相應項的平方。進而繼續追問：“那么這個結論是正確的嗎？”最后，學生通過繼續考察a10和a12的值，發現并沒有充分的理由去改變上面的結論，上述猜想可以初步認定是正確的。

評注：上述教學過程中，教師的層層設問引導讓學生在具體的數學問題中感受歸納的獨特魅力。教師應該時刻謹記，培養學生養成良好的歸納能力，最重要的就是使學生具備“理智上的勇氣”“理智上的誠實”以及“明智的克制”。這三種品質可以為學生的數學歸納推理素養的培養奠定基礎。

4? ?在歸納推理時，培養學生的啟發性聯想力

歸納推理通常是通過觀察開始的，要想獲得比較有意義的結論，首先，要對所觀察的事物比較熟悉，并且對其有興趣，對數學學科而言同樣如此;其次，在初中生數學歸納推理素養的培養中，引導學生學會觀察也非常重要;最后，學生在學會觀察以后，要從觀察中得到啟發和聯想，從而得到一般性的命題或者結論。那么如何培養學生的啟發性聯想力呢？筆者將其總結為以下三點：

（1）觀察數或者形;

（2）從中得到數或者形的相似之處;

（3）將其進行推廣，得到一般性命題或者結論。

下面筆者將通過一個例子進一步說明。

【閱讀材料4】

猜想大于9的奇數能否都可以用三個素數之和來表示。

分析：眾所周知，對于數而言，要想對它們有較好的理解，必須要學會區分奇數和偶數，并且理解什么是素數。理解上述數的相關知識以后，提出問題：大于9的奇數能否都可以用三個素數之和來表示？

例如77=53+17+7。再任意取一個奇數，如11，發現11=2+2+7，77和11都可以表示成三個素數的和。再如任意一個奇數461，461=449+7+5，它也可以表示成三個素數之和，并且461還可以表示成257+199+5。

以上77，11，461都是奇數，77，11，461拆出來的加數也都是素數。也就是對于上述的特例來說，三個素數之和是一個奇數，是成立的。那么其他任意一個大于9的奇數是否存在這種性質呢？

首先來看大于9的最小的奇數11，其滿足條件，再看超過11的奇數，可以發現：

13=3+5+5

15=3+5+7

17=2+2+13

19=3+3+13

21=3+5+13

當前所看到的這些個別的情況，至少可以得出一個一般性的命題，即任意一個大于9的奇數都可以表示成三個素數之和。這個猜想就是通過歸納推理得到的，也就是說它是由觀察所啟發的，由特殊的例子所得出的。

如上，由于證明這個猜想是正確的理由并不充分，因此這些論證的有效性是比較弱的。那么這個猜想是否正確，就還需要后續的證明。

評注：上述的問題主要運用歸納推理來解決，在歸納推理的過程中，運用了啟發性聯想。為了更好地培養學生的啟發性聯想力，筆者總結了上述歸納推理的一般步驟：

首先，通過觀察可以發現一些相似的性質，如發現53，17，7，25，7，449，5，257，199都是素數，77，11，461都是奇數，并且77=53+17+7，11=2+2+7，461=449+7+5，461=257+199+5四個等式也存在相似的地方。

其次，要經歷一個推廣的過程，即從77，11，461這些奇數擴展到所有大于9的奇數，從53，17，7，5，7，449，5，257，199這些素數擴大到所有素數，接著繼續推廣，可以得到一個一般的關系式：大于9的奇數=素數+素數+素數。

由此可以得出一個明確的一般性命題。需要注意的是，這個命題只是一個試驗性的猜想和推測。換句話說，這個命題并沒有被證明，它不可以被當作一個真理，它僅僅是通往真理的一個嘗試。然而，這個猜想與“事實”是有一些啟發性的聯系的。因此，可以大致得出歸納推理素養的一個關鍵能力是啟發性聯想。

歸納推理能力的發展，可以使學生的思維方式變得更加靈活，使其考慮問題的方式不再僵化，能夠促進學生發散性思維的形成。而學生發散性思維的發展有利于學生創新思維和創新意識的發展。歸納推理本身的特征使得學生在進行歸納推理的過程中，其創新意識也會得到發展和提高，因此培養學生的歸納推理能力，有利于培養出具有創新能力的人才。

【參考文獻】

[1]李江滔.聯想法在中學數學解題教學中的應用[J].中學數學教學參考，2015（30）.

[2]蔡金法.試論數學概括能力是數學能力的核心[J].數學通報，1988（2）.

【作者簡介】

季青（1995～），女，漢族，江蘇鹽城人，碩士，中小學二級教師。研究方向：初中數學教學。