Python教學(xué)中的遞歸函數(shù)教學(xué)設(shè)計

摘要：通過情景引入幫助學(xué)生對遞歸算法建立豐富的感性經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)遞歸的概念和應(yīng)用條件，最后通過對6個典型案例的分析總結(jié)，幫助學(xué)生掌握遞歸函數(shù)的設(shè)計方法，讓學(xué)生體會到遞歸算法解決問題的獨(dú)特和高效。文章還結(jié)合Python的Turtle圖像函數(shù)庫進(jìn)行遞歸作圖，用直觀的繪圖過程促進(jìn)學(xué)生對遞歸函數(shù)的理解和應(yīng)用，取得良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：Python;遞歸函數(shù);算法;教學(xué)設(shè)計;案例

中圖分類號：TP312? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）10-0129-02

1 引言

Python語言是高中信息技術(shù)必修課程，具有開源性，語言結(jié)構(gòu)和形式簡潔，非常適合作為中學(xué)生的編程入門語言。在Python的教學(xué)過程中函數(shù)占據(jù)著非常重要的地位，其中遞歸函數(shù)既是教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)。遞歸函數(shù)語句雖然比較簡捷，但遞歸算法的思想學(xué)生較難理解，且函數(shù)在執(zhí)行時又會調(diào)用自身，執(zhí)行過程復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)困難。

要理解遞歸函數(shù)，理解遞歸算法是基礎(chǔ)。而要理解遞歸算法的思想，必須對遞歸算法有形象具體的認(rèn)識。

2 直觀有趣的教學(xué)情景引入

教師在開始進(jìn)行遞歸算法的教學(xué)時，一定要先創(chuàng)設(shè)情景。通過生動有趣的情景來激發(fā)學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。算法教學(xué)內(nèi)容本身就比較抽象，如果教師不注重創(chuàng)設(shè)情景，教學(xué)過程就會顯得很枯燥。

遞歸函數(shù)的教學(xué)一般是通過斐波那契的兔子問題來引入的。斐波那契的兔子問題有趣但不夠直觀。事實上生活中還有更通俗易懂的遞歸的例子，如：讓學(xué)生朗讀童謠《從前有座山》，通過學(xué)生熟悉的童謠，讓學(xué)生輕松愉快地接受遞歸概念。也可以讓學(xué)生動手玩?zhèn)鹘y(tǒng)游戲“九連環(huán)”“漢諾塔”，通過實踐了解遞歸的過程。通過導(dǎo)入情境，幫助學(xué)生建立關(guān)于遞歸的感性經(jīng)驗，同時也有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3 遞歸函數(shù)概述

通過創(chuàng)設(shè)情景的鋪墊，讓學(xué)生有了充分的關(guān)于遞歸的經(jīng)驗，接下來教師就可以自然地引入遞歸的概念。

遞歸函數(shù)的典型特征是函數(shù)直接或間接調(diào)用函數(shù)本身。通過該特征，學(xué)生可以很容易學(xué)會判斷一個函數(shù)是不是遞歸函數(shù)。但學(xué)生往往不明白函數(shù)為什么要調(diào)用函數(shù)自身，不明白什么樣的問題可以用遞歸算法解決。

遞歸算法的“自己調(diào)用自己”是手段，其目的是把較大的問題不斷地分解成較小的問題，直到問題可以直接得到答案[1]。

采用遞歸函數(shù)解決問題需要符合三個條件：

（1） 原問題可以通過較小的問題來解決;

（2） 較小的問題與原問題有相同的解法;

（3） 有一個明確的結(jié)束條件。

4 通過案例分析學(xué)習(xí)促進(jìn)概念的理解

在理解了遞歸算法的解題思路并懂得了采用遞歸函數(shù)的三個條件后，還需要通過案例分析幫助學(xué)生進(jìn)一步理解應(yīng)用，把遞歸算法通過程序語言轉(zhuǎn)化為遞歸函數(shù)的程序代碼。

4.1 典型的案例1：遞歸法求累加

累加的一般形式為：acc （n） =1+2+3+…n。利用遞歸算法求累加，可表達(dá)為：

acc（n） = n+acc（n-1），n>1。acc（0）=0。

遞歸結(jié)束條件為：n<=1[2]。

在python中其遞歸函數(shù)的程序代碼可以這樣實現(xiàn)：

def acc（n）：? ?#定義累加函數(shù)acc

if n<=1：? ? #遞歸結(jié)束條件

return n

else：

return n+acc（n-1）? #調(diào)用函數(shù)自身

#調(diào)用遞歸函數(shù) 求1+2+3+…+10

print（acc（10））

4.2 典型的案例2：求階乘n！

求階乘：n！=n×（n-1）×（n-2）…×2×1= n×（ n-1）！

利用遞歸算法求階乘n！，可以把求n的階乘的問題轉(zhuǎn)化成求n-1的階乘的問題。遞歸結(jié)束條件為：n<=1。在python中其遞歸函數(shù)的程序代碼可以這樣實現(xiàn)：

def fact（n）：? #定義函數(shù)fact

if n<=1：? ?#遞歸結(jié)束條件

return n

else：

return n*fact（n-1）? #調(diào)用函數(shù)自身

#調(diào)用遞歸函數(shù)fact求20！

print（fact（20））

4.3 典型的案例3：斐波那契數(shù)列

fib（n）=fib（n-1）+fib（n-2），n>1。fib（1）=1;fib（0）=0

利用遞歸算法求斐波那契數(shù)列，可以將求fib（n） 轉(zhuǎn)化為求fib（n-1） +fib（n-2） 。遞歸結(jié)束條件為：n<=1。在python中其遞歸函數(shù)的程序代碼可以這樣實現(xiàn)：

def fib（n）：? #定義函數(shù)fib

if n<=1：? ? #遞歸結(jié)束條件

return n

else：

return fib（n-1） + fib（n-2）? #調(diào)用函數(shù)自身

print（fib（20）） #調(diào)用遞歸函數(shù)fib求斐波那契數(shù)列第20位的值

為了簡化程序便于學(xué)生理解，上述三個例程均默認(rèn)參數(shù)n>=0。

遞歸不但可以用于數(shù)值計算，也可以用于非數(shù)值計算的問題。Python 有繪圖功能強(qiáng)大的turtle（海龜作圖） 。將遞歸應(yīng)用于繪圖，可用簡單的代碼畫出繁復(fù)的圖形，特別能吸引學(xué)生的興趣，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解和應(yīng)用遞歸的思想。

4.4 典型的案例4：畫螺旋線

import turtle as t? #引入turtle庫

def spir（ len）：? #定義遞歸函數(shù)

if len > 0：? #遞歸條件

t.forward（len） #海龜畫出長為len的直線

t.right（45） #改變角度

spir（len - 1） #調(diào)用自身

#調(diào)用遞歸函數(shù)畫螺旋線

spir（100）

4.5 典型的案例5：畫樹枝

import turtle as t? ?#引入turtle庫

def 畫樹枝（枝長）：? ?#定義遞歸函數(shù)

if 枝長 > 30：? #遞歸條件

t.fd（枝長）;? ?t.rt（20）

畫樹枝（枝長 - 10）

t.lt（40）

畫樹枝（枝長 - 10）

t.rt（20） ;? ? t.up（）

t.bk（枝長）;? ?t.pd（）

# 畫樹枝主程序

t.up（）

t.left（90）

t.backward（250）

t.pd（）

#調(diào)用遞歸函數(shù)畫樹枝

畫樹枝（100）

4.6 典型的案例6：希爾伯特曲線雙遞歸

from turtle import * #引入turtle庫

def hilL（n）：? ?#左旋

if n==0： #結(jié)束條件

pass

if n>0：

right（90）

hilR（n-1） #調(diào)用右旋

forward（l）;left（90）

hilL（n-1） #調(diào)用自身

forward（l）

hilL（n-1） #調(diào)用自身

left（90）;forward（l）

hilR（n-1） #調(diào)用右旋

right（90）

def hilR（n）：? #右旋

if n==0：? #結(jié)束條件

pass

if n>0：

eft（90）

hilL（n-1） #調(diào)用左旋

forward（l）;right（90）

hilR（n-1） #調(diào)用自身

forward（l）

hilR（n-1） #調(diào)用自身

right（90）;forward（l）

hilL（n-1） #調(diào)用左旋

left（90）

width（3）? # 設(shè)置筆刷寬度

l=10? ? #步幅

hilL（4）? #調(diào)用遞歸函數(shù)，參數(shù)為曲線的階數(shù)必須為正整數(shù)

以上6個Python教學(xué)案例代碼簡單、設(shè)計精巧，難度由淺入深，十分有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解遞歸函數(shù)。特別是后面的三個采用海龜繪圖的例程，繪圖過程直觀生動，兼具啟發(fā)性和趣味性。

在教學(xué)過程中教師還可以將遞歸函數(shù)的執(zhí)行過程做成短視頻，讓學(xué)生通過短視頻觀察代碼的執(zhí)行過程，再上機(jī)編程調(diào)試代碼。上機(jī)時可提醒學(xué)生在執(zhí)行遞歸函數(shù)時觀察語句的執(zhí)行順序和變量的變化過程，有效加深對遞歸算法和函數(shù)調(diào)用過程的理解[3]。

如果有充足的時間，還可以讓學(xué)生分別用循環(huán)和遞歸解決同一問題，通過對比來進(jìn)一步理解遞歸的特點(diǎn)[4]。

5 總結(jié)與反思

學(xué)習(xí)程序設(shè)計的過程本質(zhì)上是將自己的具體經(jīng)驗、感性形象轉(zhuǎn)化為抽象的理論和概念的過程[5]。因為學(xué)生在生活中接觸遞歸算法的機(jī)會較少，所以教師首先要幫助學(xué)生建立充分的實踐體驗，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在此基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生對典型案例進(jìn)行觀察、分析、比較和判斷，讓學(xué)生通過歸納、總結(jié)理解遞歸算法，最后通過上機(jī)編寫、調(diào)試程序完成對遞歸函數(shù)的理解和應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 唐翠娥，陳小文.遞歸數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及算法設(shè)計教學(xué)探討[J].福建電腦，2019，35（4）：130-131.

[2] 譚浩強(qiáng).C語言程序設(shè)計[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3] 丁雪晶.C語言遞歸函數(shù)教學(xué)的設(shè)計與探討[J].電腦知識與技術(shù)，2018，14（16）：150-152.

[4] 劉瑞芳，曾海燕.遞歸算法的教學(xué)探討[J].現(xiàn)代計算機(jī)，2009，302（3）：72-73.

[5] 林東峰.中職VB課程中遞歸算法教學(xué)探索和思考[J].計算機(jī)光盤軟件與應(yīng)用， 2011（9）：213-214.

【通聯(lián)編輯：王力】

收稿日期：2021-06-10

作者簡介：蔡毅仁，中學(xué)高級職稱，本科學(xué)歷，長期從事中學(xué)信息技術(shù)教學(xué)，熟悉C++、Python，擅長計算機(jī)圖像處理。