注重類比猜想 提升解題能力

王炳炳

[摘 ?要] 試題教學不僅能鞏固學生所學知識，還能提高學生發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力. 文章以一道橢圓試題為例，從“自主學習，開啟思維”“差異分析，化繁為簡”“類比猜想，揭露本質”“合作探究，總結經驗”“總結提煉，能力提升”五個方面展開教學，并談一些思考.

[關鍵詞] 試題教學;類比猜想;自主學習

哈爾莫斯認為“問題是數學的心臟”. 試題教學不僅能鞏固學生所學知識，還能提高學生發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力. 但受綜合因素的影響，當今的試題教學仍存在“教師講得多，學生想得少”的現象，這種現象會消減學生研究問題本質的熱情. 為此，筆者在試題教學過程中，尤為關注類比猜想揭示問題本質的作用，本文以一道橢圓試題教學為例，從以下幾方面展開闡述.

[?]原題呈現

如圖1所示，平面直角坐標系xOy中，直線l：y=x與橢圓E：+=1（a>b>0）分別相交于點A，B，已知橢圓的離心率是，且AB=2，若點C，D是位于橢圓上非點A，B的兩點，直線AC與BD相交于點M，AD與BC相交于點N，連接點M，N.

（1）寫出橢圓E的方程;

（2）求證：直線MN的斜率是定值.

[?]學生解題情況分析

本班學生的認知與思維水平較高，具有一定的分析與解決問題的能力. 解決本題，第（1）問學生基本沒有做錯;第（2）問的分值為10分，但學生的得分率不高，本班53名學生的平均得分只有3.2分，僅有兩名學生完全答對. 這樣的結果有點出乎意料.

為了找出學生錯誤的根源，筆者對答卷進行了分析，發現大部分學生雖然有一定的解題想法，終究還是差了點火候. 大部分學生呈現出來的問題主要有：①未能找出直線AC和BC以及直線AD和BD斜率間的關系，使得運算繁雜;難以分別表達出點M，N的坐標，使得解題無法繼續;②雖然寫出了點M，N的坐標，卻無法直接精準地獲得MN的斜率;③忽略了直線AC，BC，AD，BD中，有直線的斜率不存在;④少部分學生雖然假設了點M，N的坐標，想以此為突破口直接獲得k，但因遇到障礙而放棄.

對學生存在的問題進行分析后，筆者對試題本身也進行了研究，發現本題不僅考查學生解決解析幾何問題應具備的常規思維，還蘊含著豐富的數學背景與思想，是一道具有可探索性的問題. 因此筆者特別利用一節課的時間，與學生一起去探索本題的內涵，著重帶領學生從類比推理的角度出發，揭露知識的本質，最大化地發揮本題的教學價值.

[?]教學簡錄

1. 自主學習，開啟思維

新課標一再強調學生才是課堂的主人，試題教學也應注重學生的主體地位，本題是學生小練中的一道題，學生對它已經有了一定的了解與思考. 為了培養學生的自主學習能力，筆者在課前將正確答案公布給學生，要求學生對照答案思考自己解題失敗的原因是什么，爭取在上課前能獨立表述本題的解答思路，并尋找到答案之外的解題途徑，這對啟發學生的數學思維有顯著作用.

師：本題的得分率較低，現在大家對本題的答案已經有所了解，哪位同學來跟大家分享一下解題思路？

生1：本題其實就是求直線MN的斜率，該斜率與點M，N的坐標有一定的聯系. 假設k，k分別為直線AC，AD的斜率→發現直線AC和BC以及直線AD和BD斜率間的關系→分別寫出直線AD，BC的方程→獲得點N的坐標（同理獲得點M的坐標）→獲得直線MN的斜率→對斜率不存在的情況進行驗證→獲得結論.

師：非常好！可見同學們在課前對本題已經做了詳細的了解，現在請大家說一說解決本題的過程中，有哪些求解過程特別值得注意，從中你們獲得了哪些體會？

生2：這是一道直線和橢圓的綜合應用題，解題時需要注意分類討論，切忌遺漏直線AC，BC，AD，BD斜率不存在的情況.

生3：在解題過程中，我雖然假設了生2所提到的四條直線的斜率，但要分別求出點M，N的坐標太困難了，因此沒能繼續做下去. 課前研讀答案時，我發現只要熟知橢圓的第三定義，就能很快找到直線AC和BC以及直線AD和BD斜率間的關系，問題便迎刃而解.

師：什么關系？

生3：如圖2所示，直線AC和BC斜率的關系為k·k=-=-.

師：此結論與我提供的答案一樣，大家還有其他方法嗎？

生4：設AC的點斜式方程，與橢圓E聯立方程組，先求出點C的坐標，再獲得BC的斜率.

師：這種方法雖然有點繁，卻是常規法. 從這位同學的表述中，發現一些熟悉的數學結論更容易打開我們的思維. 因此在日常學習中，我們要注重反思與總結，從真正意義上掌握一般性結論，為更好地解題奠定基礎.

2. 差異分析，化繁為簡

師：通過以上分析，大家還有什么想說的嗎？

生5：我認為老師所提供的答案思路更易掌握，但是計算過程有點冗長，容易出錯，有沒有簡單一些的計算方法？

師：確實，我也覺得這個計算過程有點煩瑣，大家有沒有好的意見？

生6：可以設點M（x，y），N（x，y），求k=，如果能“設而不求”就好了，但我不會.

師：你能想到從目標著手進行分析，值得表揚. 你想解決的目標，在題設條件中有提到嗎？若沒有，請分析條件中能獲得一些什么有用的信息.

生6：根據題設條件，可列式k·k= -，k·k=-，但還是無法解出x，x，y，y的值，好像也很麻煩.

師：大家分析一下，本題我們一定要解出x，x，y，y的值嗎？

生（眾）：不一定，其實我們只要求出（x-x）與（y-y）兩個整體即可.

師：這是一個不錯的想法，現在我們一起來嘗試一下.

師生共同探討，發現求出（x-x）與（y-y）兩個整體也存在困難. 于是從尋找（x-x）與（y-y）兩個整體的倍數關系著手進行分析（過程略）. 這種方法有效簡化了運算難度，讓學生體驗到了學習的成就感.

師：從整體的倍數關系來解題的方法確實減輕了運算量，提高了解題效率，現在大家一起來回顧一下，這種解題方法是怎么來的？由此我們能總結出怎樣的經驗？

學生討論總結：如圖3所示，此解法從目標出發，通過轉化條件進行差異分析而獲得.

3. 類比猜想，揭露本質

師：剛剛已經優化了本題的解題方法，現在大家還有什么問題嗎？

生7：直線MN的斜率為定值，是否存在潛在的規律？

師：這是一個值得探究的問題，我們要感謝這位同學提出此問. 現在我們一起來分析，直線MN的斜率為什么一定是定值呢？

生8：本題中的橢圓E與直線l都是確定性的條件，直線MN的斜率又由直線l和橢圓E來確定，至于怎么確定，我們可以回顧之前遇到過的類似的求定值的問題. 如剛才我們獲得的一個結論——圖2中直線AC和BC的斜率關系為k·k=-=-，這就是一個典型的定值問題. 之前我們碰到過這種情況，是類比圓猜想而得的：

如圖4所示，在O中，已知∠ACB為直角，也就是k·k=-1，于是猜想橢圓中k·k=-. 因此，此時可將圖1中的橢圓改成圓進行分析，猜想k·k=-.

師：非常好！這位同學將圓與橢圓進行類比分析，猜想出原題中的k·k= -這一結論. 眾所周知，猜想后需要干什么？

生9：面對猜想，下一步需要驗證.

（學生投入探索）

由②-①，得y（y-y）=-x（x-x），因此·=-，也就是k·k=-，此時再檢驗AC，AD，BC，BD中有斜率不存在的情況即可.

師：大家在大膽猜想后又進行了小心求證，獲得了新的結論，有效地拓展了我們的視野.

4. 合作探究，總結經驗

師：通過以上猜想證明，大家有什么經驗性的收獲？

生11：類比圓的一些結論，可推導出橢圓的相關結論.

師：不錯，今后我們再遇到一些棘手的橢圓問題時，可以退一步，從圓著手進行分析，通過類比、猜想、驗證等，或許能撥開云霧見天日. 現在請各位同學列舉一些與圓相類比的橢圓問題.

（學生分組合作交流）

命題1：如圖5所示，在平面直角坐標系xOy中，直線l的斜率為k，該直線和O：x2+y2=r2相交于點A，B，點M為AB的中點，倘若k為OM的斜率，則k·k=-1.

由類比猜想可得：

命題2：如圖6所示，在平面直角坐標系xOy中，直線l的斜率為k，該直線與橢圓E：+=1（a>b>0）相交于點A，B，點M為AB的中點，倘若k為OM的斜率，則k·k=-.

命題3：如圖7所示，在平面直角坐標系xOy中，直線l的斜率為k，該直線與橢圓E：+=1（a>b>0）在點P處相切，如果k為OP的斜率，那么k·k=-.

受時間的限制，課堂上只要求學生證明前兩個命題，第三個命題作為學生課后習題去思考.

5. 總結提煉，能力提升

師：通過以上探究，大家有些什么收獲？請用思維導圖或知識網絡圖表示.

學生畫圖，教師將學生的結論投影到黑板上，并要求學生課后獨立思考，自主證明命題3，學有余力的學生可以挑戰問題拓展，以檢測自己的學習成效.

問題拓展：在平面直角坐標系xOy中，點M，N分別為橢圓E：+=1（a>b>0）上，非橢圓頂上的兩點，猜想△OMN面積的最大值. 此時，點M，N滿足怎樣的條件？說明理由.

[?]教學思考

1. 以目標引領為契機，提升數學運算素養

運算能力是數學核心素養的六要素之一，在數學教學中具有重要意義. 然而運算能力既是教師教學的痛點，又是學生學習的懼點. 學生在數學運算方面的表現為：一說就會，一看就懂，但一做就錯. 追根究底，學生對運算法則是了解的，但在實際應用中，難以找出合理、簡潔的方法去化繁為簡，導致運算失誤或失敗.

本節課，筆者以目標為起點，引導學生從條件中尋找有用的信息，從而獲得解題的方向. 學生對于這種模式的教學，感到興奮、有趣，不知不覺中就優化了運算過程，讓解題變得更加輕松自如. 因此，以目標引領為契機，提升數學運算素養的教學方法值得大力提倡.

2. 類比猜想顯本質，提升數學解題能力

新課標中明確提出，要培養學生從數學的角度發現并提出問題的能力，鼓勵學生在自主分析、合作交流中獲得解題技巧. 從本質上來理解，以數學的眼光看待事物，發現問題具有重要的教學意義. 教育學家波利亞認為：“類比在所有發現中都有一定的作用，并且在一些發現中存在重大意義. ”

從實際問題出發進行類比分析，是引導學生發現、探索與解決問題的重要法寶. 實踐證明，類比是實現數學發現與再創造的基本方法，尤其適用于將已知性質推廣到類似事物上. 課堂中，教師應從學生原有的認知經驗出發，帶領學生合理應用類比法，提高學生發現與分析問題的能力.

本節課的“類比猜想，揭露本質”環節，要求學生自主發現結論k·k=-，難度較大，因此教師引導學生將橢圓退化為他們熟悉的圓，問題就變得簡單易懂了. 這種處理方法，不僅能激發學生的探索欲，引發其數學學習興趣，還能從很大程度上發展學生的思維能力，為揭露問題的本質奠定基礎，如此操作也讓課堂更具“數學味”.

3. 形式多樣增實效，提升自主學習能力

新課標強調教師應將教學活動的重心放在引導學生自主學習上，每位教師要善于優化教學手段，采取豐富的教學形式增強教學成效. 例如本節課，筆者在課前先將正確答案提供給學生，讓學生看著答案思考解題思路，此過程對培養學生的自主學習能力具有顯著的促進作用;在“自主學習，開啟思維”的過程中，要求學生闡述解題思路，這對培養學生的思維能力與表達能力有一定的幫助;再看后面兩個教學片段，要求學生在類比分析中推理并自主總結知識脈絡等，都能有效地提高學生的自主學習能力，促進學生反思能力的發展.

總之，問題是數學教學的基礎，猜想推理是試題教學的關鍵. 踐行試題教學的過程中，教師不能將目光停留在解題本身上，更應注重一般思想方法的探尋，只有“授人以漁”，才能讓學生透過問題的表象發現知識的本質，獲得解決問題的能力，為核心素養的形成與發展奠定基礎.