基于問題解決的數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)

邢雪文

［摘? 要］ 研究者以問題解決過程線索為主題的單元教學(xué)模式，對(duì)“二元一次方程組”進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì).設(shè)計(jì)思路為“總分總”路徑，從教學(xué)內(nèi)容組織、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、素材組織、作業(yè)布置、評(píng)價(jià)與反饋五方面進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì).

［關(guān)鍵詞］ 單元教學(xué)；問題；方程；教學(xué)設(shè)計(jì)

問題提出

單元教學(xué)法是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要抓手，單元教學(xué)法借助大背景、大問題、大思路、大框架進(jìn)行高觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，能有效規(guī)避傳統(tǒng)的課時(shí)教學(xué)整體感不強(qiáng)、知識(shí)分解過度、學(xué)習(xí)碎片化、教學(xué)效益低下的現(xiàn)象［1］. 學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求教師的教學(xué)設(shè)計(jì)從設(shè)計(jì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或課時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)計(jì)一個(gè)大單元［2］，把每節(jié)課的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.

以問題為導(dǎo)向的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)某一知識(shí)的必要性和可行性，使學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)新知的全過程，包括發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等過程. 學(xué)生在參與學(xué)習(xí)的全過程中既能學(xué)會(huì)有關(guān)知識(shí)技能，又能掌握學(xué)習(xí)的路徑與方法.

“二元一次方程組”是初中數(shù)學(xué)在一元一次方程之后的內(nèi)容，兩者之間存在密切聯(lián)系. 學(xué)生在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生疑問：為何要學(xué)二元一次方程組？明明可以用一元一次方程解決，為何一定要用二元一次方程組？二元一次方程和一元一次方程有什么聯(lián)系？部分教師在教學(xué)時(shí)，將教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)碎片化，最后一些學(xué)生只學(xué)會(huì)解二元一次方程組，沒有意識(shí)到解二元一次方程組只是應(yīng)用二元一次方程組解決實(shí)際問題過程中的一部分. 還有一些學(xué)生缺乏整體性知識(shí)體系，不能和已知的一元一次方程建立聯(lián)系，不能發(fā)現(xiàn)研究方程問題的一般思路.

設(shè)計(jì)思路

單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維，教師應(yīng)從整體上系統(tǒng)性地確定教學(xué)目標(biāo)，組織教學(xué)內(nèi)容［3］，培養(yǎng)學(xué)生從整體上了解知識(shí)的來龍去脈，把握知識(shí)的本質(zhì)，理解知識(shí)間的聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)的思想方法，靈活選擇和運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題，提高系統(tǒng)化解決問題的能力.

喻平教授提出了單元教學(xué)法的四種主題教學(xué)模式：以問題解決的過程線索為主題、以建立個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)為主題、以概念的發(fā)展為主題、以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題［2］. 筆者采取以問題解決過程線索為主題的單元教學(xué)模式，以“二元一次方程組”的教學(xué)為例，以問題導(dǎo)入，讓學(xué)生在解決和分析問題的過程中，發(fā)現(xiàn)若干新問題，再對(duì)新的問題不斷追根溯源，直到與已有知識(shí)建立起聯(lián)系來解決問題［2］. 一方面以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考，思維深度參與課堂，切實(shí)提升思維水平；另一方面讓學(xué)生在整體上理解知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)化地解決實(shí)際問題，完善自身知識(shí)體系，提高問題解決能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容組織

單元教學(xué)的基本路徑是“總—分—總”，首先通過適當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)單元有一個(gè)整體的感知，然后根據(jù)單元的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分解學(xué)習(xí)，最后在分解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上再次進(jìn)行綜合提升，形成更為全面的整體理解.

本單元采取“總分總”的模式. 第一個(gè)“總”將用二元一次方程組解決問題情境作為第一課時(shí)的主要教學(xué)內(nèi)容，目的是讓學(xué)生從整體上把握本單元內(nèi)容的框架；“分”學(xué)習(xí)二元一次方程組的概念、代入法和加減消元法解二元一次方程組、解三元一次方程組；第二個(gè)“總”完善第一個(gè)“總”的問題，并對(duì)本單元知識(shí)進(jìn)行深刻總結(jié)完善，拓展應(yīng)用，擴(kuò)展學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).本單元的教學(xué)始終圍繞明、暗兩條主線（如圖1）. 明線是用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程中所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，暗線是體會(huì)模型和化歸的數(shù)學(xué)思想，掌握研究方程問題的思路.

（二）教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)本單元教學(xué)目標(biāo)要求如下［4］：

①能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；

②掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組；

③能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組（不做考試要求）.

現(xiàn)對(duì)本單元教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整如下：

①能夠用二元一次方程組解決實(shí)際問題，體會(huì)與一元一次相比解決問題的便利性與可行性；

②理解二元一次方程組的概念，并能把握其與一元一次方程區(qū)別與聯(lián)系；

③能夠靈活選擇代入法和加減消元法解二元一次方程組；

④能解三元一次方程組，并思考解多元一次方程組的方法；

⑤掌握二元一次方程組的學(xué)習(xí)思路，并和一元一次方程進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者的異同；

⑥體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，提高數(shù)學(xué)建模能力；

⑦能將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的過程中，體會(huì)化歸思想方法.

（三）素材組織

“二元一次方程組”內(nèi)容包括三個(gè)方面：從問題到方程、解方程組、用方程組解決問題. 具體教學(xué)設(shè)計(jì)和課時(shí)安排如表1.

由于篇幅有限，這里只以問題串形式，簡(jiǎn)要展示各個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)的思路.

第1課時(shí)

問題1. 籃球比賽規(guī)則規(guī)定：贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分.在中學(xué)生籃球比賽中，某球隊(duì)賽了12場(chǎng)，共得20分.該球隊(duì)贏了幾場(chǎng)？輸了幾場(chǎng)？

生：設(shè)贏了x場(chǎng)，輸了（12-x）場(chǎng)，則2x+（12-x）=20，求出x就可以.

追問1.1：如果設(shè)贏了x場(chǎng)，輸了y場(chǎng)呢？你能找到幾個(gè)相等關(guān)系，列出幾個(gè)方程？

生：兩個(gè)，x+y=12；2x+y=20.

追問1.2：設(shè)一個(gè)未知數(shù)就可以解決，為什么還要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)呢？

問題2. 《希臘文選》中有這樣一題：驢子和騾子馱著貨物并排走在路上，驢子不停地埋怨馱的貨物太重，壓得受不了. 騾子對(duì)驢子說：“你發(fā)什么牢騷啊！我馱的比你馱的更重.倘若你的貨給我1口袋，我馱的貨比你馱的貨重1倍；而我若給你1口袋，咱倆才剛好一樣多.”驢和騾各馱幾口袋貨物？

這個(gè)問題你認(rèn)為設(shè)幾個(gè)未知數(shù)更好找到等量關(guān)系，解決問題？你準(zhǔn)備怎么設(shè)？

生：設(shè)騾子馱x袋，驢子馱y袋.可以得到兩個(gè)方程：x+1=2（y-1）；x-1=y+1.

追問2.1：設(shè)一個(gè)未知數(shù)可不可以呢？你覺得哪個(gè)更方便？并說說理由.

生：可以. 但設(shè)兩個(gè)未知數(shù)更方便，因?yàn)閮蓚€(gè)相等關(guān)系更好找.

追問2.2：如何求得兩個(gè)問題中的未知數(shù)x，y？

設(shè)計(jì)意圖 以兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用二元一次方程組的問題引入，問題1用一元一次方程解決很方便.問題2以《希臘文選》中的故事為背景，一方面以“復(fù)制式”直接引用數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)文化；另一方面這個(gè)問題用二元一次方程組更加簡(jiǎn)便，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)二元一次方程組的必要性. 雖然此時(shí)學(xué)生還沒有二元一次方程組的概念，但是有列方程的經(jīng)驗(yàn)，因此學(xué)生可以找出相等關(guān)系，建立方程模型.通過類比一元一次方程，要解決這個(gè)問題，就是要找到兩個(gè)未知數(shù)的值，由此得到相關(guān)概念：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程的解、二元一次方程組的解的概念，以及解這個(gè)二元一次方程組的兩種方法——代入消元法和加減消元法，從而形成整體的研究思路（如圖2）：

第2課時(shí)

問題3. x，y的值如何求？

追問3.1：要想得到x，y的值，我們首先要清楚x，y是什么意思，類比一元一次方程中未知數(shù)的值，你能說清楚嗎？

生：滿足方程的取值.

追問3.2：滿足哪個(gè)方程？

生：兩個(gè)都滿足.

追問3.3：這兩個(gè)方程和一元一次方程比有什么區(qū)別與聯(lián)系？

生：都是整式方程，所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1. 一元一次方程只有一個(gè)未知數(shù)，但是新的方程有兩個(gè)未知數(shù).

追問3.4：你能否模仿一元一次方程，給這樣的方程下一個(gè)定義？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生對(duì)本單元內(nèi)容有了整體的概念，為了解決第一課時(shí)留下的問題，將問題一步步分解：要求x，y，首先要明確二元一次方程組解的概念，其次要知道二元一次方程組和二元一次方程的解兩個(gè)概念，最后要知道二元一次方程的概念. 通過如何求x，y這一個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類比一元一次方程有關(guān)概念，一步步思考，自然而然地得出相關(guān)概念，了解概念為何而來，有何作用，理解概念本質(zhì).

第3課時(shí)

問題4. x，y的值如何求？

追問4.1：我們目前只學(xué)過解一元一次方程，能否將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解？

生：應(yīng)該可以.

追問4.2：一元一次方程和二元一次方程的區(qū)別在于未知數(shù)的個(gè)數(shù)不同，那么我們?nèi)绾螌⒍淮畏匠探M的未知數(shù)去掉一個(gè)，你能否從問題1中的兩種方法中得到啟示？

生：只要將2x+y=20中的y用（12-x） 代替就可以求出x的值.

追問4.3：如何求y呢？

生：再代入上面的兩個(gè)方程，或者y=12-x就可以.

追問4.4：能否先消x，先求出y，再求x呢？

設(shè)計(jì)意圖 與問題3相同，這里引導(dǎo)學(xué)生解二元一次方程組的具體方法，追問4.1引導(dǎo)學(xué)生將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程問題，解出一個(gè)未知數(shù)，再求出另一個(gè)未知數(shù)即可.這是本單元轉(zhuǎn)化思想與消元法暗線的體現(xiàn)，由此引出代入消元法，讓學(xué)生明白代入消元法從何而來，而不是直接給出解方程的固定模板. 通過追問4.4，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步理解代入消元法的本質(zhì)是通過一個(gè)未知量表示另一個(gè)未知量，代入方程，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解.

第4課時(shí)

問題5. 觀察方程組x-y=3，

x+y=5，除了可以用代入消元法，還可以怎樣進(jìn)行消元來解決問題？

生1：把兩個(gè)方程相加，就可以消去y，得到2x=8，x=4.

生2：把兩個(gè)方程相減，就可以消去x，得到y(tǒng)=1.

追問5.1：這個(gè)方程組能夠進(jìn)行加減消元的前提是什么？

生：相同的未知數(shù)前面的系數(shù)是相同的或者互為相反數(shù).

問題6. 能否用同樣的方法解二元一次方程組？

5x-2y=4，? ①

2x-3y=-5.? ②

生：（猶豫）有的說可以，有的說不知道.

追問6.1：如何將這個(gè)方程組同一個(gè)未知數(shù)前面的系數(shù)化為相同或互為相反數(shù)？

生：找最小公倍數(shù)！

追問6.2：如何找？

生1：①×2，②×5.

追問6.3：還有沒有其他的方法？

生2：①×3，②×2.

追問6.4：此時(shí)一個(gè)新的問題就轉(zhuǎn)化成了問題5這樣的一個(gè)已知問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的什么思想？

生：化歸思想.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生先對(duì)問題6進(jìn)行觀察，為了達(dá)到消元的目的，可以對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行整體的加減，因?yàn)橄嗤粗獢?shù)前面的系數(shù)是相同或者互為相反數(shù).從問題5得到啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題6模仿上述過程解方程，又產(chǎn)生新的追問6.1，6.2，6.3，追問6.3是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理解加減消元法的本質(zhì)，拓寬思維. 其中幾個(gè)追問解決之后，就將問題7轉(zhuǎn)化為問題5的類型，通過追問7.4，再次滲透化歸思想.

問題7. 問題1、問題2中的未知數(shù)的取值分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖 單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)源于問題，學(xué)習(xí)完之后要回溯本源，解決當(dāng)初的問題，使之前后照應(yīng)，不斷深化，完整地解決問題.

第5課時(shí)

問題8. 三元一次方程組x-y+z=7，①

x+y=-1， ②

2x-y-z=0.③應(yīng)該如何解？

生：通過消元轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來解.

追問8.1：如何消元，選擇消哪個(gè)未知數(shù)？

生：z.

追問8.2：理由是什么呢？

生：因?yàn)榉匠挞谥胁缓瑉，消掉z之后，就可以和②組成二元一次方程組了.

追問8.3：只能先消z嗎？

生：不是，消x或者y都可以.

追問8.4：可以如何消？

生：加減或者代入消元法都可以.

設(shè)計(jì)意圖 三元一次方程組課標(biāo)不做考試要求，但為了進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)消元的過程，滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，本課直接以解三元一次方程組的問題8引入，激發(fā)學(xué)生求知欲，引導(dǎo)學(xué)生自主探究本題如何進(jìn)行消元，將解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，學(xué)會(huì)解三元一次方程組的方法. 追問8.1—8.4引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)消元法的理解與應(yīng)用，落實(shí)能力與素養(yǎng)的培養(yǎng).

第6課時(shí)

問題9. 二元一次方程組解決問題用到的知識(shí)有哪些？

問題10. 和一元一次方程解決問題比較有哪些區(qū)別與聯(lián)系？

問題11. 談?wù)劚締卧獙W(xué)習(xí)的思路是什么，對(duì)研究其他方程有什么啟示？

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課是單元教學(xué)“總分總”基本路徑下的第二個(gè)“總”. 問題9目的在于學(xué)生學(xué)習(xí)了本單元所有知識(shí)之后，對(duì)各部分知識(shí)的重新認(rèn)識(shí)與整合，建立知識(shí)聯(lián)結(jié). 問題10、問題11是在問題9的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展延伸，將二元一次方程組與一元一次方程有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行深入整合，從而讓學(xué)生對(duì)方程有了更高、更廣的認(rèn)識(shí)，從更加系統(tǒng)的角度看待方程問題，形成方程研究思路（如圖3）， 提高分析與解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（四）作業(yè)布置

作業(yè)是教師為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)技能與思想方法. 本單元要考查學(xué)生是否形成整體研究二元一次方程組的思路，是否體會(huì)模型思想與化歸思想，因此作業(yè)布置要體現(xiàn)出層次性.

層次1：二元一次方程組應(yīng)用的題目，了解學(xué)生對(duì)本單元各個(gè)內(nèi)容的掌握情況.

層次2：二元一次方程組的一題多解問題. 在化歸思想的引領(lǐng)下，通過不同的方法進(jìn)行消元，讓學(xué)生體會(huì)不同方法的優(yōu)劣，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)不同方法的掌握情況，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

層次3：讓學(xué)生自主構(gòu)造本單元的思維導(dǎo)圖，并談?wù)剬W(xué)習(xí)方程問題的一般思路，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本單元內(nèi)容體系的把握.

層次4：讓學(xué)生自編二元一次方程組的應(yīng)用問題. 自編問題要考慮問題情境、二元一次方程組模型、解法（需考慮數(shù)據(jù)處理）、檢驗(yàn)各個(gè)步驟.

（五）評(píng)價(jià)與反饋

單元整體教學(xué)視角下對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的評(píng)價(jià)不僅要評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)各部分知識(shí)的掌握情況，更要關(guān)注學(xué)生是否形成了整體的系統(tǒng)知識(shí)體系，是否領(lǐng)會(huì)了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 喻平. 數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的四種模式［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（05）：1-8+15.

［3］ 章飛，顧繼玲. 單元教學(xué)的核心思想與基本路徑［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（10）：23-28.

［4］ 中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.