重視設計 引領探究

陳帥

［摘? 要］ 高三數學課堂時間有限，而復習面廣量大，因此提高教學效率自然成了高三數學復習課堂的首要任務. 為了提高復習課教學效率，教師要根據不同階段的教學目標精心設計課堂教學，通過精講精練、多解拓展、變式強化等方式提高學生綜合分析、綜合應用等能力，提高學生的解題效率以及數學素養.

［關鍵詞］ 教學效率；精心設計；數學素養

提高高三復習課教學效率，提升學生數學能力和數學思維品質，是高三數學教師的共同追求. 為了實現這一追求，教師要在不同階段制定不同的教學目標. 第一階段側重“雙基”，通過系統梳理幫助學生完善知識體系，便于學生更加系統、更加全面地掌握基礎知識，促進知識遷移. 然在此階段，部分教師常用畫圖標、總結概況等方式來幫助學生完成知識梳理，教師獨占課堂，課堂上缺乏學生獨立思考和主動探究，教師講得斗志昂揚，而學生卻聽得無精打采，學生學習的積極性難以激發. 第二階段側重專項復習，注重數學思想方法的提煉和技能的提升. 但是在此階段，部分教師常選取一個典型例題揭示數學思想方法后，立即給出一個相應的習題讓學生進行練習，其目的雖然是幫助學生進行知識強化，然因缺乏自主探究過程，使得學生對知識點的理解不夠深入，因此解題時常模仿和套用，出現了“會而不懂”的現象. 第三階段側重通過模擬考試的方式提升學生的應試能力，同時通過習題的測試反饋及時進行查漏補缺. 然在此階段，部分教師在試卷評講時不重視試卷分析，對涉及相同知識點的內容也不進行分類，只是就題論題、逐一講解. 這樣的試卷評講單一、低效，不僅浪費寶貴的高三復習時間，而且容易讓學生產生厭煩情緒，教師的主導和學生的主體地位都難以得到有效發揮.

如何提高高三復習有效性一直是高三數學教學的熱點話題，筆者結合“函數性質”的復習，談幾點自己在教學中的心得體會，僅供參考！

[?]提出問題

高三可謂是數學成績提升的關鍵期. 為了能夠快速提高成績，大多數師生習慣應用“題海戰術”，然高三數學涉及的知識面廣，題型多變，學生即使刷了很多題，收益也甚微. 其實在復習教學中，教師應該認真研究教學、研究考綱、研究學生，堅持“以生為主”，鼓勵學生積極思考、自主反思，并在教學過程中充分展示學生的思維過程，這樣既能調動學生參與學習的積極性，又能充分暴露學生存在的問題，為復習教學提供有效的課堂資源，從而提升教學的有效性.

例1 已知函數f（x）=x2+4x，x≥0，

4x-x2，x<0， 若f（2-a2）>f（a），則實數a的取值范圍是________.

生1：例1可以采用分類討論的方法求解，當x∈［0，+∞）時，函數f（x）為單調增函數；當x∈（-∞，0）時，函數f（x）也為單調增函數. 所以函數f（x）在R上為增函數，所以f（2-a2）>f（a）?2-a2>a，這樣實數a的取值范圍可以輕松求得了.

師：對于生1的解題過程，大家有不同的意見嗎？

生2：根據函數f（x）在相應區間內遞增就認為其在R上是增函數顯然是存在問題的，還應滿足第一段上的f（0）不小于第二段上的f（0）.

師：補充得很好，這樣既揭示了分段函數單調性的判斷方法，又給出了注意事項，思維嚴謹，思路清晰. 不過在解決這類問題時，一定要分類討論嗎？

生3：本題可以直接畫出函數圖像，運用數形結合的思路求解.

師：說一說你的解題過程.

生3：由函數的圖像可知，f（x）在R上為增函數，同時函數f（x）也是奇函數，所以f（2-a2）>f（a）?2-a2>a.

師：很好. 在解決此類問題時，運用圖像的直觀性更易于理解，因此解題時要習慣應用數形結合法求解. 不過繪制圖像可能需要較長的時間，因此解題方法要根據實際情況進行分析和選擇. 但無論應用哪種解題方法，解決此類問題時一定要抓住函數的單調性這一核心要素.

教師充分展示了學生的思維過程，發現學生利用函數單調性解決問題時還存在一些不足，思維存在一定的局限性，因此教師引導學生應用不同方法進行探究，以此豐富學生的解題經驗，提高學生的解題效率.

[?]解決問題

基于上面存在的問題，教師沒有急于講解，而是通過相似練習引導學生繼續探究，在檢測學生能力的同時，幫助學生將“函數單調性”這一知識點學懂吃透.

師：通過例1的探究，我們知道借助數形結合法可以更加直觀地解決函數單調性問題，那么請大家思考一下，下面這個問題該如何求解？（教師用PPT展示例2）

例2 已知函數f（x）=-x2+2x，x≤1，

2ax-5，x>1， 若存在x，x∈R，且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，則實數a的取值范圍是______.

問題給出后學生積極探究，經過一番爭論，給出了兩種解題方法：

方法1：數形結合法. 如圖1所示，當x≤1時，f（x）=-x2+2x是單調增函數，最大值為1. 當a≤0時，滿足條件；當a>0時，要使x，x∈R，且x≠x，f（x）=f（x）成立，則點B必須在點A的下面，則2a-5<1，即a<3.

方法2：補集思想. 由題意可知，在定義域內f（x）不是單調函數，當x≤1時，f（x）=-x2+2x是單調增函數；若f（x）在R上是單調增函數，則2a-5≥1，即a≥3. 因為f（x）不是單調函數，所以a<3.

通過對比發現，在解決此類問題時，應用數形結合法更為高效，借助“形”的直觀性，有利于學生快速做出判斷，準確解題.

為了引導學生多角度分析，教師給出了變式題目和模擬題讓學生繼續探究：

變式1：已知函數f（x）=-x2+ax，x≤1，

2ax-5，x>1，若存在x，x∈R，且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，則實數a的取值范圍是_____.

變式2：已知函數f（x）=-x2+ax，x≤1，

2ax-5，x>1，若對任意非零實數x，存在唯一的非零實數x（x≠x），使得f（x）=f（x）成立，則實數a的取值范圍是.

模擬題：

已知函數f（x）=k2x+k（1-a2），x≥0，

x2+（a2-4a）x+（3-a）2，x<0，且a∈R，若對任意非零實數x，存在唯一的非零實數x（x≠x），使得f（x）=f（x）成立，求實數k的最小值.

高考題看似復雜多變，新穎別致，然仔細分析后容易發現其重點考查的知識點和數學思想方法往往相同，因此在復習教學中教師要善于將多題歸一，即將涉及同一知識點或同一方法的問題以題組的方式呈現給學生，這樣通過多角度分析和強化有助于揭示問題的本質屬性，有助于學生掌握解決此類問題的通法，有助于實現知識和方法的遷移，實現知識的融會貫通.

這樣在教師的精心預設下，打造了一節生動的復習探究課. 在本課教學中以探究為主線，將課堂還給學生，充分展示了學生的思維過程，使學生的“學”變得更加主動積極. 教學中，教師不要急于求成將結果展示給學生，那樣容易出現思維定式的情形，不利于學生解題能力的提升. 同時，在實際教學中，師生不要滿足于現成的結論和解題方法，而應給學生充分的時間和空間去反思、去展示，讓學生從不同角度、不同側面去思考和解決問題，以便學生能在探究和解決問題的過程中挖掘出問題的實質，從而在提高學生解題能力的同時，鍛煉學生的創新能力.

[?]幾點認識

高三復習階段復習的內容和側重點有所不同，因此其課型也有所不同，第一階段為習題課，側重于提高學生的“雙基”；第二階段為專題課，側重于提升學生的解題技能；第三階段為套卷評講課，側重于對知識的總體把握和有針對性地查漏補缺.

1. 關于習題課

習題課并不是簡單問題的羅列，也不是機械的、重復的練習，而是需要教師結合教學實際，將問題進行改編，將知識與技能通過串聯，疊合成更加系統、更加全面的問題，從而便于“雙基”的鞏固和知識的系統化建構.

例3 已知關于x的二次方程x2-kx+k+1=0，

（1）若方程有根，求k的取值范圍；

（2）若方程有兩個正根，求k的取值范圍；

（3）若方程有兩個大于1的根，求k的取值范圍；

（4）若方程的兩根一正一負，求k的取值范圍；

（5）若方程有兩根，一根小于1，另一根大于1，求k的取值范圍；

（6）若方程一根屬于（0，1），另一根屬于（2，3），求k的取值范圍.

對于問題（1），學生利用根的判別式便可輕松求解. 對于問題（2），大多數學生利用方程的根與系數的關系得到了關于k的不等式組，進而求出了k的取值范圍. 雖然利用這種方法可以求解，但是面對接下來的幾個問題時，顯然該解題方法行不通，因此其并非最優解題方法，此時教師可以誘導學生聯想函數，進而將方程的根和二次函數圖像與x軸的交點關聯起來，運用函數與方程的思想將問題轉化為交點的分布，這樣借助二次函數圖像求k的取值范圍更具普適性.

解題時教師要引導學生不要局限于一種方法，應多觀察、多分析，注重挖掘問題間的內在聯系，善于跳出原有思維的束縛，尋找更為廣闊的解題方法. 解題后教師要繼續追問，引導學生將特殊問題轉化為一般問題，便于學生認清問題的本質. 如順利求解問題（3）后，可以將問題推廣至“若方程的兩根均大于（或小于）m，求k的取值范圍”；又如順利求解問題（4）后，繼續追問“若方程的兩根分布在m的兩側，求此時k的取值范圍”. 這樣不僅可以引導學生深化理解，而且可以拓寬學生的思維. 可見，在習題教學中，除了培養學生的“雙基”外，教師還應有意識地引導學生去拓展、去聯想、去發現，注重數學思想方法的總結和提煉，逐步培養學生的創新意識.

2. 關于專題課

專題強化的目的就是將相關、相似的問題進行系統化、有序化的梳理、綜合和應用，從而有效幫助學生完善知識網絡. 專題訓練時不要將目光著眼于解題，而應該重視知識的梳理、歸納，重視數學思想方法的提煉，從而讓學生可以更深層地理解問題、理解數學.

例4 已知x，y≥0，且x+y=1，求x2+y2的取值范圍.

求解例4的方法有很多，教師鼓勵學生多角度觀察和探究，同時通過合作交流，盡量采用不同的解決方案來解決問題，進而充分調動原有認知，發散數學思維，培養思維的靈活性. 學生通過合作探究給出了以下幾種常用的解題方法.

方法1：函數思想. 由x+y=1得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2

x-

+. 由于x∈［0，1］，根據二次函數的圖像與性質可知x2+y2的取值范圍為

，1.

方法2：三角換元法. 由于x，y≥0，且x+y=1，可設x=cos2θ，y=sin2θ，其中θ∈0

，，則x2+y2=cos4θ+sin4θ=+cos4θ，進而求得x2+y2的取值范圍為

，1.

以上兩種方法看似并無關聯，然其本質相同，都是通過函數思想的運用來求最值的.

方法3：運用基本不等式. 由于x，y≥0，且x+y=1，則xy≤=，從而0≤xy≤，于是x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，所以x2+y2的取值范圍為

，1.

方法4：數形結合法. 如圖2所示，設x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以原點O為圓心，半徑為r的動圓. 問題轉化為動圓與線段x+y=1，

x≥0，y≥0有公共點，求r的取值范圍.

用幾何直觀來思考代數問題，往往可以幫助學生更好地把握問題的本質，從而快速解決問題. 在專項訓練中既可以通過一題多解來發散學生的思維，提高學生思維的靈活性，也可以通過一題多變來強化解題方法和解題技巧. 本題順利求解后，教師又給出了以下變式和推廣：

變式1：已知x，y≥0，且x+y=1，求x4+y4的最值.

變式2：已知x，y≥0，且x+y=1，你能求x8+y8的最值嗎？

變式3：已知x，y≥0，且x+y=1，你能比較，xn+yn，1的大小嗎？

這樣從一個低起點的、特殊的問題入手，有效消除了學生的畏難情緒，提升了學生解題的信心. 另外，通過多角度分析培養了學生數學綜合分析能力；同時，數形結合思想、函數思想、轉化思想等重要的數學思想方法的滲透，有效強化了學生的數學思維，培養了學生的數學綜合運用能力，提高了教學的有效性. 在高三數學復習教學中，教師要充分挖掘這些典型的例習題，這樣不僅可以進一步強化學生的“雙基”，而且能夠激發學生的探究欲；同時，典型的例習題更易于激發師生共鳴，更易于激發學生思維活力，從而提高高三復習的有效性.

3. 關于套卷評講課

模擬考試是高三數學復習的重要一環，通過模擬考試可以更加全面地檢測學生的知識掌握水平和應試能力. 考后教師不要急于評講，而是根據試卷反饋的解題思路、運算過程、書寫規范等問題做好統計和分析，同時篩選出典型問題進行“精講”；另外，對一些典型問題要進行一定的拓展和延伸，幫助學生徹底掃除知識結構中的盲點，將相關的知識點學懂吃透；不僅如此，教師還要引導學生進行反思和總結，讓學生充分認識到自己的不足，及時進行查漏補缺.

例5 已知函數f（x）=是奇函數，則k=________.

因為定義域是R，解得f（0）=0?k=-1.

變式：已知函數f（x）=是奇函數，則k=________.

因為奇函數的定義f（x）+f（-x）=0，解得k=±1.

解題時發現，多數學生容易將問題想得過于復雜，從而誤入歧途，因此在教學中，教師要選擇一些典型問題，帶領學生回歸問題的本源，總結歸納出解決問題的一般方法.

總之，要提高高三復習教學的有效性，師生都要知道每節課要做什么、怎么做、為什么這么做、做到什么程度. 教師只有充分做好課前預設，并制定明確的教學目標，才能讓學生每節課都有新的體會、新的收獲，才能不斷激發學生的潛力，獲得更好的教學效果.