弗賴登塔爾“再創造”理論對小學數學教學的啟示

鄧海英，喻平

摘要：引導學生在數學活動中學習，基于數學現實，對學習材料進行數學化加工，從而實現“再創造”，這是弗賴登塔爾“再創造”理論的框架。將這一理論應用于小學數學教學，首先，要用兒童的眼光看待現實情境，發現兒童眼中的數學現實，并且搭建“腳手架”，幫助兒童構建數學現實;其次，要組織現實材料，幫助學生獲得操作性經驗，并且簡化復雜情境，幫助學生抓住問題的本質;再次，要指導學生將現實問題加工為局部的數學問題，將局部的數學問題加工為結構化的數學問題。

關鍵詞：弗賴登塔爾;再創造;數學現實;數學化;小學數學

本文系湖南省社會科學成果評審委員會項目“小學生情境問題解決能力培養研究”（編號：XSP21YBC052）的階段性研究成果，也系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（小學）系列文章之九。荷蘭著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾，早期從事拓撲學和李代數（一種重要的非結合代數）方面的研究，取得了卓越成就;后期把精力放到數學教育領域，出版了大量著作，成為國際數學教育委員會（ICMI）第八任主席，倡議召開國際數學教育大會（ICME），極大地推動了數學教育研究。他在代表作《作為教育任務的數學》一書中提出了“再創造”理論，在數學教育界產生了巨大的影響。即使在課程改革持續推進、教育理念不斷翻新的當下，“再創造”理論仍具有現代意義，對以發展學生核心素養為目標的數學教學仍具有實在的指導價值。

一、弗賴登塔爾“再創造”理論概述

（一）“再創造”理論的幾個核心概念

“數學現實”“數學化”“再創造”是“再創造”理論的核心概念。

“數學現實”是指數學課程內容應該與現實有密切的聯系，并且能夠在實際中得到應用。數學的整體結構應當存在于現實中，只有密切聯系現實的數學才能充滿著各種關系，才能與現實結合并且得到應用。②③弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：122，123，109。兒童總是處于某種現實的情境中，有些情境承載著重要的數學信息，這些情境中的數學信息就是兒童面對的“數學現實”之一。

“數學化”是指學生應該學習將非數學內容或不完整的數學內容組織成一個合乎數學的精確性要求的結構。②例如，將空間完形為圖形，是空間的數學化;整理平行四邊形的性質，使之形成推理聯系，以得出平行四邊形的定義，是平行四邊形概念領域的數學化。數學化有兩種形式。一是橫向數學化：將實際問題轉化為數學問題，即發現實際問題中的數學成分，并對這些成分做形式化處理，把生活世界引向符號世界。二是縱向數學化：在數學范疇內對已經形式化了的問題做進一步抽象化處理，是更深層次的數學化，從符號到概念，影響到復雜的數學處理過程。

“再創造”是指由學生本人把要學習的東西發現或創造出來。教師的任務是引導和幫助學生進行“再創造”的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。弗賴登塔爾認為，學生已經具備某些潛在的能力，從發展這種潛能出發，數學教育不能從完美的現成結果開始，不能將各種規則、定理等遠離現實生活的抽象內容硬性地灌輸給學生，而應創造合適的條件（通常是提供一些情境或現象的材料），逐步讓學生在實踐的過程中通過自己的發現學習數學，獲取知識，使學生頭腦中已有的非正規的數學知識與思維上升、發展為科學的理論。生物學上有一條原理：個體發展過程是群體發展過程的重現。這條原理在數學學習上也是成立的：學生具有發現數學知識（“再創造”）的能力，數學發展的歷程也可以在學生身上重現。

（二）“再創造”的基本理論體系

弗賴登塔爾對數學教育有一些獨特的見解，可以概括為下面幾個觀點：

其一，不應當教現成的數學，而應當教活動的數學。“將數學作為一種現成的產品來教，留給學生活動的唯一機會就是所謂的應用，其實就是做問題。這不可能包括真正的數學，留作問題的只是一種模仿的數學……面對現成的數學，學生唯一能做的事就是復制。”③這個觀點是對傳統數學教學形態的一種反叛，意圖將先學后做的思維方式顛倒過來，在活動的過程中引入知識，在數學化的過程中建構知識。這個觀點與斯托利亞爾的觀點是一致的，把數學教學視為活動的教學。這個觀點奠定了弗賴登塔爾的教學認識論基礎。

其二，教學活動是讓學生“做數學”的過程。弗賴登塔爾認為，教學的最好方法是讓學生做。這就為“活動的數學”規約了活動的方式。“做”既包括動手，也包括動腦。動手做的本質是借助于身體去認知，動腦做的本質則是思維實驗。顯然，這一思想與杜威的“做中學”一脈相承。杜威認為，在理想的教學過程中，教師應當鼓勵兒童在活動中，開動大腦，運用觀察和推測、實驗和分析、比較和判斷，使他們的手足耳目和頭腦等身體器官成為智慧的源泉。約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001：25。

其三，教學活動應當讓學生經歷數學化的過程。數學化是對“活動的數學”在內容方面的圈定。數學產生于現實，每個學生都有不同的數學現實。學生需要對現實進行數學化，將非數學的內容數學化，將不完整的數學內容組織成一個合乎數學的精確性要求的結構。而數學化的核心步驟是用數學方法把實際材料組織起來，組織材料本身就是一項數學活動。這里要強調的是，數學化有兩個要點。一是數學化的結果應當是結構化的知識體系。例如，平行四邊形的每一個性質都是數學陳述，但是這些陳述的整體本身只是一個大雜燴，只有用邏輯關系建立結構，它才成為數學，而這個過程就是數學化。二是數學化有進階的特征。數學化首先是對數學現實進行加工形成局部的數學材料，這是低層次的數學化過程;然后是對局部的教學材料進行整體組織形成結構化的數學，這是高層次的數學化過程。

其四，數學活動的一個目標是“再創造”。弗賴登塔爾認為，普通的兒童也有能力“再創造”出他在將來的日常生活中所需要的數學，可以創造內容，也可以創造形式。學習過程必須含有直接創造的層面，即從學生的觀點上來看是創造，是主觀上覺得的創造，而不是客觀意義上的創造。比如，學生可以根據自身的數學現實創造個性化的2+3=5的計算過程，而不能說學生創造了2+3=5這個算式的計算原理。所以，學生可以創造數學化而不是數學，創造抽象化而不是抽象，創造算法化而不是算法，創造語言描述而不是語言。通過“再創造”，可以促進人們形成數學教育是一種人類活動的看法。通過“再創造”來學習，能夠獲得發現的樂趣，引起學習的興趣，并激發學習的動力;通過自身活動得到的知識與能力比由旁人“硬塞”來的，要理解得透徹、掌握得充分，同時也更善于被應用，還可以較長久地被記住。

將上面的觀點組合起來，可以看到，弗賴登塔爾事實上給出了一個數學教學程式（如圖1所示）。首先，從現實中選擇與學習內容相關的材料，通過學生的數學活動將這些材料加工成不完整的數學（局部的數學），這是低層次的數學化過程;其次，通過學生的數學活動將局部的數學加工為結構化的數學，這是高層次的數學化過程;最后，將建構的知識用于解決問題。這就是“再創造”的學習過程，它不是將現成的數學直接傳遞給學生，而是通過揭示知識的發生發展過程，讓學生經歷數學化，本質是學生自我建構知識。

二、對小學數學教學的啟示

“再創造”理論以數學現實作為起點，需要學生對現實情境進行數學化，從中辨認問題、提出問題，進而建立一個數學模型。

（一）如何甄別數學現實

1.用兒童的眼光看待現實情境，發現兒童眼中的數學現實

教學直接指向的是學生思維世界的開啟，任何教學都要首先激發個體的思維參與到特定教學情境包容著的知識世界，以此使得個體身心參與到其生活世界的建構中。劉鐵芳，位濤.從思維激活到理智興趣培育：啟發的教學意蘊及其實現[J].國家教育行政學院學報，2018 （11）：8795。馬克斯·范梅南也提出，要關注兒童的獨特性、情境的獨特性以及個人生活的獨特性，避免過分關注兒童的共同特征。數學家們常常只關注數學本身，關注邏輯（演繹）和結構（體系），并不關注現實材料對兒童學習的作用和影響。大量實踐和研究表明，學習材料若不對兒童的胃口，就很難引發他們的學習興趣。教師要有意識地從兒童的角度看待現實世界，揣摩兒童眼中獨特的數學現實。簡單地說，要能判斷哪些現實情境在兒童眼中是合理的、熟悉的、貼近生活的、新穎有趣的。

例如，教學“數據統計”時，可以讓學生統計某一年內自己家里每個月的電費，從而既能和父母共同研學，又能知道節約用電，增強環保意識;還可以讓學生統計一個星期內自己家里的飲食情況，包括吃水果、蔬菜、零食等的情況，培養健康飲食的意識和習慣等。

再如，在工程問題、行程問題等應用題的教學中，教師可以試著改造陳舊的問題情境，利用科技發展等元素融入愛國主義教育，發揮情境的教育意義，從而既能教授數學方法，又可賦能課程思政，踐行立德樹人。

下面再舉一個更為詳細具體的例子：

教學人教版小學數學三年級上冊《噸的認識》一課時，教師先讓學生思考：一袋大米重100千克，10袋大米重多少千克？學生列式計算，得到結果為1000千克。教師揭示：1000千克是一個很重的質量，數學上規定用1噸來表示1000千克，即1噸=1000千克。然后提問：1噸里面有幾個1千克？噸和千克之間的進率是多少？學生回答后，教師組織活動，讓學生體驗1噸有多重。

（1）教師讓學生以小組為單位，每個人都用力提一提（力氣小的學生可以兩個人一起提）事先準備好的一袋重10千克的豆子，感受10千克有多重，并匯報自己的感受。然后，讓學生推算多少袋這樣的豆子重1噸。當推算出來是100袋時，學生會感嘆：“哇！1噸這么重呀！”

（2）教師讓學生兩人一組，互相說一說課前測出的自己的體重是多少千克，再互相背一背，感受1名同學有多重。然后，讓學生推算：三年級學生的體重差不多是25千克，如果一名學生的體重是25千克，那么，10名這樣重的學生大約重多少千克？40名這樣重的學生呢？從而進一步感受1噸有多重。

（3）有了一袋豆子的重量、一名同學的體重作為參考，教師讓學生結合生活經驗說一說生活中什么東西大約重1噸。然后，用課件出示各種例子：兩頭牛大約重1噸，一般電梯的載重量是1噸……

（4）教師讓學生匯報課前了解的自己家上個月或某幾個月的用水量。然后，讓學生想象：如果把1噸水裝在一個正方體的水箱里，這個正方體該有多大？接著，出示一個棱長是1米的正方體，指出：在這個正方體里裝滿水，水的質量就是1噸。由此，讓學生感受1噸水到底有多少。

以上設計，讓學生先感受身邊物體的質量，再以此為基礎加到大單位的質量，增強體驗感，緊緊抓住兒童的生活經驗，用兒童的眼光提取現實中的數學。

2.搭建“腳手架”，幫助兒童構建數學現實

每個兒童都有自己的數學現實，但往往又不完善、不嚴密，甚至還存在錯誤的認識，影響學習效果。教師站在兒童的角度置身于學習過程，搭建“腳手架”，是幫助學生構造數學現實、發展數學現實的良好途徑。

下面通過一組測試數據說明學生在計算錯誤中反映出來的“現實誤差”。測試試題如下：

每年的7月1日—7月30日，富士山對公眾開放，在這段時間里，大約有9000 名游客去富士山爬山，平均每天大約有名游客。

有效被試總人數為800人，答對的有640人，占總人數的80%;沒有作答和答錯的共160人，占總人數的20%。錯誤解答情況如下頁表1所示。鄧海英，嚴卿，魏亞楠.數學情境問題解決錯誤分析與評價[J].數學教育學報，2021（1）：6167。

從表中可以看到，四年級學生對9000÷30=300的應用竟然會有這么多錯誤的想法和算法。除了一些純粹由于計算能力弱、口訣記錯、把用除法求平均數看成用乘法求總數等造成的錯誤之外，其余大部分錯誤都存在比較共同的原因，那就是：9000÷30=300這個計算題放在了現實情境中，學生的數學現實不夠支撐起對這個情境的理解，要么用錯了9000人，要么算錯了30天，要么完全不知道怎么用數學式子來表達題意，只是將數字毫無根據地加減乘除。

因此，學生犯這些錯誤可以認為是因為他們不理解算式與情境的關系，不能對9000÷30=300這個算式“講故事”，不能由“故事”想到算式，也不會質疑不合常情的“故事結尾”——如對280000這樣的大數、4.934這樣的小數，尤其是4.934表示人數，竟然沒有覺得有什么不妥，也沒有反思、改正。

學生數學現實的水平又成了教師要面對的“數學現實”。教師要把算式與情境的關系講好，給學生講清楚題目中每句話、每個字描述的真實現象，搭好“腳手架”：“富士山是日本有名的旅游勝地。因為山頂常年寒冷，所以，一年中最熱的7月份（山頂平均氣溫也才6度左右）旅游的人比較多。7月1日—7月30日這30天里，共有9000名游客去了富士山，那么，這30天里，平均每天大約有多少名游客呢？是多大的一個數呢？”把總人數9000、總天數30、要計算平均數這些條件陳述清楚，將問題置入真實情境中，就是在搭建“腳手架”。

（二）如何實現“數學化”

1.組織現實材料，幫助兒童獲得操作性經驗

19世紀英國著名博物學家、生物學家、教育家赫胥黎認為：“數學訓練幾乎是純演繹的。數學家從少量簡單的命題出發，這些命題的證明如此明顯，可以不證自明，其余的工作就是從這些簡單的命題來進行巧妙的演繹。”“數學是一種根本不懂得觀察、實驗、歸納與因果關系的研究。”這是常見的對數學的偏見和誤解。同時期，英國數學家西爾維斯特對赫胥黎的觀點做了批判。他認為，數學研究要不斷觀察和比較，它的主要武器之一是歸納，它經常求助于實際的試驗與比較，同時它還對想象力與創造力進行最好的訓練。弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：121。弗賴登塔爾主張，兒童在數學學習中可以對非數學化的現實材料用數學方法來組織，通過整理、觀察、比較、試驗、提煉、歸納進行數學化。

例如，學生通過觀察學具，將空間表示成圖形，這是對空間的數學化;用折一折、拼一拼的方法發現三角形的內角和為180°，這也是經歷了數學化的過程;通過操作、討論、聯系、類比、記錄，整理平行四邊形的性質，使之形成推理關系，再歸納得出平行四邊形的一個定義，這是平行四邊形概念領域的數學化。幾何學習有數學化的優勢：有具體可操作的現實材料，學生易于獲得操作性經驗，在具體操作中體驗數學化過程，逐漸發展抽象、歸納的能力，提高數學水平。

2.簡化復雜情境，幫助兒童抓住問題的本質

一些數學問題看上去似乎是現實情境里的問題，但是被編題者加工了，讓解題者好像掉進了一個復雜的漩渦里。來看下面兩個問題：

（1）顧客在書店里買一本書，書價10元，他付了一張20元的鈔票。書商無零錢可找，請隔壁的鞋匠幫忙。鞋匠給他一雙修好的鞋，可收修鞋費16元。此外，鞋匠原來欠書商2元。結果，書商從鞋匠那兒拿到了6元，加上自己的4元，總共找給顧客10元。下午，鞋匠告訴書商，20元鈔票是假的。問：書商欠鞋匠多少錢？自己損失多少錢？

（2）甲乙兩人相距700米，相向而行，速度分別是1.5米/秒和2米/秒。一條小狗在甲、乙之間勻速地來回跑動直到甲乙兩人相遇，速度是20米/秒。當甲乙兩人相遇時，小狗共跑了多少米？

問題1給出的現實情境比較雜亂，學生讀下來往往覺得沒有頭緒，只看到多個人不斷地給或收錢物;而問題2，學生讀下來則滿腦都是來回奔跑的小狗和越走越近把小狗夾在中間的兩人，直至最后小狗沒空隙奔跑，兩人面對面站著，在這一過程中，小狗跑動的軌跡非常復雜，可以分為多段直線，而且無法計算出每一段的長度。

這兩個題目的“高明”之處就是把數學條件隱藏在了有多個行為主體參與的動態的現實情境中。要求的問題看上去都很簡單、樸實，但是，方法被紛繁復雜的現實情境遮住了。

攻克這種問題的武器就是“簡化”。去掉所有枝節，抓住問題本質，解決的方法、需要的條件也就浮出水面了。

問題1的簡化思路和方法如下：題中人員關系混雜，那就從“裁員”開始，確定“主角”和“配角”。以書商為標準，“進項”為加，“出項”為減，假鈔為0（沒有價值）。先看他與鞋匠的交易：出20元假鈔，價值為0;進一雙修好的鞋，價值為16元;進6元;之前出過2元（鞋匠原來欠他2元）。16+6-2=20，意味著他得鞋匠20元，即他欠鞋匠20元。再看他與顧客的交易：進20元假鈔，價值為0;出一本書，價值為10元;出10元（找錢）。-10-10=-20，意味著他給顧客20元，即顧客欠他20元。他欠鞋匠的要還，還完之后不得不失;顧客欠他的不會還了，所以他損失20元。

問題2的簡化思路和方法如下：路程=速度×時間，小狗奔跑的時間就是甲乙兩人相遇所花的時間。此題只是做了一個巧妙的轉嫁：看似復雜的現實情境，其實對應著非常簡潔的數學公式。

（三）如何實現“再創造”

弗賴登塔爾指出：“將數學作為一種活動來解釋和分析，建立在這一基礎上的教學方法，我稱之為‘再創造方法。”弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：111。這是要讓學生參與活動，在活動中經歷對學習材料的數學化處理過程，從而獲得知識。數學化的兩種形態——將現實材料加工為局部（不完整）的數學、將局部（不完整）的數學改造為結構化的數學，都應當在指導學生“再創造”的教學中有所體現。

下面以“平均數”概念教學為例來說明。

首先，將現實問題加工為局部的數學問題——

教師出示問題：在學校“題王爭霸賽”中， A、B兩隊選手的得分情況如表2所示（答對1題得1分），請問：哪一隊水平高？

對這個問題，學生會想到，分別求兩隊的總分，然后比較。但是又會發現，兩隊的人數不同，將總分進行比較存在不公平性，因此不能說明哪個隊的水平高。于是，用舊知識解決新問題已經無能為力。

這是一個數學化的過程：把一個現實問題抽象成一個數學問題。但是對學生而言，這個數學問題又是一個局部的數學問題。

其次，將局部的數學問題加工為結構化的數學問題——

師在人數一樣的情況下，用每個隊的總分作比較，便知道哪個隊的水平高。但是兩隊的人數不同，該如何判斷哪個隊的水平高呢？

（學生思考。）

師我們先不比A、B兩隊的水平高低，而把A隊和B隊的分數制成條形統計圖。（出示圖2）大家發現了什么？

生方塊有多有少，每隊各個選手水平高低不一。

師確實，各個選手水平高低不一，哪個能代表本隊的水平呢？

生可以把多的方塊移到少的方塊上去，最后變成一樣多。

生A隊全部移成7，B隊全部移成8。

師（出示圖3）現在知道A、B兩隊哪一隊水平高了嗎？

生B隊。

師沒錯。這個一樣多的得分，就是各個選手得分的平均數。平均數可以代表一組數，而且它排除了這組數的總個數因素。（稍停）“移多補少”的方法直觀，但是需要作圖。一般地，平均數=總數÷份數。這個算法使用起來很方便。同學們可以用它來算一下A隊4個人的平均分和B隊3個人的平均分嗎？

（學生計算。）

師結果一樣嗎？

生一樣。

師利用這個方法，我們班上次期末考試的數學平均成績怎么算？

生把我們全班同學的數學成績加起來，然后除以全班總人數。

（教師總結，對平均數概念做進一步說明。）

這個過程就是將局部的數學問題加工為結構化的數學問題：用總數不能解決問題，就引入平均數的概念。而且，結構化的過程是不斷進階的：在今后的學習中，會出現用平均數不能解決的問題，于是又會形成局部的數學，需要引入中位數、眾數等概念，再使其結構化。

除了數量關系的學習，在空間形式的學習中，也存在這兩種層次的“加工”。比如，由單位正方形的面積推出長方形的面積公式，這是較低層次的“加工”;系統地回憶長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導方法，形成如圖4所示的思維導圖，這是較高層次的“加工”，由此還可以大膽猜測圓的面積與長方形面積之間的關系（如圖5所示），得到圓的面積公式的推導方法。