啟發(fā)數(shù)學(xué)思維 助力高效課堂

劉暢

[摘? 要] 思維是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，為了通過有效地“教”促進(jìn)學(xué)生更好地“學(xué)”，教師應(yīng)充分理解教材、理解學(xué)生，進(jìn)而發(fā)揮引導(dǎo)的作用，通過科學(xué)的預(yù)設(shè)引領(lǐng)來啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以此提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞] 思維;數(shù)學(xué)思維;學(xué)習(xí)效率

筆者在教學(xué)“直線與圓的位置關(guān)系”時(shí)，為了能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精心籌備，在數(shù)學(xué)思維的助力下，去培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題和自主解決問題的能力，進(jìn)而提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

直覺思維促源起

數(shù)學(xué)直覺思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的最直接感悟，雖然其具有一定的瞬間性和不確定性，但卻是開啟學(xué)生思維的起點(diǎn). 在新知教學(xué)中，教師需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的一切與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)意識(shí)，從而開啟認(rèn)知的大門，促使他們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì). 要想啟發(fā)學(xué)生的直覺思維，教師應(yīng)將課堂教學(xué)主體定位于學(xué)生，將教學(xué)的引入點(diǎn)定位于學(xué)生的已有認(rèn)知或已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在開放的、平等的空間內(nèi)不斷提升.

環(huán)節(jié)1：借助生活現(xiàn)象，感悟位置關(guān)系

師：我們都看過日出，你眼中的日出與視頻的相比哪個(gè)更美呢？（教師用視頻展示太陽從海平面逐漸升起的畫面.）

生齊聲答：視頻里的美！

借助生活情境為后面問題的引出奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)結(jié)合現(xiàn)代多媒體技術(shù)，使數(shù)學(xué)課堂變得更加生動(dòng)，課堂氣氛和諧.

師：如果將“太陽”看作“圓”，將“海平面”看作“直線”，聯(lián)想一下剛剛視頻中太陽升起的過程，你能說說兩者的位置關(guān)系嗎？（學(xué)生回憶時(shí)，教師在黑板上畫出圓O，用直尺上下移動(dòng)，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思維）

生1：我認(rèn)為可以根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)來分，分為三類，分別為0個(gè)、1個(gè)和2個(gè).

師：你能根據(jù)剛剛的視頻描述一下嗎？

生1：在沒有看到“太陽”時(shí)，“太陽”與“海平面”沒有交點(diǎn);隨著時(shí)間的推移，慢慢地我們看見了“太陽”，這時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)太陽升起至某一位置時(shí)，兩者僅有一個(gè)交點(diǎn).

師：說得很形象，你們是不是也是這樣分類的呢？

在此環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的問題情境，學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和直觀感受快速地對(duì)問題做出了判斷. 雖然直觀思維沒有邏輯思維那么嚴(yán)謹(jǐn)，但是在日常生活中最為常用，也是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的動(dòng)力源. 要知道數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，大多數(shù)學(xué)概念、公式、定理等內(nèi)容都是從生活中不斷抽象、不斷實(shí)踐提煉出來的. 人對(duì)知識(shí)最初的感知就是源于直覺，為此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)善于利用一些教學(xué)情境來激發(fā)學(xué)生的直覺思維，先讓學(xué)生對(duì)問題形成一個(gè)直觀感受，接下來通過恰當(dāng)?shù)膯栴}激發(fā)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去驗(yàn)證和推理，將其提煉和抽象為數(shù)學(xué)認(rèn)知. 如在探究直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，教師通過引入恰當(dāng)?shù)那榫匙寣W(xué)生迅速地對(duì)問題做出了直觀的判斷，從而得出了直線與圓的位置關(guān)系的分類，這樣既淡化了數(shù)學(xué)的抽象感，又用直觀的思維方式讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有了初步的認(rèn)知.

邏輯思維促生成

經(jīng)過前面問題的鋪墊，學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系有了感性的認(rèn)知. 我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)語言來嚴(yán)格證明這些關(guān)系呢？通過“由形到數(shù)”的探究，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，并將位置關(guān)系抽象為用r與d的大小關(guān)系來判斷的問題. 這樣的過程充分培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維.

環(huán)節(jié)2：量化分析

師：通過直觀觀察我們知道了直線與圓存在三種關(guān)系，按照交點(diǎn)個(gè)數(shù)的0個(gè)、1個(gè)和2個(gè)分別將其定義為相離、相切和相交. 聯(lián)想黑板上圓與直尺的位置關(guān)系，如果將其用圖形來表達(dá)改為用數(shù)量來刻畫，應(yīng)該如何操作呢？（學(xué)生沉思）

生2：黑板上的圓O是固定的，當(dāng)直尺從下逐漸向圓移動(dòng)時(shí)，直線與圓越來越近，為此可以用遠(yuǎn)近的值進(jìn)行刻畫.

師：說得很好，為了便于表達(dá)，你認(rèn)為在圓上取哪一點(diǎn)為參照更易于表達(dá)呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生選擇圓心）

生3：我認(rèn)為可以選擇圓心，因?yàn)閳A上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，而圓心最為特殊，更易于觀察.

師：說得非常好，應(yīng)該如何表述呢？

生4：圓心為點(diǎn)，可以利用點(diǎn)到直線的距離這個(gè)數(shù)量關(guān)系表述.

生5：我感覺這樣表述缺少一些東西，隨著直線的移動(dòng)，點(diǎn)到直線有無數(shù)個(gè)距離，若沒有一個(gè)距離值作為參照，很難正確表述.

師：這確實(shí)是一個(gè)問題，你認(rèn)為我們還應(yīng)該知道什么呢？

生5：還應(yīng)該知道半徑的大小.

在此環(huán)節(jié)，教師通過問題的引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行邏輯分析. 通過探究學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓心到直線距離與半徑的關(guān)系. 通過量化分析，知曉了問題的核心，當(dāng)圓O與直線l相交時(shí)，此時(shí)d（圓心到直線的距離）r. 反之，根據(jù)d與r的大小關(guān)系也可以推導(dǎo)出圓與直線的位置關(guān)系.

就這樣，學(xué)生最初的直觀認(rèn)識(shí)通過量化分析后，直指問題的核心. 學(xué)生經(jīng)歷了“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，使思維逐漸趨于嚴(yán)謹(jǐn)，揭示了問題的本質(zhì)，抽象形成概念，并可以應(yīng)用概念去進(jìn)行判斷和推理，實(shí)現(xiàn)了問題的一般轉(zhuǎn)化. 相信在邏輯思維的參與下，學(xué)生的分析、推理、抽象概況能力都會(huì)有所提升，幫助學(xué)生獲得了更好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

應(yīng)變思維促深化

例、習(xí)題教學(xué)有利于新知的鞏固，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不能缺少的重要環(huán)節(jié)，借助應(yīng)用可以有效地檢測(cè)學(xué)生掌握知識(shí)的情況，有助于學(xué)生內(nèi)化知識(shí). 通過前面的探究，概念已經(jīng)形成，此時(shí)教師應(yīng)借助一些例、習(xí)題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的思維，以提高學(xué)生的應(yīng)變思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的解決問題能力. 學(xué)生的思維是否能夠有效地參與到解題過程中將關(guān)系到教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，為此在教學(xué)中教師要發(fā)揮好例、習(xí)題的功能.

環(huán)節(jié)3：典型解析

例1? 如圖1，在△ABC中，已知AC=6，∠A=45°，以點(diǎn)C為圓心畫圓. 圓的半徑r如下，請(qǐng)說明直線AB與圓C的位置關(guān)系.

（1）r=3; （2）r=3;（3）r=5;

師：你們認(rèn)為解題的關(guān)鍵是什么呢？

生6：我認(rèn)為解題的關(guān)鍵就是要求點(diǎn)C到直線AB的距離.

本題并不復(fù)雜，學(xué)生可以根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)輕松計(jì)算出CD的長度，為了發(fā)揮習(xí)題的示范功能，教師將解題過程進(jìn)行板演，進(jìn)而讓學(xué)生與自己的解題過程相對(duì)比，形成解題規(guī)范.

在此環(huán)節(jié)中，大多數(shù)學(xué)生都能夠積極參與，并應(yīng)用d與r的數(shù)量關(guān)系解決問題，達(dá)到深化知識(shí)理解、感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的目的. 不過對(duì)于以上問題的理解，部分學(xué)生可能會(huì)存在一些問題，因?yàn)槿粢鉀Q本題就需要根據(jù)已知進(jìn)行定量分析，并在分析過程中不斷應(yīng)變，對(duì)于一些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生來講，應(yīng)變思維較差，為此教師應(yīng)該多一些耐心，多讓學(xué)生在實(shí)踐過程中獲得一些切身的感悟，以此引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷解決問題的過程中啟動(dòng)應(yīng)變思維，深化知識(shí)理解.

系統(tǒng)思維促完善

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)、理解數(shù)學(xué)，教師有必要進(jìn)行一些拓展訓(xùn)練，既發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)其思維的靈活性，又幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，以提升自身的學(xué)力. 為了完成拓展訓(xùn)練，學(xué)生會(huì)進(jìn)行深度思考，靈活運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行整體分析，進(jìn)而抓住問題的核心和本質(zhì)，同時(shí)學(xué)會(huì)辨析整體條件與部分條件間的關(guān)系，借助系統(tǒng)思維進(jìn)一步積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.

環(huán)節(jié)4：適度拓展，積累經(jīng)驗(yàn)

例2? 如圖2，已知Rt△ABC的斜邊AB為6 cm，直角邊AC為3 cm，圓心為A，半徑分別為2 cm、4 cm的兩個(gè)圓與直線BC有怎樣的位置關(guān)系？半徑r多長時(shí)，BC與圓A相切？

變式1：若其他條件不變，將圓心A變?yōu)閳A心C，此時(shí)半徑分別為2 cm、4 cm的兩個(gè)圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑r多長時(shí)，AB與圓C相切？

變式2：若將變式1中的直線AB變?yōu)檫匒B，使圓C與邊AB有交點(diǎn)，則圓半徑r應(yīng)取怎樣的值？

借助變式1進(jìn)行縱向拓展，便于學(xué)生理解問題的本質(zhì)，判斷圓與直線的位置關(guān)系其本質(zhì)就是判斷“圓O的半徑與圓心O到直線l的距離d”的大小關(guān)系，只要掌握了這一核心要素，問題就可以迎刃而解. 對(duì)于變式2，學(xué)生在應(yīng)用以上方法進(jìn)行判斷的同時(shí)，還應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行整體思考.

通過同質(zhì)問題的拓展，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉了直線與圓的位置關(guān)系. 教師在教學(xué)過程中要善于根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展和改編，進(jìn)而通過有效問題的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)思維，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些現(xiàn)實(shí)的問題，同時(shí)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行系統(tǒng)分析，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，若想使課堂教學(xué)更加高效，則教師要善于在課堂的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行科學(xué)預(yù)設(shè)，有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生深度參與到課堂教學(xué)中，從而通過深度思考便于學(xué)生更好地理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí).