在“類比”中發展學生數學核心素養

劉建波 程國忠 王昌林

[摘? 要] 類比是人類認識事物的思維形式之一，能夠發展學生的數學核心素養. 文章先分析了類比的內涵及其價值，再分析了類比對于學生數學核心素養的促進作用，并以“等比數列的前n項和公式的推導”為例，展示了類比教學的過程，最后給出了關于類比教學的思考.

[關鍵詞] 類比教學;核心素養;教學實踐

[?]類比的內涵及其價值

“類”有種類、類似之意，也可指具有某種屬性的事物構成的群體[1];“比”有比較、分析之意. 所謂類比，是指依據兩個或兩類對象之間存在著某些相同或相似的屬性，推出它們還存在其他相同或相似的屬性的一種推理形式. 與“類比”相近的詞有“類同、類異、類推、比類”等，這些都囊括在“類比”之中，它們與“類比”的本質都是相同的，是人類認知事物的思維形式. 類比的價值不僅在于表面上的求同或求異，而且在于對元素、系統、對象進行梳理和體系建構，促進認知遷移[2].

[?]為何類比能促進學生數學核心素養發展

結合文獻[1-4]，總結出類比對于學生數學核心素養發展的促進作用表現為以下兩個方面：

（1）從本質來看，類比通過類同、類異、類推，探究元素、系統、對象之間的關系，經過同化、順應與平衡納入認知圖式，實現認知發展和遷移. 正如波利亞的觀點“類比的核心是關系上的相似”，類比處理問題的本質就是處理事物之間的關系問題. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標》）認為，數學教育要提升學生的數學素養，引導學生會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界，并提出了數學學科特有的六大核心素養——數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算和數據分析[3]. 其中，數學抽象是指從數量關系與空間形式的角度，抽象總結研究對象的共同規律，實質是從無到有產生數學，即“數學的根本起源”;邏輯推理是指從已有事實或規律出發，推出新的規律，實質是從少到多發展數學，即“數學的生長點和發展點”[4]. 無論是數學抽象素養的“從無到有”，還是邏輯推理素養的“從少到多”，乃至數學建模、直觀想象、數學運算等核心素養，都與類比處理問題的本質密切相關.

（2）從思維進程來看，演繹推理是“從一般到特殊”的推理，歸納推理是“從特殊到一般”的推理，而類比推理是“從特殊到特殊”或“從一般到一般”的推理. 正是因為類比推理能夠實現由特殊到特殊或一般到一般的轉移，所以類比能夠溝通已知與未知，既能幫助人們有效利用已有知識，又能彌補已有知識的不足并打破限制，進而啟發思考，開展創新實踐活動. 通過類比推理，學習者能利用已有經驗探究元素、系統、對象之間的關系、結構，從而更新已有經驗或范疇，理解新事物以及形成新概念，實現縱向領域的認知推進、橫向領域的知識遷移，在數學抽象、邏輯推理等創新實踐活動中發揮著歸納與演繹等難以企及的作用. 因此，類比能夠促進學生數學核心素養發展.

[?]如何在類比中發展學生的數學核心素養

下面以“等比數列的前n項和公式的推導”為例，分別從制定目標、引入課題、提煉步驟、形成公式、鞏固新知五個環節，闡述如何在類比中發展學生的數學核心素養. 具體如下：

1. 研讀課標，制定目標

等比數列的前n項和公式在《新課標》中被列入選擇性必修課程的函數主題. 本節課的目標為：探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系[3]. 從知識體系來看，等比數列的前n項和公式是繼等差數列章節后的重要內容，是等差數列的前n項和與等比數列的通項公式的自然延續，也是之前所學函數的延續. 本節課所運用的數列求和的方法（錯位相減法）是一種重要的數學思想方法. 其推導過程滲透著由特殊到一般、類比、歸納等思想方法，是發展學生數學核心素養的關鍵內容;從等差數列求和到等比數列求和、從倒序求和法到錯位相減法之間的類同和類異，是學生獲得基本活動經驗的來源. 因此，本節課的教學重點為等比數列的前n項和公式的推導和運用. 學生已經學過等差數列的前n項和公式，對于數列求和有了一定的認識. 在等比數列及其通項公式的教學中，學生已經發現等差數列與等比數列之間存在的異同，能夠自然進行知識類比、遷移，但想要將已有的等差數列求和經驗遷移到等比數列，學生難以通過運算形式的類比而進行. 因此，等比數列的前n項和公式的推導是本節課的教學難點.

基于以上分析，擬定“等比數列前n項和公式的推導”的教學目標如下：掌握等比數列前n項和公式;理解數列求和的本質;能夠推導等比數列前n項和公式;在類比等差數列研究等比數列的過程中，能夠邏輯連貫、有條理地進行分析、類比、遷移，從而發展數學抽象素養和邏輯推理素養.

2. 創設情境，引入課題

引例：小張向小李借錢，小李提了一個條件. 這個條件是：在30天內，小李第1天借給小張1萬元、第2天借給小張2萬元，以后每天借給小張的錢都比前一天多1萬;同時，小張在借錢的第1天要還小李1分，第2天還小李2分，以后每天還的錢是前一天的2倍，30天后互不賒欠. （提示：還的錢先按單位“分”計算，最后結果再換算成單位“萬元”）

師：你認為小張會不會虧呢？引例中小張一共借了多少錢？小張一共需要歸還多少錢？借錢總數與還錢總數誰大？

生：小張借錢總數為1+2+…+30==465（萬元），小張還錢總數為1+2+22+…+229（分），結果沒算出來.

師：我們發現小張借錢總數的計算是一個求等差數列前n項和的問題，運用等差數列前n和公式便可得到結果，小張還錢總數按天排列正好成等比數列，由于次數太高且沒有等比數列前n和公式可以應用，現在未能運算出結果. 那么等比數列的前n項和公式會是怎樣的呢？我們一起來研究. （板書課題并提出問題）

問題1：已知等比數列{a}，已知a，q，a，等比數列前n項和為S，試推導S.

評析：將生活中的借錢問題作為情境引發學生思考，且加等差數列的前n項和與等比數列的前n項和于其中，引導學生初步類比等差數列的前n項和公式，自然引出本節課的主線，讓學生在將生活問題轉化為數學問題的過程中發現新的求和問題，貼近學生的最近發展區，培養學生的數學抽象素養.

3. 類比舊知，提煉步驟

師：數列求和就是用相對簡單的形式來表征加法求和的結果. 等差數列的前n項和公式可以用基本量a，a，n或a，d，n來表示，那么等比數列的前n項和公式可能會用到什么基本量來表示呢？

生1：可能會用a，a，n，q來表示.

師：在等差數列的前n項和公式的推導過程中，我們用的是倒序相加法，那么用倒序相加法來推導等比數列的前n項和公式是否同樣適用呢？

生2：不適用. 從配對來看，等差數列中每對的和都是相等的，而等比數列中每對的和并不相等.

師：是的，回顧等差數列的前n項和公式的推導過程，我們先將原等式倒序得到第二個等式，然后將對應項配對求和，最后整理得到公式. 那么等差數列求和這三步的本質是什么呢？

生3：適當計算消去中間項，只剩下a+a. 將n個不同數之和轉化為相同數之和.

師：同樣是求和，同學們能否將等差數列的前n項和公式的推導步驟運用到今天的等比數列的前n項和公式的推導中來呢？（教師板書三個步驟：①將原等式變換出第二個等式;②兩個等式經過適當運算消去中間項;③通過整理得到求和公式）

評析：一方面，“數學方法的教學重在類異[1]”，引導學生回顧等差數列求和公式的推導過程，并讓學生思考能否類比等差數列的倒序相加法來解決等比數列求和的問題，旨在讓學生經歷類比思維過程. 另一方面，在學生已經掌握了等差數列求和方法（倒序相加法）的基礎上，利用問題推動教學進程，讓學生逐步從“形式模仿”走向“本質理解”，也就是認識到倒序相加法的局限性，并總結數列求和的本質就是根據通項結構特征結合運算律消項，從而為學生推導等比數列的前n項和公式提供清晰的方法指導. 由類比思想引領教學進程，讓學生在理解數學知識與體悟數學思想方法中發展數學核心素養.

4. 類比嘗試，形成公式

師：面對復雜問題，我們不妨從簡單的特殊情況入手. 比如前面提到的S=1+2+22+…+229. 求等差數列的前n項和的方法就是消去中間項，回到等比數列來，請同學們思考S=1+2+22+…+229中各項之間的關系，如何類比等差數列求和呢？

生4：在式子S=1+2+22+…+229的左右兩邊同乘2就會發現，中間項可以通過原式與變換后的第二個等式相減而消掉. 推導過程為

S=1+2+22+…+229，

2S=2+22+23+…+230，

S=230-1.

師：為什么會想到在等式的左右兩邊同乘2呢？乘其他的數可不可以呢？

生4：乘2后能夠對兩式進行消項，乘2的倍數也是可以的，但是沒有乘2方便.

師：乘2與等比數列本身有什么關系呢？

生5：2正好是等比數列的公比.

師：很好. 我們按照剛提煉出的步驟，得到了上述特殊的等比數列求和公式的推導過程. 具體的過程為：先在S=1+2+22+…+229的左右兩邊同乘公比2得到2S=2+22+23+…+230，然后利用錯位相減法消去它們的中間項，最后整理得到S=230-1. 同學們能否將上述的特殊情形類比推廣到問題1中一般的等比數列求和？類比剛才的方法，用字母代替數將特殊情形推廣到一般情形，消去中間項，試寫出等比數列的前n項和公式.

生6：將首項1寫作a，項數30寫作n，末項a寫作a，公比2寫作q，則等比數列的前n項和公式的推導過程為

S=a+a+a+…+a+a①，

qS=aq+aq+aq…+aq+anq=a+a+…+a+anq②，

由①-②，得（1-q）S=a-anq，得S=.

師：在用字母代替數進行推導的過程中，我們需要注意哪些細節呢？請同學們討論并加以完善.

生7：q≠1時，1-q才能用作分母.

師：是的. 若q=1，等比數列{a}將發生怎樣的變化？我們又該如何求S呢？

生8：q=1時，等比數列{a}就變成了常數數列，S=na.

師：很好. 因為公比q有等于1或不等于1這兩種情況，所以等比數列的前n項和公式應該寫成分段函數的形式，即

S=

na，q=1，

，q≠1.

因此，計算等比數列的前n項和時，當公比q為參數時，一定要分類討論. 同時，在推導過程中，第二個等式與原等式的大多數中間項正好是錯位分布的，因此我們將推導等比數列的前n項和公式的這個方法稱為錯位相減法. 它的原理是：根據等比數列的結構特征，利用等式左右兩邊同乘q得到與原等式有相同項的第二個等式，達到兩式相減消項的目的，最后得出公式.

師：等差數列的前n項和公式有兩個，等比數列的前n項和公式是否也有兩個？如果有，那會是怎樣的呢？

生9：可以將a用aqn-1來表示，得到用基本量a，n，q表示的新公式，即

S=

na，q=1，

=，q≠1.

還可以將等比數列的每一項都用首項和公比來表示，即

S=a+a+a+…+a+a=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①，

qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn②，

由①-②，得（1-q）S=a-aqn，得S==，所以

S=

na，q=1，

，q≠1.

評析：從特殊到一般的探究活動，可以避免特殊數據對問題本質的干擾，便于一般的等比數列的前n項和公式的推導. 在學生類比嘗試的同時，通過適當追問引發學生反思. 學生經歷思維從醞釀、發現、形成到實施、反思、優化的完整過程能夠促使學生合乎邏輯地進行思考[5]，進而提高思維的嚴謹性、深刻性、靈活性與創新性水平，發展學生的邏輯推理素養.

5. 運用公式，鞏固新知

師：使用等差數列的前n項和公式時，在a，a，n，d，S中“知三求二”;觀察等比數列的前n項和公式可以發現：在等比數列中，若q≠1，則在a，a，n，q，S中同樣能“知三求二”.

例1 合理運用公式，求解下列問題：

（1）求等比數列3，6，12，…，192的和;

（2）已知等比數列{a}中的a=-1，a=64，求q與S.

例2 求S=1+q+q2+…+qn-1+qn.

評析：一般來說，學生只有在運用公式的過程中，才能真正理解和掌握它. 通過例1的練習，可以幫助學生熟悉等比數列的前n項和公式，體悟等比數列的前n項和公式中五個量之間的關系. 例2需要對參數q進行分類討論，可以幫助學生進一步明確等比數列的前n項和公式的適用條件，深化對等比數列求和公式的理解.

[?]關于在類比中發展學生數學核心素養的幾點思考

數學核心素養落地的一個重要方式就是開展類比教學. 類比教學，旨在厘清數學內部的邏輯體系進行類比，它能引導學生在類同、類異以及類推的過程中學會“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”，促進學生在新舊知識之間建立非人為的實質性聯系，進而形成數學認知結構，實現認知遷移，發展數學核心素養.

1. “四個理解”是開展類比教學的首要前提

“四個理解”即章建躍先生提出的“理解數學、理解學生、理解教學、理解技術”[6]. 教師只有在“四個理解”的基礎上，類比教學才能開展得順利而高效，更能進一步順利發展學生的核心素養.

2. 合適的教學情境是開展類比教學的情感基礎

合適的教學情境能夠激發學生的興趣，調動相關的知識塊進行思考，產生積極的心理狀態參與教學活動，提升教學效率. 合適的教學情境的設置應該依據數學內容的本質和學生的認知特點. 教學中，將北師大版教材中的貸款問題轉化為小張借錢是否會虧的情境，旨在營造和諧、積極的學習氣氛，使得問題更加鮮活，激發學生的學習興趣，并為進一步教學建立積極的心理狀態.

3. 合理的問題設計是開展類比教學的關鍵動力

問題是思維活動的起點，是數學探索的牽引力. 思維起源于對事物的質疑、困惑，教師要善于在抓住學生新舊知識的交匯點的基礎上提出啟發性問題，激發學生的學習興趣，誘使學生主動去發現問題、提出問題、分析問題與解決問題，進而推動學生去嘗試、活動、體驗、表達，提升數學核心素養.

4. 嚴密的數學教育結構是開展類比教學的重要保障

數學教育結構是指“教與學對應”和“教與數學對應”的雙邏輯結構[7]. 只有借助嚴密的數學教育結構，才能將數學知識的學術形態轉變為易于接受的教育形態. 教學中，可以通過設計前后連貫的探究活動，讓學生經歷由舊知到新知的過程，理解數學概念，感悟其中的數學思想方法，從而形成數學認知結構. 例如，借助推導等差數列的前n項和公式累積的經驗開展類比教學，讓學生經歷從等差數列求和到等比數列求和的“類同”、從等差數列各項間的關系到等比數列的“類異”、從倒序相加法到錯位相減法的“類推”等由舊知到新知的思維過程，又一次感受“研究對象變化，而思想方法不變，研究方法不變”的數列求和過程，感悟其中蘊含的類比思想等數學思想方法，進而豐富學生的數學體驗，拓展學生的數學思維圖式，幫助學生養成連貫地、有理有據地思考問題的習慣，發展數學核心素養.

參考文獻：

[1]? 史寧中. 試論數學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J].數學教育學報，2016，25（04）：1-16+46.

[2]? 吳樂樂，裴昌根，柏楊. 類比視角下發展數學核心素養的教學策略探究[J]. 中小學教師培訓，2021（01）：35-39.

[3]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]? 李尚志. 核心素養滲透數學課程教學[J]. 數學通報，2018，57（01）：1-6+14.

[5]? 李昌官. 讓學生學會合乎邏輯地思考——以“等比數列前n項和公式的推導”教學為例[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2018（08）：58-61.

[6]? 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續1）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（19）：6-11.

[7]? 涂榮豹. 論數學教育研究的規范性[J]. 數學教育學報，2003，12（04）：2-5.