滲透模型思想　讓計算教學生根

陳慧

[摘 要]數的運算是小學數學教學的重要內容，提升學生運算能力，培養學生的核心素養是數學教學的重要任務。模型思想作為《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的十大關鍵詞之一，彰顯了它在數學教學中的核心位置。計算教學中蘊含著豐富的模型思想，教師應立足實際，找準現實模型，引導學生操作，并通過前后銜接建構系統模型，讓學生經歷數學建模的過程，提升學生的數學素養。

[關鍵詞]模型思想;計算教學;運算能力

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0055-03

數的運算是小學數學教學的重要內容，數學概念的形成、數學結論的獲得、數學問題的解決都依賴于計算活動的參與，運算技能是學生必備的一項重要能力。因此，計算教學也一直受到廣大數學教師的高度關注，從“雙基”下的運算技能到“四基”下的運算能力，再到數學核心素養下的運算素養，如何踐行課改理念，如何有效開展計算教學，如何培養學生運算能力成為教育的熱點問題。

一、問題緣起：發現計算教學的癥結

我校的計算教學一直是全區的典范，編有校本教材《計算手冊》，但在一次全區調研測試中，有兩道填空題的得分率只有84.6%和63.3%。題目如下：

9.列豎式計算24÷15，商是________________，豎式中的90 表示________________。

11.根據986÷29=34直接寫得數：98.6÷29=________________，0.986÷34=________________。

由此，我們對全校五年級共419名學生在整份試卷的三處計算的得分情況進行了統計，詳見表1。

調研發現：對于像第四大題這樣的純計算題，學生的正確率很高，達到95.4%。而填空第9題主要考查學生對豎式計算過程的理解，結果顯示，這道題的正確率明顯下降，僅84.6%。而對于填空第11題這樣需要邏輯推理的題，學生正確率就更低了。

這就說明，在解答純計算的單一程序性題目時，學生能夠根據豎式正確進行運算。但相比之下，對于算理表達類或邏輯推理類的題目，學生并不能完全看懂，或是無法理解不同的算式表征方式以及前后知識之間的遷移和聯系。也就是說，學生對運算的意義、算理和算法還不能全面、透徹地理解。

調研結果也反映了學生學習計算的一種現狀：精于計算，對運算技能的掌握好于對算理的理解;對計算知識點的掌握是零散的，缺乏整體的知識結構。運算技能不等于運算能力，“僅僅會計算”也與學生的計算素養要求相差甚遠。“技能強、理解弱、素養缺”這一現象究竟是怎樣在課堂教學中逐步累積而成的？帶著這些問題，筆者回到計算課堂，試圖尋找學生運算能力缺失的原因。

二、尋根溯源：分析計算問題的成因

筆者選擇蘇教版教材五年級上冊“小數加減法”這一教學內容，觀摩了兩位教師的課堂教學，教學片段如下。

【教師A】

教師創設情境并列出算式4.75+3.4，提問：“你會列豎式計算嗎？”

學生嘗試列豎式計算。教師在巡視中發現學生列豎式時出現末位對齊的現象，于是介入：“計算4.75+3.4時應該是小數點對齊……”

接下來，教師先講解怎樣列豎式計算，再引導學生計算減法，理解算理，總結算法，然后通過大量練習幫助學生鞏固小數加減法的計算。

【教師B】

前測：鋼筆5.3元，本子0.8元，兩樣一共多少元？請你列豎式計算。

提問：列豎式時，你為什么會把小點對齊？（學生的回答情況見表2）

課堂教學：創設情境，引導學生列出算式4.75+3.4，教師提問：“你能先估一估大概要花多少元嗎？”

學生估算出大概7元多或8元多。教師提問：“你會用豎式計算嗎？”

學生嘗試列豎式計算。教師在巡視中發現學生在列豎式時出現末位對齊的現象，于是指名兩位學生（一個對一個錯）上黑板板演。

教師組織學生討論對錯，從不同角度證明了小數點對齊的正確算法，即小數點對齊也就保證了相同數位對齊、相同數位相加減。

在此基礎之上，讓學生借助小數加法的計算經驗，獨立嘗試解決小數減法的計算問題（4.75-3.4）;通過分析算式的計算過程，總結小數加減法的計算方法;與整數加減法進行比較，說一說小數加減法與整數加減法的不同與相同之處。

通過以上案例不難發現：教師A的計算教學的落腳點仍舊放在了計算方法上，學生也許能夠熟記計算法則，也能正確計算，但對于算理的敏感度并不高，而且教師教學的著眼點僅僅是這節課的教學內容，完全沒有前后知識的銜接與溝通，學生掌握的知識呈點狀散落，沒有形成知識網絡，沒有建構計算模型，沒有形成認知體系。教師B通過前測準確把握學生的認知起點，學生能夠借助直觀模型更好地理解計算的算理。如借助現實情境模型和人民幣模型，學生在已有生活經驗的基礎上更容易理解“為什么要這樣算”，并通過小數加減法的對比總結計算方法，通過整數和小數加減法的對比促進算理的溝通，建構計算模型。

分析這兩個教學片段，不難發現教師的教學行為也是學生計算能力缺失的成因之一。于是筆者對本校及周邊幾所小學的部分數學教師進行問卷調查和個別訪談，從教師對模型思想的認識、理解、落實三個方面進行了調查和分析，歸納出當前小學計算教學中存在的主要問題：（1）部分教師對計算教學的目標定位存在偏差，沒有將計算中蘊含的模型思想融入教學，只是將“怎樣算、為什么這樣算”當作程序性知識進行講解。（2）部分教師教育教學能力不足。如對教材的整合能力不足、對學情的了解不足，不能設計多樣化的教學活動和有層次的探究活動，導致課堂教學效率較低。（3）學生對計算不夠重視，輕視口算和估算，缺乏對未知的探究興趣和能力。

三、建構模型：探尋計算教學的策略

基于以上思考，筆者積極探尋計算教學的策略，開展了基于模型思想的計算教學實踐研究。筆者從模型思想出發研讀教材、分析學情，對教材內容進行整體分析和重新組合，設計教學活動，讓學生在探究計算的過程中，掌握學科的核心知識，整體理解所學的主題內容，在知識建構和方法遷移中構建高階思維，提高運算能力，形成核心素養。可見，計算教學要重在遷移，落腳理解，聚焦內容，建構模型，關聯整體，形成系統。

1.立足學生已有經驗，找準現實模型

數學知識是螺旋上升式結構，如果沒有學生的已有知識和認知經驗作為學習的基礎，學生的數學學習將會是無源之水、無本之木。

如蘇教版教材五年級上冊“小數乘整數”的教學導入時可創設現實情境：夏季西瓜0.8元/千克，買3千克要多少元？學生或將0.8×3轉化成3個0.8相加來計算，或將0.8轉化成8角再乘3來計算，不管是根據乘法的意義轉化成加法來算，還是依據元角的關系轉化成整數乘法來算，都是充分利用學生的生活經驗來建構運算模型。創設真實的生活情境，是教學計算問題的關鍵，而很多教師往往忽略了這一步，認為它無關緊要。有的教師創設的情境不能承載計算的現實意義，有的甚至干脆跳過情境直接給出算式。其實，學生頭腦中不缺乏解決這類問題的有關知識，缺乏的是將數學問題轉化為數學模型的能力。而現實情境可以使抽象的計算轉化為具體、可感的問題，有效激活學生認知結構中相關的數學模型，幫助學生弄清問題的本質，把握探究的正確方向。

計算教學一定要準確把握學生的學習起點，找準新知的生長點，在新舊知識之間架起一座橋梁，促進學生順利經由舊知走向新知學習。復習教學也不能僅僅停留在知識層面，更多的應是激活，激活與復習內容相聯系的概念、原理、法則等數學模型。一旦學生認知結構中的某個結點被激活，就有可能觸動該知識的相關網絡，從而有效幫助學生找到解題策略。如在教學異分母分數加減法時，可先讓學生復習同分母分數加減法口算，并說說怎么算得這么快，為什么可以這樣算，加深學生對“分母相同，即分數單位相同，分子可以直接相加減”的認知。當遇到新問題“1/2+1/4”時，學生自然能想到如果這兩個分數的分數單位相同就好算了。

2.引導學生實際操作，理解直觀模型

在小學生的認知結構中，數和形是緊密聯系的，數形結合可以將抽象的數學知識與直觀的圖形結合起來，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

“孩子的智慧在手指尖上。”讓學生在具身操作中豐富知識表象、建構知識模型是行之有效的方法。在數的認識中，可利用小棒、方塊、計數器、數射線等直觀模型幫助學生理解數的意義和組成。在數的運算中，利用直觀模型更能幫助學生理解算理和算法。如在蘇教版教材五年級下冊“異分母分數加減法”的教學中，板書算式“1/2+1/4” 之后，教師鼓勵學生獨立思考后嘗試計算。有學生通過折紙涂色的方法得出結果，有學生通過通分算出結果。筆者讓學生對比這兩種方法，說說發現了什么，引導學生去觀察、思考、比較、聯系。學生發現原來的1/2再折一次就出現了1/4，兩種方法其實是一致的，它們分別從數與形的角度展示了異分母分數加法的算理。

通過比較各種版本的教材，筆者發現在明確算理的環節中，各版本的教材都注重借助幾何直觀來展示。一來可以讓抽象的計算過程具體化、直觀化、形象化;二來可以讓學生在操作過程中邊操作邊思考，從而探究方法，溝通算理。如借助方塊模型理解三位數加減法算理，借助分小棒理解首位不能整除的除法筆算，借助圖形涂色理解分數乘分數的算理，借助點子圖理解小數除以整數的算理……

3.緊密關聯前后知識，建構系統模型

教師在教學中要切忌就教材教教材，堅決破除“教材上有什么就教什么”的思想。首先，教師要有整體意識，研讀教材了解前后知識編排體系，形成系統的知識結構，只有這樣才能幫助學生開展有意義的學習，進而建構模型，形成知識結構。在教學時，教師要引導學生梳理新舊知識之間的關聯，弄清知識的來龍去脈，并把新知識與舊知識進行對比，在順應和同化中將新知融入原有的知識系統。如“異分母分數加減法”教學的全課總結階段，在學生總結出異分母分數加減法的計算法則之后，筆者設計了這樣的追問：“整數加減法是怎樣計算的？小數加減法是怎樣計算的？它們有什么相同之處？分數加減法又是如何計算的？它與整數、小數加減法又有什么相通之處？”通過梳理、比較，學生逐步認識到：整數加減法是末位對齊，小數加減法是小數點對齊，本質都是相同數位對齊，相同計數單位相加減;分數加減法也同樣是相同的分數單位才能相加減，所以要先通分。這樣做，可促進學生更深層次地理解、掌握計算模型，建構起新的、相對完整的知識網絡。因此，計算教學一定要著眼整體，不能僅僅聚焦于零散的知識點，要充分按照數學知識的邏輯結構、學生的認知發展順序，以相關活動為主線對教材內容進行整合設計，及時組織學生展開回顧與反思，使學生“既見樹木又見森林”，在各種變化的情境中逐步體會不變的模型。

綜上所述，運用數學模型進行計算探究，是模型思想在小學計算教學中的重要體現。教師要通過整合教材體系，把計算教學的一個個知識點組成塊、串成鏈，以模型思想組織計算教學，幫助學生建構好數學模型，體會數學模型的應用價值，形成結構化的知識，引導學生以更廣闊的視野、站在更高的層面建構新的認知體系。當在教學中滲透模型思想成為教師的自覺行為時，必然能讓計算教學向下扎根、向上生長，促進學生的思維走向自主建構，整體提高學生的運算能力和數學素養。

（責編 羅 艷）