小學數學運算教學算理和算法融合之道

楊升群

摘 要：運算貫穿了小學階段數學教學的始終，它是所有數學活動的基石。離開了計算，數學活動便成了無根之木，無魚之水。而運算教學的成功與否決定了學生的運算能力的質量，其重中之重是如何處理好算理與算法的融合問題，算理指的是“為什么這樣計算的問題”，算法指的是“怎么計算的問題”，兩者相輔相成，不可或缺。

關鍵詞：小學數學;運算教學;算理;算法;融合

計算能力作為小學生數學學習必須掌握的基本技能，它的形成主要是讓學生親身經歷算理的探究過程，深化對算理的理解，主動建構算法，達到解決問題目標來實現。在運算課堂教學中會出現兩種極端的現象，一是教師只注重算法的教學，一味地講解或灌輸計算的方法，卻忽視了對算理的理解，這樣教學違背教學理念和新課改精神;二是毫無目標開展算理的探究，忽視適時對算法的提煉和歸納，這樣學生運算技能達不到熟練程度。故此，在課堂教學實踐中，教育者探尋算理和算法的融合之道，提高學生的運算技能，刻不容緩。

一、搭建平臺，支撐算理和算法的融合

搭建科學合理的平臺，為數學探究活動提供腳手架，便于學生深入探究和體驗。小學數學運算教學的課堂，教師要根據學生年齡特點和所學知識的特點，搭建滿足學生探究和體驗的教學平臺，為實現算理和算法的融合服務。

（一）搭建動手操作平臺，探究算理和算法的融合

1.動手操作，感受算理

教學“兩位數減一位數（退位）減法”，創設學生熟悉而又喜歡的場景：熊大撿了23顆堅果，熊二撿了5顆堅果。鼓勵學生提出用減法計算的問題“熊大比熊二多撿多少顆堅果？”后，列式23-5=？低年級學生思維主要是以具體形象為主，對于抽象化的數字計算通過單純的講解，無法讓所有的學生理解算理，需要創建動手操作的平臺。為了幫助學生直觀表達計算過程，教師可引導學生用一根“小棒”代表一顆“堅果”，通過擺小棒的方法，嘗試計算，邊擺邊說說你是怎么算的？

學生是這樣描述計算過程的：①23根小棒中，我先拿走單獨的3根，再拆開一捆，從10根里再拿走2根，剩余8根，再和10根合起來就是18根;②23根小棒拆開一捆，從10根里面拿走5根，剩余5根，再和13根合起來就是18根;③23根小棒沒有單獨的5根，拆開一捆和單獨的3根合起來13根，從13根里面拿走5根。剩余8根，再和10根合起來就是18根。

動手擺小棒的過程就是算理在腦海里呈現的過程，學生表達的過程就是學生思維從抽象思維向形象思維過渡的過程。此過程讓學生在潛意識里經歷了算理認知過程，初步感受算理，為進一步探究做好鋪墊。

2.比較共性，直擊核心

呈現算理多樣化的基礎上，教師引導學生觀察不同擺法的直觀圖：三個學生擺法不同，但他們都做了同樣的一件事（都要拆開其中的一捆），這是什么呢？通過學生集思廣益，產生思維的共鳴：無論用哪種擺法，單獨的3根小棒總是不夠，必需拆開其中的一捆變十根，從中再拿出相應的小棒。讓學生感受到異中有同，同中有異，在存異求同的過程中直擊核心問題，詮釋算理。

3.歸納概括，提煉算法

當堂練習活動35-8=，42-6=，并讓學生說說你是怎么算的？引導練習題與例題算理和算法的比較，歸納概括，提煉算法。學生經歷從特殊到一般的過程，對計算法則的歸納和提煉，水到渠成，完美實現算理和算法的融合。

（二）搭建自主探究平臺，構建算理和算法的融合

教師在教學中搭建學習自主探究的平臺，引導學生充分運用自己的生活經驗和原有的知識能力探究算理，多元化理解算理內涵，起到事半功倍的效果。以學習五年級數學“小數加減法”為例。

1.自主探索，構建算理初衷

教師出示例題情境圖：小明買了一本講義夾用了4.75元，小麗買了一個筆記本用了3.4元。鼓勵學生提出問題：小明和小麗一共用了多少錢？后列出算式“4.75+3.4=？”教師先引導學生估一估：明確和的區間在7～9之間。根據解決問題的需要驅動：你能想辦法計算4.75+3.4的和嗎？在任務驅動下，學生主動嘗試用自己的生活經驗和原有的知識進行計算，出現以下幾種情況：

2.借助經驗，尋找算理本質

針對課堂的生成，組織學生交流：你覺得哪種方法計算結果正確，哪種計算方法是錯誤的？并說明理由，培養學生數學批判意識。

第3種方法計算是正確的，把4.75元看作4元7角5分，把3.4元看作3元4角，這樣5分與0分相加是5分，7角與4角相加11角，4元與3元相加再加上進的1元是8元，得到8元1角5分，所以和是8.15元。（2）把4.75看作4個1，7個0.1和5個0.01，把3.4看作3個1和4個0.1，4.75的百分位0.05和3.4百分位沒有相加，百分位還是0.05，0.7與0.4相加得1.1，4與3相加得7，最后和是8.15。這樣學生利用自己的經驗和原有的知識進行說理，尋找加法計算算理的本質，加深對算理的理解。

3.反向驗證，鞏固算理理解

證明一種方法是否正確、可行，可通過反向思維驗證。說說這兩種方法錯誤的原因：數位不同，也就是兩個不同的計數單位不能直接相加。這樣加深學生對算理的理解。追問：為什么數位相同才能相加？經過學生的交流和討論得到：數位相同，計數單位也就相同，只有計數單位相同才能相加減。

二、立足情境，溝通優化，馭法于理

小學數學運算知識的學習來源于生活，服務于生活，教師立足情境開展學習活動，從學生的生活經歷出發探究算理，溝通算理和算法的關系，實現算理和算法的融合。以教學“兩位數乘兩位數和筆算”為例。

（一）應用情境，嘗試計算

教師創設情境圖：教師夫妻二人邀請10個朋友看電影，每張電影票24元。讓根據信息提出數學問題：購買電影票一共需要多少元錢？并列出算式24×12=？引導學生結合情境圖，通過畫一畫、圈一圈等方法嘗試計算。

匯報以下幾種情況：

（1）平均分的方法：把看電影的12人平均分成2組，每6人為一份，24×6×2=288;也可以把12人分成3組，每4人為一組24×4×3=288。

（2）先分后合的方法：把12人分成5人和7人，先算5人購票需要的錢數，再算7購票需要的錢數，再合起來24×5+24×7;可以把12人分成9人和3人，先算9人購票需要的錢數，再算3人購票需要的錢數，再合起來24×9+24×3;還可以把12人分成教師夫妻2人和10個客人，先算教師夫妻2人購票需要的錢數，再算10個客人購票需要的錢數，再合起來24×2+24×10等。

（二）立足情境，溝通優化

如果一味追求算法多樣化，沒有對多樣化和策略進行必要的比較和優化，容易誤導學生進行低層次的重復，阻礙學生的思維發展，與新課改理念相悖。質疑：這么多的方法，哪種方法最理想呢？面對質疑學生產生思維波動。我們可以先分類，再優化算法。

（1）優化先分后合法：你更喜歡哪種分法？說明你的理由。生A：把購票12人分成教師夫妻2人和10個客人，先算教師夫妻2人購票需要的錢數，再算10個客人購票需要的錢數，再合起來這種方法，因為分成一個一位數和一個整十數計算可以通過口算就能得出結果。生B：因為24×2能口算，24×10也能口算。得到學生的一致認可后，繼續優化方法。

（2）優化“平均分”法和“先分后合”法：在交流的過程中有的說“先分后合”法好，因為整十數好算，有的說“平均分”法好，因為平均分方法更簡單。兩種觀點處在焦灼的狀態，此時教師的引導作用顯得至關重要，教師相機追問：是不是所有的兩位數都能平均分呢？在此情境中，學生的思維得到發散，逐漸向深度思考問題。接著舉例說明，遇到像13、17、19、23（質數）等不能平均分，但這些數能拆開一個整十數和一個一位數，運用“先分后合”法計算更好。這樣讓學生經歷從特殊到一般的過程，體會算法的廣泛性和普遍適用性。

（3）優化豎式：學生感受到運用“先分后合”方法的優越性后，讓學生獨立嘗試列豎式計算24×12，學生會出現以下三種不同的情況。

教師呈現以上三種方法，引導學生比較，你喜歡哪一種方法，不喜歡哪種方法？為什么？

生A：第2種方法好，因為它先算24×2=48表示2人購票需要的錢數，再算24×10=240表示10人購票需要的錢數，再算48+240=288表示12人購票需要的錢數。不喜歡第1種方法，因為看不出它計算的過程;生B：第3種方法比第2種方法更簡單，這里的24×10得240，把2寫在百位上，把4寫在十位上，就可以表示240，所以第2種方法240末尾的0可以省略。

（三）建立聯系，馭法于理

在學生充分溝通優化的基礎上引導學生聯系豎式與橫式和情境圖之間的聯系，師：通過剛才我們探究，你能結合情境圖和橫式說說兩位數乘兩位數的計算過程嗎？

在此過程中，情境、算理和算法相互溝通融合，直觀形象，算理清，算法明，體現運算教學對學生數學素養發揮的巨大價值。

三、任務驅動，探索法后藏理的內涵

學生學習新的計算法則，有的是憑自己的猜測，有的是自學的，有的是從課外輔導班學到的。這樣的學習是知其然，不知其所以然的，運算教學教師可以運用任務驅動策略，引導學生探究法后藏理的內涵。

（一）任務驅動，激發情感體驗

教學“分數乘法”教師提出問題：×=？，學生根據自己的知識和經驗知道×=，你能想辦法證明×=嗎？并在小組里交流。通過“證明”這一任務驅動，激發學生的情感體驗，學生能向更深層次進行思考，使學生進入深層次學習。

（二）辨析溝通，明確算法依托

經過小組交流，學生能從多角度驗證：

1.從分數意義入手，數形結合

通過交流發現，這種數形結合的方法，都是先畫個圖表示單位1，再分一分，找到，再分一分，找到的，也就是，都是把單位“1”平均分成8份，這個分母8都是通過4×2得到的。這幾種方法本質是一樣的，只是方式不同而已。

2.多元互化融合，支撐算法貫通

×=1÷2÷4=0.125=

×=0.5×0.25=0.125=

運用“轉化”的思想方法，證明推理的合理性，利用新知還原舊知，開辟思維新天地。這樣不僅能讓學生掌握算法，也能理解算法背后蘊藏算理的內涵，擺脫運算教學枯燥無味的標簽，使運算教學更富有生命力。

四、建立算理和算法本質體系，整體把握內在聯系

（一）承上啟下，建立加減法算理的本質聯系

小數加減法與整數加減法在算法上有共通性，列豎式的時候都是相同數位對齊，從低位算起，滿十進一，其算理的本質是相同計數單位才能相加減，起到承上的作用。異分母分數加減法與整數、小數加減法進行比較：計算異分母分數相加減都需要先通分轉化成同分母分數，其目的就是把不同分數計數單位轉化成相同計數單位，算理的本質與整數和小數加減法相同：相同計數單位才能相加減。

（二）適可而止，建立整數多位數乘法算理的聯系

教學“三位數乘兩位的筆算”時，教師在探究算理，總結算法后，拓展延伸環節“□□□…×□□□…”你還會算嗎？為什么也可以這樣算呢？猜猜多位數乘多位數我們將來還學嗎？為什么不學了呢？通過充分表達學或不學的道理后，明確其算理是一致的，構建整數乘法運算算理與算法的框架。

參考文獻：

[1]王國宏.探索根源之道，滋潤理性之思[J].教學研究，2019（1）.

[2]徐國裕，一位特級教師的專題式引領[M].福州：福建人民出版社，2018.