基于深度學習的初中數學復習課教學設計與實踐

溫展平

【摘要】本節基于深度學習的復習課通過中考題的練習，引導學生整合一章知識點，整體把握核心內容，選用典型素材，設計引發學生深度思考的問題，讓學生經歷數學知識“再探究”的，不僅著眼于基礎知識、基本技能的落實，更著力于學生關健能力的提升及核心素養的發展.

【關鍵詞】深度學習;復習課;教學設計

1 內容分析

一元二次方程是初中階段一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程和二元一次方程（組）的延續和深化，是刻畫現實世界數量關系的有效模型.所以，抽象出實際問題中的數量關系，布列一元二次方程，運用一元二次方程的解法求得方程的解（根），進而解決實際問題，是一元二次方程的中心問題.

2 復習目標

（1）構建整體知識脈絡;理解配方法，強化公式法，能根據方程的結構特征，選擇最簡潔解法解一元二次方程.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

（2）經歷運用知識、技能解決問題的過程，提高學生數學抽象、運算能力.

（3）培養學生主動參與、積極探索數學問題的熱情，增強發現和提出問題的能力，發展數學學科素養.

3 教學過程

3.1 建構知識體系，形成整體認識

1.（2020·黑龍江鶴崗市）已知2+3是關于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一個實數根，則實數m的值是（）

（A）0.（B）1.（C）-3.（D）-1.

2.（2021·山東臨沂市）方程x2-x=56的根是（）

（A）x1=7，x2=8. （B）x1=7，x2=-8.

（C）x1=-7，x2=8.（D）x1=-7，x2=-8.

3.（2021·浙江臺州市）x2-4x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）

（A）m>2.（B）m<2 .

（C）m>4 .（D）m<4.

4.（2019·廣東）已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數根，下列結論錯誤的是（）

（A）x1≠x2.（B）x21-2x1=0.

（C）x1+x2=2.（D）x1·x2=2.

5.（2020·湖南邵陽市）中國古代數學家楊輝的《田畝比數乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？利用方程思想，設寬為x步，則依題意列方程為.

答案：1.B 2.C 3.D4.D

5.x（x+12）=864

設計意圖 復習中應完成的基中一個任務是幫助學生完成知識的建構，讓學生對所學知識有一個整體的認識.以上5題精選自近年各地市中考真題，題目基本覆蓋本章主要知識點，學生容易入手，能讓學生快速進入本節課的主題.既讓學生以題目中涉及的相關知識點為線索，完成全章的知識梳理，又讓學生通過練習中考真題，直觀感受中考怎么考、考什么，可以讓學生熟悉中考的考查方式，提前適應中考的感覺.

教學引導 讓學生獨立完成5道題目，完成后讓學生思考解決以上問題時所運用的主要知識點、方法有哪些.然后讓學生以適當的方式呈現全章知識結構，并與同伴交流.如果學生梳理知識的經驗和能力不足，教師可以以下幾個問題進行引導：教材上本章有幾節內容？（本章內容教材分6小節）哪些內容可以整合為一個小單元？（用配方法、公式法、因式分解求解方程可以整合成一個小單元）整合后可以概括為幾個小單元？（大致分為三個小單元：對一元二次方程的認識、一元二次方程的解法和一元二次方程的應用）每個小單元有哪幾個主要知識點？對較好的知識結構圖教師利用投影儀進行展示交流.

3.2 解答典型例題，強化基本技能

例 將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段.

（1）要使其中一段比另一段長10cm，該怎么剪？

（2）把每一段鐵絲做成一個正方形，且兩個正方形的面積之和等于100cm2，該怎么剪？

（3）把每一段鐵絲做成一個正方形，這兩個正方形的面積之和可能等于200cm2嗎？

設計意圖 為盡可能在同一問題情境下呈現列方程、解方程、用方程的完整過程，這里選用教科書復習題第11題，并添加了問題（1）.

首先，通過問題（1）的解答讓學生再次明確方程的本質是“量與量之間的等量關系的刻畫”，而且可以利用方程求出未知量，同時讓學生感受方程之間的聯系，通過解法的類比，體會消元、降次的化歸轉化手段，參透數學思想.

其次，讓學生從對問題的分析解決過程中，再次感受用方程解決實際問題的一般步驟：設定適當的未知數，建立符合等量關系的方程，選擇恰當的方法解方程，檢驗方程的解是否符合題意，最終得出實際問題的解，讓學生掌握基本方法.

再次，在設未知數、列方程中，學生經歷用字母表示未知量，用代數式表示未知量，用方程表示量與量之間的相等關系，即建立方程的意思是用符號來表達一個用文字表述的條件，從而發展學生的數學抽象能力.

然后，在運用不同的解法解方程過程中引導學生對“怎么算？”“為什么這樣算？”“哪種算法好？”等一系列問題進行思考，幫助學生提高運算技能.

教學引導第（1）題引導學生利用表格1的形式，把文字語言轉化為代數語言，體會建模過程;用不同的方程模型解答，體會一元一次方程與二元一次方程的區別與聯系.通過回顧解二元一次方程的基本思路是代入消元、加減消元，基本思想是化歸為一元一次方程，為得出解一元二次方程的數學思想提供類比.

3.3 拓展反思總結，提升學科素養

拓展1 把每一段鐵絲做成一個正方形，若兩個正方形的面積之和為m，求m的取值范圍.

設計意圖 引導學生對圍成的正方形的面積的范圍進行討論、方程的有整數的分析，提高學生的探究分析能力，一方面滲透配方法在確定代數式的最值中的應用，另一方面讓學生注意到，在學習中不要刻意追求一些解題的特殊技巧，要掌握通性通法（公式法），特別是近年來，新課程改革越來越強調初高中知識的銜接，中考命題逐漸向高考命題方向靠攏，而高考命題的一個原則就是淡化特殊技巧.

教學引導 教師鼓勵學生先獨立思考并嘗試完成，再進行組內交流，小組派代表展示成果.

解法1配方法 S=x42+56-x42=18（x-28）2+98，

又由0

通過解法1，教師引導學生理解配方法的作用：既是一元二次方程的基本解法，又是推導求根公式的方法，而且還可以通過配方求代數式的最值.

解法2公式法 由x42+56-x42=m，

得x2-56x+8（196-m）=0，其中0

在把原方程化為一元二次方程的一般式后，可向學生提出以下幾個問題：文字表達“把每一段鐵絲做成一個正方形，兩個正方形的面積之和為m”，從得出的一元二次方程的角度來說，意味著什么？如何解這個方程？方程的解是在全體實數范圍內嗎？兩個解哪個大哪個小？引導學生用數學符號語言表達實際問題，把原問題轉化為方程在區間0

由Δ=-562-4·8（196-m）=32（m-98）≥0，

得m≥98，由求根公式得

x1=28-22（m-98），

x2=28+22（m-98），

且x1028+22（m-98）<56，

解得98≤m<196.

通過解法2，教師引導學生認識，公式法是解一元二次方程的通性方法，要熟悉公式法的基本步驟.

拓展2 若分成的兩段鐵絲長為整數，且兩段鐵絲做成的兩個正方形的面積之和為m也為整數，則m的可能取值有幾個？

設計意圖 對學生進行一題多變的訓練，讓學生學會提出問題、分析問題和解決問題，培養學生思維的靈活性、深刻性，提升學生的學科素養.比如改變條件的敘述方式，改變條件、題設背景，改變設問方式，或把相似的幾個題目組合改造、引申演變成新的問題等，都是重要手段.善于進行一題多變訓練，是培養思維靈活性、深刻性的關健.

教學引導 方程角度看以上問題的數學表達為：若m為整數，且方程x2-56x+8（196-m）=0在0

師生共同分析方程有整數根，需要同時滿足以下條件：

①Δ=b2-4ac為完全平方數;

②-b±b2-4ac是2a的整數倍.

因為方程的根為x=28±22（m-98），由m為整數，當2（m-98）為完全平方數時，方程的根為整數，設2（m-98）=n2（其中n為整數），所以n為偶數，

m=n2+1962，由98≤m<196，

得98≤n2+1962<196，

得-14

所以n=0，2，4，6，8，10，12，

所以m的可能取值有7個.

4 強化練習

解方程 （1）x2-2x+1=4;

（2）3x2-4x-1=0.

解關于x的方程 mx2-（3m+2）x+2m+2=0.

（2021·四川南充市）已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.

（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數根.

（2）如果方程的兩個實數根為x1，x2，且k與x1x2都為整數，求k所有可能的值.

5 設計說明

首先，深度學習的“深”在于能讓學生對核心內容有整體的、本質的認識.學生學習了方程之后，如果僅僅記住了“方程是含有未知數的等式”，但對方程的本質即“量與量之間的等量關系的刻畫”這一特征沒有體會理理解，那還是只學習到了外在的、形式化的東西.所以，在復習中應該盡可能在同一問題情境下呈現列方程、解方程、用方程的完整過程，同時可以把方程知識與不等式的概念、解法進行橫向對比，以融會慣通的方式對學習內容進行組織、整合，形成整體認識.

其次，深度學習的“深”在于讓學生掌握核心知識，形成基本能力.基于深度學習的數學復習課重要目標是讓學生基于整體的知識框架，掌握數學學科核心知識，發展數學學科關健能力.如何幫助學生發展關健能力？關健在于教師的引導、分析要“深刻”.

然后，深度學習的“深”在于讓學生學會數學地思考，提升學科素養.本節課在復習完具體實系數一元二次方程的解法后，通過拓展的形成把問題引申為解含參一元二次方程及整數根問題，一方面引導學生學會通過改變條件的敘述方式，改變條件、題設背景，改變設問方式，改變條件的范圍，提出新的問題;另一方面讓學生學會最基本的數學思考方法——借助數學工具（公式、法則）分析問題、解答問題，從而提升數學學科素養.

基金項目：興寧市教育科研課題《基于深度學習的初中數學課堂教學實踐研究》（課題編號XNJY2021023）的研究成果.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中數學）[M].北京：教育科學出版社，2019.