基于問題式教學的高中數學教學案例探究

摘要：隨著高中新課程標準的實施，新教材的使用，出現了很多新技術和新教學方法，其中以學生為主體的問題式教學法在課堂教學中被廣泛采用，筆者通過幾個教學案例，談談問題式教學過程中問題串的設計思路，以達到培養學生核心素養的目的.

關鍵詞：問題式教學;高中數學;案例

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）15-0044-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡介：郭嘉祥（1983.11-），男，福建省漳州人，學士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

高中新課程標準（2017版）的實施，人教版高中新教材（2019版）的使用，信息技術與學科教學的深度融合，對教師的教學方法提出了更高的要求，以學生為主體的問題式教學法在課堂教學中被廣泛采用.問題式教學法是教師按本節課的教學目標和教學內容，設計出一系列相互關聯的問題串，通過這些問題串來引導學生進行課堂學習，學生通過思考、小組討論、解答問題，總結、掌握知識點，完成教學目標. 教師對問題設計的好壞，是問題式教學有效與否的關鍵，因此，筆者以幾個教學案例，談談問題式教學過程中問題串的設計思路.

1 通過問題設計引導學生探究新知識

高中數學有很多知識的研究方法是相似的，教師可以通過問題設計讓學生類比之前的學習方法進行自主探究.例如《對數函數的圖象與性質》一課，學生已學習過函數的圖象和性質，并且通過《指數函數的圖象與性質》一課的學習，掌握了研究指數函數的圖象與性質的方法，于是，筆者設計了以下問題，引導學生進行類比探究.

問題1：同學們，我們學習過函數的哪些性質？

問題2：如何研究函數的這些性質？

問題3：回顧一下指數函數圖象與性質的研究過程？

問題4：類比研究指數函數圖象與性質的方法，我們應該如何研究對數函數的圖象與性質？

追問4.1：先畫哪幾個具體的對數函數圖象？

追問4.2：這些對數函數圖象有哪些關聯？你能畫出一般的對數函數圖象嗎？

追問4.3：觀察圖象，對數函數有哪些性質？

問題5：對比指數函數與對數函數的圖象與性質，有何異同點？

問題6：函數y=logx和y=logx的圖象有什么關系？你能得到什么結論？

設計意圖：問題1是讓學生復習函數的性質，明確研究對象.問題2是讓學生回顧研究函數性質的方法.問題3是問題1、2在具體函數模型中的應用.復習以上指數函數圖象與性質的研究過程，對于接下來學生研究對數函數的圖象與性質有很大的幫助，由于指數與對數的相關聯性，學生只要把上述研究過程中的“指數函數”改為“對數函數”，即可照搬步驟來完成問題4.對于學生的探究結果，教師應進行分析總結，特別要引導學生關注對數函數與指數函數圖象與性質的不同點，比如定義域，比如y=logx和y=logx圖象的關系等，從而設計了問題5、6.通過以上問題串，學生可以較順利的完成對數函數圖象與性質的探究，增強了學生的合作意識，也培養了學生的邏輯推理能力.

2 通過問題設計引導學生尋找新方法

上面的案例是類比舊知識的學習方法來探究新知識，筆者再舉一個案例《正切函數的性質與圖象》，則是不同于舊知識的學習方法，教師引導學生尋找新方法來探究相關聯的新知識.在這節課之前，學生已經學過了正弦函數和余弦函數的圖象與性質，研究方法是先圖象再性質，但為了培養學生的學科素養，本節課并沒有采用這種思路，而是先研究正切函數的性質，再作出圖象，對這種研究順序的改變，教學設計時就應輔于一定的問題串作為鋪墊，幫助學生更順利的進行探究.

問題1：同學們，今天我們將學習正切函數的性質與圖象，但不同于我們之前學習正弦函數和余弦函數的圖象與性質的研究方法，我們打算先研究正切函數性質，再研究正切函數圖象，大家思考一下，如果先研究正切函數圖象，有沒有什么困難？

設計意圖：讓學生明白為什么沒有采用以往常見的方法，先研究圖象，再研究性質，其實是培養學生在遇到困難時要善于轉換思路，尋找更快捷的方法來解決問題，為此，教師必須讓學生了解先研究正切函數圖象的困難在哪里，同時這樣的設計也讓學生對函數性質的研究方法有更深刻的理解.

問題2：既然我們先研究正切函數的性質，應該先研究什么性質？

設計意圖：對于圖象未知的函數，引導學生只能先從定義域入手，正切函數的圖象應是被x=π/2+kπ，k∈Z隔開的曲線.由于定義域的范圍太大，必須考慮把研究范圍縮小，所以結合三角函數的性質，引導學生再研究周期性和奇偶性.

問題3：我們是如何研究正弦函數的周期的？你能類比研究正切函數的周期嗎？

問題4：如何判斷正切函數的奇偶性？

設計意圖：類比正弦函數周期性和奇偶性的研究方法，即利用定義研究正切函數性質.

問題5：我們應該選擇哪個區間來研究？這種選擇對研究正切函數的圖象及其他性質會有什么幫助？

設計意圖：先研究周期和奇偶性的意義就是縮小研究范圍，既然周期是π，有些學生可能會選擇（0，π）這個區間，但這種選擇沒有利用到奇函數的性質，范圍還是偏大，所以教師要從盡可能縮小范圍的角度引導學生選擇（-π/2，π/2）這個區間.

問題6：如何畫出函數y=tanx，x∈[0，π/2）的圖象呢？

設計意圖：因為新教材中已刪去三角函數線這部分內容，為了畫出正切函數在x∈[0，π/2）的圖象，我們借助定義在單位圓中作圖，通過取一系列特殊角，作出其對應的正切線，即得到這些角所對應的正切值，再用光滑曲線連接而成即得到正切函數圖象.教學過程中可以借助信息技術顯示，比如幾何畫板，可以得到更精確的圖形，即y=tanx，x∈[0，π2）的圖象.

問題7：結合已得到的正切函數的周期和奇偶性，畫出正切函數在定義域內的圖象，觀察圖象，說說正切函數的圖象有哪些特征？

問題8：利用正切函數的圖象，你能歸納出正切函數的性質嗎？

問題9：通過這節課學習，同學們能否歸納出研究正切函數的性質與圖象的方法？獲得關于正切函數的哪些基本知識、技能？在應用中有哪些經驗？

設計意圖：利用圖象歸納性質是之前研究函數性質常用的方法，學生比較熟悉，所以教師在這節課的總結時要更關注數形結合思想的滲透.數學核心素養的培養就是要落實到平時的教學活動中，通過問題設計來提高學生的思維能力.

3 通過問題設計引導學生突破重難點

高中數學公式的推導往往比較抽象，令學生無從下手，如果教師只是把書本上的公式推導過程演繹給學生看，學生大多只是看懂了過程，記住了公式，但對于為何要使用這樣的方式證明知之甚少，不利于培養學生的核心素養.例如《等比數列的前n項和》一課，如果教師只是采用從特殊到一般的思想方法，引導學生先求1+2+2+2+…+2，再求一般等比數列的前n項和，那么學生往往會覺得很跳躍，也許能記住這種操作方式叫錯位相減法，但對于為什么要同時乘以公比，在學習初期是比較茫然的.為此，筆者設計如下問題引導學生探索等比數列前n項和的求法，從中引出錯位相減法.

問題1：通過實例，引出求和問題：1+2+2+2+…+2.

追問1.1：觀察這列數字的特點，是否為特殊數列？

追問1.2：類比等差數列前n項和的推導方法，能否采用倒序相加法求等比數列的前n項？

追問1.3：求前n項和的精髓是消項，對于等比數列，有沒有辦法出現相同項以達到消項的目的？

設計意圖：學生之前剛學過等差數列的前n項和，常見的錯誤就是對于非等差數列求和也套用等差數列的求和公式，為此設計追問1.1，提醒學生在套用求和公式之前要注意數列的類型.既然等比數列不能套用等差數列的求和公式，那學生在尋找新的求和方法時，最先考慮的就是能否采用推導等差數列前n項和公式的方法，即倒序相加法，來求等比數列的前n項，為此設計追問1.2，不僅復習倒序相加法，也提醒學生注意，只有滿足倒序相加法的適用條件，才能達到消項的目的.為了幫助學生尋找新的求和方法，教師再拋出追問1.3，讓學生觀察這個等比數列各項的特點，即從第二項起，每一項都是前一項的2倍，所以只要對這個等比數列的每一項都乘以2，就可以使前一項變成與原來的后一項相同，由此歸納出錯位相減法.接著，利用從特殊到一般的思想方法，筆者又設計了問題2作為鋪墊.

問題2：求1+q+q+q+…+q.

問題3：求等比數列a的前n項.

設計意圖：如果從問題1直接跳躍到問題3，學生探究起來是有難度的，而增設了問題2，既是對問題1進行了一般化，又提示了問題3的求和方法.

問題4：對于問題3中的錯位相減法，能否將“同時乘以公比”改為“同時除以公比”？

設計意圖：讓學生進一步明確，求和的精髓是消項，錯位相減法“同時乘以公比”的目的是消項，而“同時除以公比”也能達到消項的目的，同樣是可行的.

通過這一系列的問題串，學生學到的不只是錯位相減法這一種方法，學生會更清楚到的認識到錯位相減法的目的是為了消項，將來遇到新的問題，學生會去尋找消項的方法，這樣學生的思維就得到了拓展.

總之，問題式教學法是如今很流行的一種教學方法，也是我校數學教研組的特色，需要教師對課程標準和教材內容有深刻的理解，能根據學生的實際學情設計合適的問題串，引導學生在解決問題的過程中學習知識，提高學科素養.在今后的教學過程中，筆者也將繼續探索，力圖更好地將問題式教學法應用于課堂中.

參考文獻：

[1] 李福均.高中數學教學中問題驅動式教學法的應用分析[J].科技風，2020（04）：62.

[2] 楊軍文.高中數學教學中問題驅動式教學法的應用對策研究[J].考試周刊，2020（60）：73-74.

[責任編輯：李璟]