基于數學建模素養的高中數學課堂教學研究

石鳳燕

[摘? 要] 作為數學學科六大核心素養之一，數學建模素養對發展學生的學科素養具有重要作用. 文章以“生活中的優化問題”教學為例，探討了基于數學建模素養的高中數學課堂教學實踐，提出了發展學生數學建模素養的有效路徑.

[關鍵詞] 數學建模;核心素養;課堂教學

作為引導學生應用數學思維觀察世界、思考世界、表達世界的重要手段和載體，數學建模能力的培養不僅能夠幫助學生靈活巧妙地利用所學知識將錯綜復雜的實際問題抽象化、簡潔化，而且也能應用數學模型有效解釋某些客觀現象、預測未來發展規律，甚至還可以為鼓勵或控制某一現象的發展提供良好的策略，很好地培養學生的創新意識和實踐能力. 而隨著以核心素養為價值取向的課程改革的逐步深入，指導學生開展數學建模活動，體驗完整的建模過程，提高模型求解能力[1]，對數學建模素養落實在課堂教學中具有重要的意義.

下面以高中數學“生活中的優化問題”教學為例，探討基于數學建模素養的高中數學課堂教學實踐.

[?]教學內容與目標分析

數學應用貫穿了整個高中教學過程，“生活中的優化問題”是在學生學習完導數的概念、導數在函數中的應用等相關知識后，對所學知識的真實體驗和應用. 若從認知結構方面分析，對于生活中的一些簡單實際問題，高中學生已經具備了數學建模的經驗和知識，但是在面對復雜實際的問題時，對于避免不必要的干擾要素，分析篩選出其中的關鍵因素，進而將其轉化為較理想、簡單的數學問題還存在一定的困難，特別是在分析實際問題背景、利用數學結論解釋生活現象、結論驗證不正確時如何優化研究過程等方面還沒有形成思維習慣，建模和解模對于高中學生而言仍然是一個難點.

基于以上分析，將“生活中的優化問題”課堂教學目標設計如下：

（1）體驗導數在解決有關函數的實際問題中的應用;

（2）提升學生分析和解決實際問題的能力，培養求真務實、嚴謹治學的科學態度.

（3）熟悉數學建模步驟，進一步發展學生的數學建模素養.

教學難點：如何將復雜的實際問題反復調整為合理的數學模型.

教學重點：明確數學模型的建立步驟，利用導數解決有關函數的實際問題.

[?]主體教學過程設計

1. 創設情境，提出問題

問題1：飲料是大家日常生活中最為常見的物品，最早在市場上出現的飲料是運用“大瓶”進行包裝的，而隨著人們生活水平的提高，市場上的飲料包裝逐漸向“易拉罐裝”方式轉變，請你分析一下這是為什么. 假如你是某飲料生產商，你認為開發“易拉罐裝”的飲料，需要哪些方面的研究，具體要考慮哪些因素.

教師活動：提問與引導.

教學評價：數學核心素養是從具體情境問題中體現出來的，而這里所創建的情境問題，必須是學生非常熟悉的，是學生能夠從數學的角度發現和提出的[2]. 同時，還能讓學生體會到數學知識在具體生活中的應用.

2. 數學建模，解決問題

問題2：根據相關統計，通常情況下成年人每天的平均飲水量為355 ml. 若某品牌飲料設計的容量為V ml，瓶身類似于圓柱體，為了節省原材料，請問：如何設計這個圓柱體瓶身的尺寸？如何應用數學語言表示上述問題？[3]

教師活動：多重設問引導學生提煉關鍵信息，提問并組織學生解題.

教學評價：通過交流討論，學生在熟悉的情境中完成了由現實問題轉化為數學問題的第二次抽象，有效促使學生感悟數學與現實之間的聯系;并在此基礎上，引導學生預設該圓柱體瓶身的高為h，底面半徑為r，則體積可表示為V=πr2h，獲得h=，而圓柱體瓶身的表面積可表示為S=2π

r2+

，進而將這一現實問題轉化為了“當r取何值時，圓柱體的表面積S最小”;最后引導學生得出：當r=，h===2r時，S取得最小值.

問題3：上述求證過程反映在實際生活中具體表示為什么，能否應用相應的圓柱體易拉罐進行驗證？通過分組的形式測量一個可口可樂易拉罐的尺寸.

教師活動：提供幫助，組織學生測量.

教學評價：對數學模型h=2r的解釋和證明能夠幫助學生提升應用數學語言的能力;同時，也有利于學生動手實踐能力的提高.

問題4：現實結果與研究結果并不一致，能否進一步進行闡述說明？有人認為，結果不一致主要有以下兩個原因：一是易拉罐頂蓋的厚度、易拉罐罐底以及罐身的厚度不一樣;二是上述研究過程將易拉罐近似地看作一個圓柱體. 你認為上述哪個方面對研究結果的影響較大，能否對已經建立的模型進行優化？

教師活動：引導學生進行反思，多角度培養學生發現問題、解決問題的能力.

教學評價：數學模型的建立本身就是一個反復驗證、優化的過程，而問題4的探究還能進一步培養學生鍥而不舍的精神.

問題5：若在上述模型建立過程中，不再忽略易拉罐頂蓋和其他部分材料厚度的差異，能否重新確定參數建立數學模型？

教師活動：呈現資料，及時給予引導和幫助.

教學評價：雖然此問題看似前面問題的“重復”，但實質上對于高中學生而言，要跳出原有的思維重新建立模型，本身具有挑戰性. 而且，前面問題要求的是表面積的最小值，而此問題要求的是體積的最大值. 值得一提的是，問題5的探究若在課堂上無法完成，則教師可以采取小組討論的形式，在課后通過研究性學習的方式要求學生建立數學模型.

3. 反思歸納，總結提升

問題6：根據上述教學活動，請歸納出利用數學建模解決實際問題的具體步驟和注意事項. 本節課程教學中，你還有哪些收獲？能否從數學經驗、數學思想等方面進行表達？

教師活動：引導學生進行反思和表達，歸納建模解模的步驟.BDAA7C06-1939-4CDD-8551-5B1024F9FF1C

教學評價：歸納總結是數學建模過程中不可或缺的環節，而利用導數求解函數最值是一種很重要的思想和方法. 同時，實際問題較為復雜，因此教師還要不斷引導學生在反復實踐、驗證、優化的基礎上獲得研究成果.

[?]教學思考及啟示

1. 基于數學建模素養，引導學生用數學眼光發現問題

應用導數解決函數最值問題是重要的數學模型，其建模的主要任務就是在學生較為熟悉的生活情境中建立模型，并將模型反作用于實際問題中. 但很多函數、數列等數學應用問題都是在明確變量后，為了便于學生的自主學習簡化出來的，這就導致學生從實際問題情境中發現和提出問題的能力弱化了. 因此，在具體的數學建模素養培育的過程中，教師應讓學生多接觸實際生活中的數學問題，更加注重教學內容中體現了哪些數學思想和數學方法.

2. 基于數學建模素養，引導學生學會數學思考

應用導數解決函數最值問題的教學中，不能僅以學生單純發現問題及結論為基本宗旨，還應為后續的學習提供服務，如數學建模過程中所蘊含的數學模型思想就是學生良好的學習素材. 因此，教師還應在數學建模教學中充分發揮學生的主體作用，及時引導學生在“想中做”“做中思”，學會數學思考，在高效的討論交流中思考得更加透徹，觀察得更加明白，才能在未來的學習探究中達到“以不變應萬變”的效果.

3. 基于數學建模素養，在深度學習中發展數學思維

核心素養是個人軟能力與既定知識技能的有機結合，而要在課堂教學中有效落實核心素養，就要培養學生會思考、會體驗、會表達的數學思維能力. 具體而言，就是要求教師能夠根據教學主題，圍繞核心問題不斷創設情境，有效調動學生思考的積極性，并以問題為載體，引領學生在深度探究學習中經歷解決問題的過程，有效幫助學生積累數學活動經驗，領會蘊含在其中的數學思想和方法，從而達到培養學生數學核心素養的目的.

總之，數學核心素養是在數學學習過程中逐漸形成的，而實踐證明，通過一系列數學模型教學案例探析教學活動，學生的數學抽象、數學分析、數學運算、應用意識等均得到了不同程度上的提高. 因此，教師應強化數學建模思想的核心地位，站在學生的角度去看數學建模[3];善于發揮教學主導和引領的作用，引領學生在深度探究學習中體驗完整的建模過程，領會蘊含在其中的數學思想和方法，提高學生運用數學模型的能力，有效全面落實學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]? 孔志文，白雪峰. 探尋數學建模素養落地生根的有效路徑[J]. 基礎教育課程，2019（10）：35-40+46.

[2]? 金一鳴，常梨君. 基于應用問題發展數學建模素養——以概率應用題為例[J]. 數學之友，2021（08）：73-75.

[3]? 姜瑋. 高中數學建模中優化問題的建模與實現研究[D]. 華中師范大學，2015.BDAA7C06-1939-4CDD-8551-5B1024F9FF1C