基于深度學習的高中數學建模教學實踐與思考

摘要：《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》指出，當今教育背景下，高中教師要轉變傳統“知識主導”的教學架構，明確數學建模能力對學生思維、素養提升的重要意義。深度學習理念作為新課標的內在要求，不僅要求教師重新審視教學與育人工作的關系，還應秉持“以生為本”的教育方針，深度解讀教學內容、課程標準，將數學建模能力作為學生核心素養提升的關鍵。基于此，文章立足深度學習理念，分析數學建模能力內涵及應用價值，并從內容、方式等層面給予滲透，提升課堂深度與廣度的同時，強化學生知識運用能力，以此推動我國高中數學教育事業的蓬勃發展。

關鍵詞：高中數學;深度學習;數學建模;應用價值;融合策略

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1673-8918（2022）24-0086-04

一、 引言

隨著高中新課標的實施，數學建模在高中課程設置中的要求的逐漸加強，數學建模素養作為數學六大素養的重要組成部分，它是基于數學學科的知識技能而形成的重要的思維品質和關鍵能力。如何更好地在高中實施數學建模，是當下教師教學工作開展的重要課題。為此，一線教師紛紛展開探索，從其內容、原則、教學方式等層面進行解讀。然而，在實際教學過程中，由于教學內容、教師能力等因素的限制，使得成效難以達到預期，加之數學知識的抽象性與復雜性，導致教學方案缺乏趣味性與針對性，學生難以明確其本質。深度學習作為當下重要的教育理念，其體現在學生自主思考、自我反思兩個基本環節，將其融入數學建模教學中，能夠很好地彌補傳統教學存在的短板，促進學生能力、素養的協同發展。對此，文章將從以下幾個方面進行闡述。

二、 深度學習概念

深度學習源于人工智能，起初是對機器學習樣本數據的內在規律和表示層次的綜合概括。隨著技術、手段的日漸成熟，使得深度學習開始向各個領域滲透。教育界中，許多學者發現了深度學習的邏輯關系與教學工作的出發點、落腳點存在一定聯系，并開始探索其與教育工作的契合點。大多數學者認為，深度學習的主要作用對象為學生，重在引導學生結合已學知識構建特定的思維框架，通過這種方式也能使學生將各個知識點按照某一線索串聯起來，在此基礎上也能使自身的思維由淺層向深層過渡。從本質上看，深度學習重在引導學生深度挖掘知識的形成過程，在此基礎上深化對學科概念、知識的理解，進而形成完整的知識框架，促進學生綜合學習能力提升。同時，深度學習還注重鼓勵學生主動構建知識網，同時還要促進自身價值觀的形成，激發學生攻克難關的決心，進而向高階思維邁進。總之，深度學習是一個接收、反思、批判的過程，學生既要做到“學”與“知”，又要明確學習的本質及目的，以此進一步完善自身知識建構，建立良好的知識互通關系。

三、 高中數學深度學習特征

（一）注重思維傳遞

深度學習在各個教學環節中均有所體現，不僅能培養學生良好的自主思考、自主探究能力，而且能喚醒他們的學習熱情，使其主動參與到學習活動中。同時，深度學習能夠促進學生個體間思維的交互與傳遞，彌補傳統學習模式存在的短板，提高學習成效。

（二）鼓勵深度參與

高中階段數學知識內容繁多、邏輯性強，對學生思維、認知等方面的提升有著十分重要的現實意義。在實際教學中，教師不僅要注重知識的簡化，而且也要貫徹素質教育的基本要求，從多個角度進行有效切入，確保學生能夠通過深度學習整合教學知識。同時，當學生遇到困難時，教師要扮演好“領路人”這一角色，通過情境、問題的追問，鼓勵學生深度參與，提高課堂主體地位的同時，促進核心素養的培育與形成。

（三）主張知識建構

當下高中學生面臨高考的壓力，學業任務繁忙，多數學生難以抽出時間思考、理解知識背后的核心思想。為此，為了促進學生能力、思維的全面發展，教師必須轉變傳統“知識主導”的教學架構，注重數學思維的培養，并通過實際案例、教學情境的引導，提高他們知識獲取、知識運用的基本能力，以此最大限度地發揮深度學習的優勢。

四、 數學建模的含義與價值

（一）數學建模的含義

數學源于生活，用于生活，在對問題進行分析、思考的過程中，就是數學模型構建的過程。從古希臘“地心說”與“日心說”之爭到如今的人工智能，數學建模都發揮了十分重要的角色地位。一些數學家認為，數學建模是對現實問題進行抽象，用數學的語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題。它是處理各種實際問題的一般方法。

（二）數學建模的價值

建模重在提高學生對知識的歸納整理能力，高中數學教學中，通過引導學生建模能夠使學生將瑣碎的知識串聯起來，同時也能有效串聯學生碎片化的學習時間，使學生把握學習主旨，在此基礎上開展高效的學習活動。同時，通過建模，能夠提升學生用數學語言表達生活中的數學的愿望，也能使學生置身于實際的生活情境中，在生活中發現并解決問題，拉近數學與生活之間的關系，發現生活中的數學，進而提高自身的實踐能力。同時，學生也要善于尋找模型中的多個相關關系，并發揮模型的知識整合作用，逐步攻克數學學習中的難題。

（三）數學建模素養的含義

數學建模素養能夠間接體現學生的數學思維，通過這一素養的提升，學生能夠更好地理解抽象的數學知識，進而了解數學符號的妙用。學生結合相關內容搭建相應的數學框架也能從一定程度上簡化數學問題，從未知到已知，逐步挖掘題目中的隱含信息，將復雜的知識簡單化，通過這種方式也能強化自身的知識應用能力。此外，數學建模素養聚焦學生四項關鍵能力的培養，第一種能力為問題轉化能力，第二種能力為知識應用能力，第三種能力為創新能力，第四種能力為合作能力。

（四）數學建模素養的特征

數學建模素養具有引導性，能夠引導學生深入思考學習內容，進而獲得良好的學習體驗。同時，該素養還具有探究性，注重引導學生探究知識的關聯點，從實際問題入手，探討解決問題的對策，同時也強調學生要運用數學語言、數學思維解決實際問題。

五、 當下教學中數學建模素養的培養情況

采用“板書+習題+測驗”的方式進行授課，枯燥乏味的教學氛圍阻礙了學生學習興趣的養成，對數學建模的認知流于表面，難以運用到實際中。同時，學業的繁重，使學生難以抽出時間進行建模研究，進而導致學生數學建模能力薄弱。對此，培養學生的數學建模素養尤為必要。

六、 基于深度學習的高中數學建模教學策略

（一）在建模活動中培養數學建模素養

為進一步培養學生數學建模素養，教師要注重教學方式的轉變，全面解讀教材內容，創設有效情境進行建模活動教學，引導學生深度學習。

以“必修一中的數學建模專題：茶水最佳飲用問題”為例，針對問題特點，教師可圍繞“家鄉茶文化”進行情境創設，為學生介紹茶葉的六個類型，同時讓學生思考“泡好一杯茶，等多久喝口感最好？”。隨后，教師可從室內溫度、茶葉沖泡溫度等方面設置不同導學問題，并根據牛頓冷卻模型，設置思考任務，鼓勵學生設計相應的實驗方案與流程，并通過模型建立與分析，完成實驗報告。這樣一來，在問題的引導下，學生既掌握了問題發現、問題分析的基本能力，又熟悉了數學建模的一般步驟，促進了數學建模核心素養的培育。

（二）優化課堂教學過程，提升數學建模素養

1. 在新課講授環節中滲透建模思想

數學概念、定理、公式是學習的基礎，但由于這些內容的枯燥乏味，多數學生難以快速融入課堂學習中。為此，教師可針對不同教學內容，通過情境、問題的雙重引導，建立相應的數學模型，幫助學生更好地理解概念、定理、公式的內涵，滲透數學建模思想。

以“幾何概型”為例，開展教學前，教師可結合已學的古典概型的相關知識，通過對其特點的總結，明確其與幾何概型的區別與聯系。在講解過程中，教師可引入截竹竿（準備一根長度固定的竹竿，隨機截取，試求截出的兩段長度不小于竹竿長度1/3的概率）;取水（已知容量為1升的水杯中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取0.1升的水，求小杯水中含有這個細菌的概率）等問題，并通過動畫演示，輔助學生思考，培養其從特殊到一般的認知方法，進一步感受數學建模思想的應用。

2. 在習題講授環節中滲透建模思想

深度學習視角下，習題講授既是促進學生知識深化、能力提升的關鍵環節，也是培育數學建模素養的搖籃。在實際教學中，教師要精選典型例題，提高學生數學建模能力。

對此，教師可引入2021年新高考Ⅰ卷的16題：某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙張的某條對稱軸把紙對折。規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次一共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次一共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推。則對折4次一共可以得到不同規格圖形的種數為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2。

引導學生：（1）找出重要變量及其關系：長方形的長與寬，面積=長×寬;

（2）將實際問題轉化成數學問題：

設長方形紙的規格xdm，ydm對應點（xn，yn），其中x0=20，y0=12。

起始狀態，P（20，12）;對折1次，P1（10，12），P1（20，6）;對折2次，P2（5，12），P2（10，6），P2（20，3）;對折3次，P3（2.5，12），P3（5，6），P3（10，3），P3（20，1.5）。

（3）問題情境模型化：每對折一次，可以得到不同規格圖形的種數比上一類多一種;設對折k次共可以得到不同規格圖形的種數為ak，它們的面積之和為Sk，則得到數列{ak}與{Sk}。

（4）解決問題并加以抽象概括：ak+1=ak+1，{ak}是公差為1的等差數列，因為a0=1，所以ak=k+1，繼而利用數列知識求出∑nk=1Sk=2403-n+32n。

這樣，學生通過例題學習，經歷了“實際問題通過直觀想象、數學抽象找出變量，應用數學建模、數據分析轉化為數學問題，再經過數學運算、邏輯推理求解問題”的過程，讓學生深入思考問題的本質，并在逐步探究過程中提升數學建模能力。

3. 在綜合復習環節中滲透建模思想

綜合復習環節是學生知識深化、能力提升的重要階段，教師不僅要對學生整體知識框架進行梳理，而且還要做到查缺補漏，以此保證學生學習效率。

為此，針對復習課的特點，教師可設計以下例題：

小張想用一筆錢投資，現有以下三種方案，

方案一：每天回報20元;

方案二：第一天回報5元，以后每天比前一天多回報5元;

方案三：第一天回報0.4元，以后每一天的回報比前一天翻一倍。

試問，哪種方案利益更大？

講解過程中，教師要注重問題、情境的引導，鼓勵學生利用已學的函數知識進行思考。比如有的學生假設第x天所得回報是y元，整理出三個方案對應的函數關系：

方案一：y=20（x∈N）;

方案二：y=5x（x∈N）;

方案三：y=0.4×2x-1（x∈N）。

教師可借助互聯網技術，將學生的函數圖像具象化，輔助學生進行模型分析，如下圖。

通過圖像的觀察與數據的計算，學生得出：短期投資（投資天數（x）<7）可以選擇方案一;投資天數在7～9時選擇方案二;投資天數大于10時選擇方案三。這樣一來，在函數模型的幫助下，學生既復習了以前的知識，又鞏固了自身數學建模能力，而且在對問題分析過程中，學生逐漸掌握了問題分析的流程，實現深度思考的同時，促進了他們數學思維的躍遷與內化。

（三）結合教材進行滲透教學

深度學習視角下，教師要注重教材知識的挖掘，通過對例題的綜合分析，提取有效信息，建立相應的數學模型，進一步提升教學成效。

以均值不等式一課為例，教師可引入教材例題：如某同學購買某一物品，購買方式有兩種，第一種方式不考慮物品在某一時間段價格變化的影響，且購買定量的物品。第二種情況為支出金額固定，這一期間物品價格可能出現輕微變化。如果兩次購買過程中，物品單價均不同，那么哪種購買方式更為劃算？

在講解這類題型前，教師可按照異質成組原則，將學生分成多個小組，并鼓勵他們自行探討、分析例題，把握關鍵信息。同時，教師可準備不同的數學模型，鼓勵學生進行假設推導，并列出具體算式進行說明。比如，有的小組圍繞第一種策略，將平均價格作為經濟對比，將第一次購物時價格設為p，購物量為m，第二次購物時價格為q，購物量仍為m，根據題意可知：

pm+qm2m=p+q2

有的小組以第二種策略為主，將第一次花n元錢，能夠買np個物品，第二次仍花n元錢，

2nnp+nq=21p+1q

之后各小組根據本組自述內容，通過作差法進行經濟比較，得出了相關結論：一般情況下，在不考慮物品價格升降的情況下，如果是n次購買同一種物品，每次購買這種物品所花的錢數一定比較經濟。

這樣，通過不等式模型的建立，學生既深化了已學知識，又能明確數學知識在日常生活中的重要作用。同時，從實際問題中抽象出數學問題，能夠進一步培養學生分析問題、解決問題的能力，使其積極參與，自主思考，促進自身數學建模能力的綜合提升。

七、 結語

總之，當今教育背景下，高中數學教師應重新審視教學工作的出發點與落腳點，明確數學建模能力對學生數學思維、核心素養培養的重要價值。同時，在日后教學工作中，教師也要遵循教育規律，立足學生發展實際，以思維養成為根本，豐富教學形態，優化教學手段，重燃學生數學學習熱情的同時，使其具備問題分析、模型建立、方法探究的基本學習思維，提高教學工作的深度與廣度，促進學生能力、素養的相互滲透與相互轉化。

參考文獻：

[1]陳涌泉.基于“深度學習”的高中數學單元教學設計[J].高考，2021（36）：118-120.

[2]吳亦巨.基于核心素養的高中數學深度學習策略分析[J].中學教學參考，2021（36）：27-28.

[3]郭建理.基于深度學習的高中數學課堂教學問題設計[J].中小學課堂教學研究，2021（12）：57-60.

[4]魯傳宏.高中數學建模能力訓練：案例教學中提升數學素養分析[J].數學學習與研究，2021（14）：120-121.

[5]陳益榮.高中數學課堂培養學生數學建模能力的教學策略研究[J].高考，2020（27）：34-35.

[6]董建宏.樹立建模思維提升教學有效性：談建模思想在高中數學教育中的培養[J].高考，2020（9）：111.

課題項目：文章系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度教育教學改革專項課題“指向深度學習的高中數學建模教學實踐研究”（立項批準號：Fjjgzx20-055）的研究成果。

作者簡介：陶文平（1971～），男，漢族，福建福鼎人，福建省福州第二中學，研究方向：高中數學教學。