如何正確解決高中數學問題

周紅文

【摘 要】 在高中數學的學習階段，學生最難面對的便是解答數學問題這一環節，學生只有合理地應用數學思想以及解題方法，才可以得到更高效的解題結果.本文從數形結合、函數教學、解析幾何這三個數學問題領域出發，引導學生具體解決相應的數學問題，進而幫助他們掌握更好的解題技巧與方法，以供參考.

【關鍵詞】 高中教學;人教版;解決問題

1 前言

下文將以人教版2019高中數學教材為例，展開詳細的研討，幫助學生掌握更多的解題思路和技巧方法，使其不再被數學問題所難倒，并逐漸提升他們的學習成效.

2 借助“數形結合”，解決數學問題

數形結合這一數學思想通常運用在探究函數和圖像、曲線和方程等系列內容當中，學生在解決這類數學問題的時候，采用數形結合的思想不但可以輕松地尋找到解題的思路，而且還可以避免繁雜的計算步驟，以提升解題的時效.數形結合不僅對學生解決數學問題具有一定的幫助，同時也能夠幫助教師指出全新的教學方向，從而增加數學課堂的趣味性，不斷引發學生的解題欲望[1].

例如 在進行求解函數最大值和最小值的數學問題時，通常學生會考慮有沒有定義域，進而逐步算出答案.另外，還有一些學生對二次函數單調性這方面的知識點沒有掌握充分，一般只會采用死記硬背的方法來解決數學問題，結果自然不會理想.為此，教師可以引導學生采用數形結合的思想，讓他們先把二次函數圖像在平面坐標系中標畫出來，那么便可以對數學問題一目了然.這種圖文合一的解題方法，無疑指明了學生解決數學問題的前進道路.如，當學生在求解f（x2）這一數學問題當中，假如他們只是采用傳統的數學方法，那么會不知從哪下手.由于學生不知x該怎樣取值，這時教師就要利用數形結合的思想，引導學生進行畫圖以及解析題干，進而解決問題：如圖1所示，y=ax2（a>0），通過圖像我們能夠得知這個函數是一個以y軸為對稱軸，并且開口向上經過點O（0，0）的拋物線圖像.當x<0時，函數圖像將呈遞減的特性;當x>0時，函數圖像則為遞增特性.學生通過自己畫出對應的函數圖像，便可以清晰的尋找到解決數學問題的方向，再加上系列運算，最后得出整個解題的經過.

3 妙用“函數教學”，解決數學問題

不管是函數教學，還是數學公式定理課程教學，教師都能夠采用適當的講解方式進行授課.首先，教師可以觀察到學生實際的數學學習狀態以及解題過程，并根據他們的改變而進行變動;同時，教師還要重視指引學生對函數對象本質內容的理解與運用;其次，教師還要實際為學生提供多個回答數學問題的機會，進一步調動他們學習的積極性，預防學生被動的學習數學知識點;此外，教師更應該適當地對學生進行啟發，既可以引發他們的思考，又能夠節省課堂時間，并在課程的最后留下新的數學問題，從而引發學生的課后探究[2].

例如 教師在為學生講解兩角和與差的正弦、余弦、正切內容時，應該注意及時強調推理和記憶相結合的學習方法，以更好地幫助學生解決數學問題.在講解過程中，教師首先要向學生說明余弦公式，并可用單元圓來證實這一公式，進而引導他們一一推出其他的數學公式.具體內容如下：

在單位圓中做出∠α，接著再順、逆時針方向依次畫出∠β，則∠AOC=α+β，∠BOC=α+β.由此我們可以得知A的坐標是（1，0），B（cosα，sin a），C（cos（α+β），sin（α+β）），D（cosβ，-sinβ）.

為此，學生在解決這類三角變換的數學問題時，可以使用到以下的解題方法：

（1）利用變換來證實或轉換.在上述題干中，教師便可引導學生采用這種方法，如α=（α+β）-β;α=β-（β-α）等.這些變換在教師的講述下，學生會得到更加深刻的了解.接著教師再為學生引進其他的數學問題，讓他們通過使用變換的方法，進而得以有效解題.

（2）在解決該類問題時，公式需要正用、逆用以及變形使用.三角部分所涉及的公式眾多，這時就需要教師引導學生對多種公式進行正用、逆用或者變形使用，進一步增加問題考察的難度.

（3）公式與相關數學知識的綜合考察.在高中數學問題當中，三角部分的知識通常是和三角函數、正余弦定理等內容有所關聯.這就需要學生不斷扎實基礎知識，從中運用適當的方式方法和正確的思考進行解題.

4 巧用“解析幾何”，解決數學問題

除了上述兩種數學問題類型之外，教師還要注重引導學生解決“數學幾何”問題，進一步培養他們數學解題的基本技能和方法，以更好地提升學生的數學學習成績.在“解析幾何”當中，我們要將坐標作為解題的橋梁，再將幾何問題轉變成代數問題，接著利用代數的運算，進而解得問題的結果，最后再對代數結果作出幾何解析.高中數學當中的應用問題一直是學生所面臨的一個學習難點，而針對解析幾何的數學問題，因為其計算量大、涉及的范圍較廣，更是難上加難[3].

例如 某檢驗人員一般用直徑2cm和直徑1cm的標準圓柱，來檢測一個3cm直徑的圓柱，為確保質量，有人提議再插入兩個同號的圓柱，請問這兩個圓柱的直徑是多少？

當教師帶領學生解決這類數學問題的時候，首先要讓學生注意幾個解題步驟：（1）閱題意;（2）構建變量關系;（3）做出問題結論.

分析 學生在解決任何數學問題，讀懂題意是最重要的，題中未說怎樣使用直徑為2cm和1cm的圓柱來檢測3cm直徑的圓柱，之后“為確保質量，提議再插入兩個同號圓柱”，則可以表明：直徑為2cm和1cm的圓柱剛好插入3cm直徑的圓柱內部，進而起到保證質量的作用.為此，我們就可以理清解題的思路，并進行數學解題.

解 設直徑為3、2、1圓柱的圓心分別是O、A、B，圓P、Q使它們和圓O內切，與圓A、圓B外切，以構建坐標系，設圓P的半徑為R，|PA|=1+r，|PO|=32-r，|PB|=12+r

所以|PA|+|PO|=1+r+32-r=52

橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和等于長軸長，

即點P在以A、O為焦點，長軸長為52的橢圓上，其方程16（X+14）225+2Y23=1①

同理，點P在以O、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，它的方程（X-12）2+4Y23=1②

解由①②組成的方程組為，

P（914，67），Q（914，- 67）

所以r=32 -|PO|=32 - （914）2+（67）2=37

最終得出圓柱的直徑為67.

5 結語

總之，在高中階段的數學解答過程中，教師需要引導學生采用不同的方法，借助不同的數學思想，進而解決數學思想，最終使其形成基礎的解題技巧.

參考文獻：

[1]類成方.淺談高中數學系統思維的培養路徑——以人教版高中數學教材為例[J].新課程，2019，000（001）：118-118.

[2]程斌斌.例說巧用“教材旁白”的教學策略——以人教A版高中數學教材為例[J].高中數學教與學，2019，424（04）：37-38.

[3]丘麗娟，鐘世文.“問題解決”教學三部曲——以人教版一年級上冊數學教材為例[J].福建教育，2017，000（040）：53-54.