淺論如何提升高等代數教學效果

周瑞銘 張會平

1.中央民族大學理學院 北京 100081；2.中國人民大學數學學院 北京 100872

高等代數課程是數學、物理、計算機、金融工程等學科的一門重要學科基礎課和必修課，其內容深廣、抽象程度高[1-9]。在高等代數教學中，抽象的概念、煩瑣的論證與復雜的計算相交織，這使得許多知識點的講解存在一定難度，學生們也不容易提起學習興趣，教學較難達到好的效果。在教學過程中有沒有適合這門課程特點的、有效的方法來促進學生的學習、提升教學效果？筆者在教與學的實踐中體會到幾個有效的方法，與讀者共享。

一、讓抽象的概念“接地氣”

在高等代數這門課程的學習過程中，接觸每個知識模塊之初都會接觸到一些抽象概念，學生對這些概念的理解直接影響到他們的學習自信心以及對整個課程的學習效果。因此，如何設計教學方案并付諸實施，使得學生能夠順利理解并內化這些概念就尤為重要。在教學實踐中，我們發現用一些學生們能夠看得見摸得著的例子做引導，教學效果明顯提高。

我們來看一個例子。現代代數學是研究“結構與關系”的學科，教師在講授并培養學生這一觀念的時候，許多同學對結構與關系這兩個抽象的概念不能理解。在教學中嘗試把這些概念代入學生的具體生活中，使抽象的概念“接地氣”，教學效果明顯提升。比如在本例中，教師先提出問題：“教室里就座的所有人是否構成一個非空集合？”學生們很容易理解并給出肯定答案。

其次，教師引導學生們建立這樣的意識：如果教室中所有人相互之間都不認識，都不打交道，那么這個集合就僅僅是一個“人的集合”，沒有活力。

最后，教師提出假設：如果在教室里的人與人之間建立一種“互動”的方式，互相產生聯系(注意提醒學生這種聯系的方式需要遵守一定的規則，比如要文明有禮不能打人罵人)，緊接著提出問題引導學生思考：請問這個時候這個教室里的所有人構成的集合與剛才沒有“互動”的集合有沒有區別？學生思考后可以發現，“有互動”的這群人的集合和“無互動”的人的集合是不同的。此時，教師板書或PPT演示如下內容：

這樣學生們很快就能理解代數中“結構”這個觀念的核心與本質：即“結構”是一個配備著運算的集合(當然，這個或這些運算需要遵守一定的規則)。

以上例子取自于由學生們自己構成的集合，學生們有參與感、很容易產生興趣，而且該例子也易于理解，從而教學效果良好，使學生們初步建立了“結構觀”這一重要理念。

此時教師趁熱打鐵，再以實數域R上的n維向量集合Rn為例，指出這是一個非空集合，該集合上有向量之間的加法運算，以及R中的數與Rn中向量之間的數乘運算，且這兩種運算滿足一系列的性質，這樣的配備著加法與數乘運算的集合Rn就是一個代數結構，稱之為實數域上的n維向量空間。通過此例，學生對“結構”觀念的理解進一步加深，且對課程所學習的具體內容n維向量空間Rn有了更深一層次的觀照，抽象思維能力得到訓練與提升。

二、把煩瑣的敘述形式“變簡單”

高等代數中許多問題的敘述或論證過程在形式上十分煩瑣復雜，這往往使學生們望而生畏，裹足不前。在教學中針對這些情況，教師不同的處理方式造成的教學效果差異很大。教師如果在合適的地方簡化形式表達，把煩瑣的敘述變簡單，或者依托具體的例子來講解問題的本質，可以使學生的注意力從復雜的數學公式表達和煩瑣的語言敘述轉到問題的核心，教學效果會有大幅提升。

例如，“矩陣的秩”是矩陣、向量、線性方程組等研究對象的連接點，是教學中的重點，其中矩陣秩的定義與矩陣的行秩和列秩的關系是教學中的一個難點[1-5]，尤其在證明“矩陣的秩=矩陣的列秩”的時候，教材中的證明過程敘述煩瑣，造成學生看不到問題的核心和學習上的困難。對于這個情況，教師在課堂上如果采用簡單的例子來展示思維過程，比如選取低階矩陣為例來證明該結果，簡化形式，在學生可以夠得著的地方做引導，學生會覺得這個困難的內容并不是高不可攀，從而理解證明的思路并進一步順利解決更廣泛的情形下的類似問題。

又如初等矩陣在矩陣論中是一個重要的研究對象，它完全確定了初等變換前后兩個矩陣的關系，同時在求逆矩陣及求二次型的標準形中起著核心作用，因此，對初等矩陣性質的研究就尤為關鍵。但是在說明“初等矩陣左乘或右乘一個矩陣的結果是什么”的時候，如果證明一般n×n矩陣的結果，論證過程的敘述形式就十分煩瑣，學生的注意力很容易放在這些“令人頭大”的高階矩陣表示上，從而對問題本質的關注不夠、理解不透徹。這個時候，教師選取幾個低階具體矩陣作為例子演示，并引導學生自己舉幾個具體例子算一算，那么教學的效果將事半功倍。

類似的，對于線性方程組理論中齊次線性方程組基礎解系的求法、線性方程組求解的矩陣消元法等內容，如果直接講解多元線性方程組理論，則問題的敘述及解決過程冗長，學生抓不住重點。在這種情況下，教師若精心選取幾類具體的、有代表性的三元或四元線性方程組分類演示解決問題的過程，則學生得以窺見復雜形式下的核心理論與方法。

三、從“看熱鬧”到“摸門道”

在高等代數學習過程中，有些定理的證明由于篇幅過長或涉及的知識模塊較多顯得十分困難。對于這些問題，如果教師引導學生把它們當作“名畫”或“名曲”來慢慢欣賞、細細品味，那么學生也將可能在輕松愉快的心情中獲得知識與美的感受，建立起對數學的學習興趣，繼而從“看熱鬧”逐步過渡到“摸門道”，數學素養不斷提高，教學效果顯著提升。

怎樣才能讓學生看出門道？這主要在于教師要重視展示思維的過程。以處理比較困難的或比較大的知識體系為例，一個有效的辦法是先把整個內容拆解為幾個模塊，容易理解的模塊只說明這一模塊在整個體系中的地位與作用，涉及的詳細證明過程教師略講或不講，以培養學生們獨立解決問題的能力和建立自信心；難以理解的模塊教師細細講、慢慢講，并在學生提出問題的地方反復多次多角度分析討論；而知識體系中的核心部分更需要精講，尤其要點明該模塊在整個理論體系中的作用與地位。

以處理伴隨矩陣這一知識點為例，把整個知識點的學習分成五個模塊：準備、概念引入、性質、地位與作用、補充說明。下面我們詳細說明具體處理的過程。

首先，在準備階段教師指導學生復習代數余子式以及行列式理論中的一個常用結果：

對于n×n矩陣A=(aij)n×n，有：

其中|A|是該矩陣的行列式，Aij是aij的代數余子式。

做好這些準備后，第二步給出伴隨矩陣的定義，伴隨矩陣的定義比較簡單，只需要提醒學生牢記伴隨矩陣中代數余子式的位置。接下來第三步給出伴隨矩陣的基本性質：對于n階方陣A，有:

AA*=A*A=|A|E

這一性質的證明并不困難，教師引導學生嘗試獨立運用前面的準備知識進行證明，教師不需要講解，這樣可以讓學生更好地記住該結論，也有助于培養學生的學習信心。

接下來，教師指出重點，明確告訴學生現在進入該知識點的關鍵部分，引導學生思考引入伴隨矩陣的作用是什么?然后證明以下定理：

這個定理的結論非常重要，為了加深印象，教師在此處需要帶領學生一起進行證明。同時更重要的是指出該定理的作用：該定理給出了用行列式的值是否為零來判別矩陣是否可逆的方法。教師在此處需要明確多次反復強調這一點，并指出用該辦法判斷一個具體的方陣是否可逆非常有效。進一步，教師需要點明課程中引入伴隨矩陣這一知識點的最主要作用也是為了得到該定理，即在課程中，伴隨矩陣是可逆矩陣這一知識模塊的一個附屬工具。

利用該定理還能夠得到一個非常重要的推論。

推論：對于n階方陣A，如果存在矩陣B使得AB=E(或BA=E)，則A可逆。

這個推論的結果與可逆矩陣的定義相比較，顯然用該結論判斷方陣是否可逆比用定義要簡單，因此在實際應用中，對于判斷非具體的方陣是否可逆常用的是該推論。教師在此處需要再次強調伴隨矩陣的出現是為了證明以上定理及其推論，它們都是判斷方陣是否可逆的重要且簡單的辦法。

最后補充說明：對于定理中的另一個結果，即用伴隨矩陣求逆矩陣是不是求逆矩陣的有效辦法？教師需要舉兩個具體的例子給學生獨立計算，這樣做的益處是，學生在做題的過程中自己就能夠感受到用該辦法求逆矩陣的計算量大出錯率高，從而他們可以體悟到對于一個具體的可逆矩陣，利用伴隨矩陣來求其逆矩陣的可行性不高。

從上面的例子我們可以感受到教師把握了整個教學節奏，學習內容的處理詳略得當；教學中學生有實踐、有思考、有體會，清楚了為什么引入伴隨矩陣、伴隨矩陣的地位與作用，更重要的是學生深刻理解并能應用核心結果：即用行列式的值來判斷矩陣是否可逆。這樣的教學過程讓學生們逐步感受到了數學中層層相扣的邏輯美，感受到了跌宕起伏的節奏美，感受到了全面分析問題的結構美，摸到了學習的“門道”。

結語

以上幾點是筆者在高等代數教與學過程中的幾點小的體悟。高等代數是一門常學常新、常教常新的課程，如何提高學生的學習興趣和提升教學的效果，還需要不斷地探索與學習。希望本文起到一個拋磚引玉的作用，期待與讀者朋友共同探討、交流溝通。