一道圓錐曲線試題的拓展探究

浙江省杭州市交通職業高級中學 (310011) 吳 江

1 試題呈現及解析

另外還可以結合圖形，分析可知當直線MN的斜率kMN→0時，|BP|→0，|DP|→∞，由此可知|BP|+|DP|不可能為定值. 通過上述分析，發現點A為橢圓長軸上的一個頂點，那么定值與哪些變量有關？可否用一般性結論來表示？除此之外還會有哪些結論？接下來對這些問題展開討論.

2 一般化探究

將上述題干中的條件做一般化處理，可得到下述結論.

由結論1可知|BP|·|DP|是一個與n無關的量，揭示了原問題產生定值的本質. 另外關于直線的斜率也有定值關系，結論如下.

由結論2和結論3可知直線GH的斜率kGH和直線EF的斜率kEF都只與n(斜率kMN的倒數)有關，與t無關，那么當n變化時，直線EF如何變化？對于該問題，有下述結論.

在圖形計算器中，創建滿足條件的滑桿a、b、t和n，圖1為當n變化時，直線EF形成的直線簇圖像，圖2為在圖1的基礎上畫出結論4中的方程圖像.

圖1 圖2

以上是將原問題條件一般化后得到的結論，接下來將這些結論類比推廣到雙曲線和拋物線.

3 拓展推廣

類比關于橢圓的結論1至結論4，關于雙曲線有下述結論，證明過程與上述證明類似，故從略.

在圖形計算器中，創建滿足條件的滑桿a、b、t和n，圖3為當n變化時，直線EF形成的直線簇圖像，圖4為在圖3的基礎上畫出結論8中的方程圖像. 由上述可知，關于橢圓的結論1至結論4與關于雙曲線的結論5至結論8有著高度的相似性，體現出一種“對稱美”. 類似地，將上述結論類比推廣到拋物線，可得到下述結論.

圖3 圖4

已知拋物線y2=2px(p>0)，O為坐標原點，P(t,0)(t>0)，過點P作直線l交拋物線于M，N兩點，直線OM，ON分別交x=t于B，D兩點，點E、F、G、H分別為線段BM、DN、BN、DM的中點.

結論9 |BP|·|DP|=2pt.

結論10 直線BN、EF、DM、MN的斜率kBN、kEF、kDM、kMN滿足關系kBN=kEF=kDM=2kMN.

結論11 線段BN、EF、DM的中點G、I、H均在x軸上.

結論13 直線EF形成的包絡線方程為y2=-8p(x-t).

圖5 圖6

4 結束語

通過上述討論可以發現原本作為一道較為常規的圓錐曲線定值問題，卻展現出豐富的內容和廣闊的空間供我們探究. 對于題目的拓展及變式探究是教師所必備的能力，這是提高學生核心素養的必要條件，所以只有教師看得更高，想得更全，學生才能走得越穩越遠.