與拋物線相關的一個定點問題

重慶市銅梁二中 (402560) 李 波 田 飛

圓錐曲線的定點問題中有很多有趣的結論. 筆者發現一個拋物線特有的定點問題，茲介紹如下：

性質如圖1，A(-t,m),B(t,n)分別是直線x=-t,x=t(>0)上的定點，M是拋物線C:y2=2px(p>0)上的動點，直線AM,BM分別與拋物線C交于E,F(E,F存在且不重合)，則

圖1

(1)當m=n=0時，EF是垂直于x軸的動直線；

(2)當m,n中僅有一個為零時，EF恒過定點；

(3)當m,n均非零時，EF恒過定點當且僅當m2n2=4p2t2+2pt(m2-n2).

把①式左端看成關于y0的多項式，由于y0具有任意性，可得方程組

若直線EF過定點，即方程組②有唯一解.

為敘述方便，下面采用線性方程組理論來分析②的解的情況. 非齊次線性方程組②的增廣矩陣

方程組②有唯一解的充要條件是增廣矩陣與系數矩陣的秩都為2，且矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩，則m2+n2≠0(即m,n不全為零)且矩陣