數(shù)學實驗：積累基本數(shù)學經(jīng)驗的有效載體
——以“直線的傾斜角與斜率”教學設(shè)計為例

徐長俊

一、引言

當前的中職數(shù)學教學缺少讓學生形成基本數(shù)學經(jīng)驗的環(huán)節(jié)，導致學生難以理解有些抽象的數(shù)學概念或者結(jié)論，抽象性是中職學生學習數(shù)學過程中的最大障礙?！盎緮?shù)學經(jīng)驗”是指在數(shù)學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。中職數(shù)學教師基本都是由普通高中考入大學的，受普通高中的傳統(tǒng)教學方法耳濡目染，自然也成為自己的教學習慣，但是對中職學生用演繹和推理的方法講解抽象的數(shù)學知識，顯然是行不通的。

學生的基本數(shù)學經(jīng)驗要從數(shù)學活動中獲得，數(shù)學實驗恰好提供了一個很好的數(shù)學活動的形式。數(shù)學家波利亞曾說：“數(shù)學既是一門系統(tǒng)性的演繹科學又是一種實驗性的歸納科學?！币虼?有必要將數(shù)學實驗融入數(shù)學課堂教學設(shè)計中。數(shù)學實驗可以分成傳統(tǒng)數(shù)學實驗和現(xiàn)代數(shù)學實驗。傳統(tǒng)數(shù)學實驗是指利用實物模型或數(shù)學教具進行實驗，現(xiàn)代數(shù)學實驗是指以計算機數(shù)學軟件的應(yīng)用為平臺進行的實驗。數(shù)學中需要“動態(tài)”呈現(xiàn)的“圖形與幾何”等問題利用傳統(tǒng)實驗手段難以實現(xiàn)。相比較而言，以計算機軟件為平臺的現(xiàn)代數(shù)學實驗在這方面具有極大的優(yōu)勢。

對于學習數(shù)學普遍沒有積極性，數(shù)學思維能力又不足的中職學生，數(shù)學實驗?zāi)軌蜃屍湓趧邮植僮鞯倪^程中歸納數(shù)學知識，從晦澀難懂的演繹推理中解放出來，從數(shù)學學習的“旁觀者”變成“發(fā)現(xiàn)者”，幫助學生在積累數(shù)學活動經(jīng)驗的同時經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展過程，讓數(shù)學知識的學習不再枯燥無味。數(shù)學實驗可以有力促進中職學生數(shù)學思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的提高。

本文以“直線的傾斜角與斜率”的教學設(shè)計為例，談一談筆者在中職數(shù)學教學中引入數(shù)學實驗的一些嘗試。

二、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)時代情境，導入新知

讓學生觀看蘇通大橋短視頻（如圖1）。

圖1

（教師旁白）蘇通大橋位于南通和蘇州之間，跨徑為1088 米，是當今世界跨徑最大、基礎(chǔ)最深、橋塔最高、拉索最長斜拉橋。

師：看完這段視頻，我們的感受是……

生：宏偉、國家的強大……

師：從蘇通大橋的斜拉索我們能抽象出什么幾何圖形？

生：直線。

（二）設(shè)計探究實驗，感知新知

以下實驗都是在GeoGebra 軟件中進行。

實驗1：指導學生完成斜拉橋的繪圖（如圖 2）。

圖2

實驗?zāi)康模和ㄟ^畫斜拉橋，實際體會確定一條直線的條件，同時感知實際生活中的數(shù)學美。

師：圖2 中斜拉索所在直線相對于橋邊線的傾斜程度是否相同？

生：有些相同，有些不同。

師：我們用什么量刻畫斜拉索的傾斜程度？

生思考……

師：用斜拉索所在直線與橋邊線的夾角刻畫斜拉索的傾斜程度，像這樣的角稱為傾斜角。

實驗2：指導學生在GeoGebra 軟件中轉(zhuǎn)動如圖3 的直線。

圖3

實驗?zāi)康模鹤寣W生在實驗過程中感知傾斜角定義的過程。

師：兩直線相交構(gòu)成四個角，你們選擇哪一個角刻畫直線的傾斜程度比較合適。

生：角1。

師：如何描述這個角？

生思考……

師：傾斜角的定義。

傾斜角：直線與x 軸相交時，直線向上的方向與x 軸所夾最小正角。

師：我們知道已知兩點可以確定一條直線，如果直線過點A、B，傾斜角為，那么這兩個點的坐標與傾斜角是不是存在某種關(guān)系？

生思考……

實驗3：指導學生在GeoGebra 軟件中（如圖4 和圖5）作出經(jīng)過兩點直線的傾斜角。

圖4

圖5

實驗?zāi)康模阂龑W生在實驗過程中體會并歸納傾斜角與兩點的坐標變化之間的關(guān)系。

師：觀察圖4 和圖5，歸納傾斜角和兩點的坐標有什么關(guān)系？

師：這個比值和坡度的定義很類似，我們定義為斜率，斜率和傾斜角的關(guān)系很顯然就是k=tanα。

（三）設(shè)計嘗試實驗，理解新知

實驗4：指導學生（如圖6）在GeoGebra 軟件中移動點的位置，使得直線的斜率等于所給的值。

圖6

實驗?zāi)康模很浖梢圆粩嗟仉S機提出類似問題，學生用不同的方法反復嘗試和檢驗，過程中有可能會反復出現(xiàn)失敗。學生在對照公式的不斷試錯中，逐漸理解已知兩點坐標求直線斜率的公式的幾何意義。

（四）設(shè)計類比實驗，應(yīng)用新知

實驗5：小明早晨去爬山，如圖7，請問他爬哪段山坡會比較吃力？

圖7

設(shè)計目的：判斷哪段山坡比較吃力當然不能完全靠感覺。此實驗引導學生將直線的斜率定義和初中已經(jīng)接觸過的“坡度”概念進行類比，學會用數(shù)據(jù)“說話”，解決生活中的一些實際問題。

三、幾點思考

（一）基于數(shù)學實驗的中職數(shù)學教學設(shè)計的必要性

某些抽象的數(shù)學知識與生產(chǎn)和生活中的實際問題存在緊密聯(lián)系。學生在脫離實際問題的教學活動中難以獲得這些數(shù)學知識的深刻理解，也難以牢固記憶相關(guān)的概念和公式。教師可以利用數(shù)學實驗將抽象直觀化、可視化，可以引導學生親身經(jīng)歷一個概念形成過程，引導學生感悟知識發(fā)生過程、理解知識結(jié)果。

數(shù)學學科核心素養(yǎng)的生成是數(shù)學知識、問題解決、數(shù)學思維聯(lián)結(jié)融合的結(jié)果。數(shù)學知識是數(shù)學學科核心素養(yǎng)形成的關(guān)鍵載體, 學生在解決問題中才能真正認識數(shù)學知識，生成數(shù)學思維能力。有很多數(shù)學知識是動態(tài)的，或者是比較抽象的，缺乏基本數(shù)學經(jīng)驗的中職學生在理解教師用系統(tǒng)演繹的方法講解數(shù)學知識的過程中障礙很大。

（二）基于數(shù)學實驗的中職數(shù)學教學設(shè)計的可行性

數(shù)學實驗是在教師引導下，學生在動手動腦中完成的數(shù)學活動，數(shù)學實驗是能充分展示探究過程的教與學的活動。數(shù)學實驗要能給學生提供一個動手解決數(shù)學問題的平臺，在情境導入環(huán)節(jié)，在知識和概念的引入環(huán)節(jié)，在知識鞏固環(huán)節(jié)都可以設(shè)計適當?shù)臄?shù)學實驗，讓學生從具象中歸納出抽象的數(shù)學知識。數(shù)學實驗是要能讓學生在解決一個個問題過程中經(jīng)歷不斷的嘗試、觀察和歸納的數(shù)學活動，積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗。

但是，一方面，學生要完成傳統(tǒng)的數(shù)學實驗有時需要花大量時間，效率低，中職學生學習數(shù)學的時間是非常少的，同時實驗過程和結(jié)果也難以掌控。另一方面，傳統(tǒng)的數(shù)學實驗需要教師準備大量的材料，消費巨大，難以承受。數(shù)學實驗在引入中職數(shù)學課堂教學中困難重重，而基于計算機技術(shù)的現(xiàn)代數(shù)學實驗?zāi)芎芎媒鉀Q上述問題。計算機軟件能簡化和模擬實際問題，易于學生對實驗進行反復操作、觀察和歸納數(shù)學活動，大大提高了教學效率。實驗也不需要準備一大堆材料，便于教師在以后的教學活動中反復使用和改進。

（三）基于數(shù)學實驗的中職數(shù)學教學設(shè)計的注意點

1.教師是數(shù)學實驗的設(shè)計者。要將數(shù)學實驗引入中職數(shù)學課堂，作為數(shù)學教師不能將別人設(shè)計好的數(shù)學實驗?zāi)脕砭陀茫處熥约罕仨氂性O(shè)計數(shù)學實驗的能力。這些能力包括：（1）熟練掌握至少一個數(shù)學軟件，如GeoGebra、幾何畫板、Maple 等；（2）大量閱讀數(shù)學實驗設(shè)計的案例，模仿案例設(shè)計自己需要的數(shù)學實驗；（3）熟知中職學生的認知能力和特點，這樣才能站在學生角度設(shè)計出學生能夠完成的數(shù)學實驗，才能引導學生在數(shù)學實驗中發(fā)現(xiàn)和探索。

2.實驗要用適當問題驅(qū)動。數(shù)學實驗必須要有目的，學生操作數(shù)學實驗要解決一個具體的問題。教師設(shè)計的數(shù)學實驗要能讓學生在做實驗的過程中自主觀察、思考并且歸納結(jié)論，繼而回答教師提出的一個個問題。當然，這個問題不能過于簡單，必須是學生直接思考難以回答的問題，這樣我們的實驗才有意義，才能真正讓學生在實驗過程中有所收獲。問題也不能過于復雜，否則設(shè)計的數(shù)學實驗也必然復雜，可以將復雜的問題分解成幾個連貫的適當?shù)膯栴}，相應(yīng)設(shè)計幾個簡單數(shù)學實驗。

3.實驗要易于學生操作和觀察。教師設(shè)計的數(shù)學實驗的操作不能復雜。除了實驗必須有明確的目的之外，利用計算機軟件設(shè)計的虛擬實驗還要簡單明了，易于學生操作。過于復雜的實驗，學生會不知道如何下手。教師設(shè)計實驗時可以適當加一些文字引導或者說明，一步步引導學生操作、觀察和歸納，教師在學生做實驗時也要適時加以指導。

4.實驗的設(shè)計要以學生為主體。數(shù)學實驗的主體是學生，必須要由學生完成實驗的所有過程，絕對不能是教師做實驗展示給學生看。數(shù)學實驗的目的就是要讓學生在“做中思”，在“做中學”，讓學生成為知識發(fā)現(xiàn)的親歷者。教師不能因為圖省時間、趕進度而剝奪學生參與數(shù)學活動的機會。只有充分尊重學生主體地位的數(shù)學實驗，才能讓學生真正獲得基本數(shù)學經(jīng)驗，也才能培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，促進學生綜合素養(yǎng)的提升。