引例探究拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)處的切線性質(zhì)

宋扣蘭

(江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)育才中學(xué))

拋物線是解析幾何的重要組成部分,與其有關(guān)的命題常出現(xiàn)在全國或獨(dú)立命題省市的高考或模擬考試試卷中,而這些試題大多圍繞著拋物線的有關(guān)性質(zhì),其中涉及較多的就是其焦點(diǎn)弦的性質(zhì).

例 設(shè)A,B為拋物線C:y＝x2上兩個(gè)不同的點(diǎn),且直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F,分別以A,B為切點(diǎn)作拋物線C的切線,兩條切線交于點(diǎn)P,給出下列結(jié)論:

①點(diǎn)P一定在拋物線C的準(zhǔn)線上;

②PF⊥AB;

③△PAB的面積有最大值無最小值.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

本題以拋物線的焦點(diǎn)弦為背景,考查了在焦點(diǎn)弦兩個(gè)端點(diǎn)的切線有關(guān)的性質(zhì).通過對(duì)問題進(jìn)行深入探究,不難得出如下結(jié)論.

結(jié)論1 在焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線交于準(zhǔn)線上一點(diǎn).

特別地,當(dāng)AB的斜率為0時(shí),兩切線的交點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上,故①成立.

結(jié)論2 過準(zhǔn)線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線互相垂直.

由結(jié)論3知PF⊥AB,所以當(dāng)點(diǎn)P為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)時(shí),PF最小,所以△ABP的面積有最小值p2.

通過上面的一系列探究,我們得出了在拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)處的切線的相關(guān)性質(zhì),掌握了這些性質(zhì),處理相關(guān)的客觀題便容易了.