例析對二次函數綜合問題的突破策略

陸蘭蘭

(江蘇省常州外國語學校 213000)

二次函數是初中數學的重點與難點，其中綜合類問題在中考中常作為壓軸題出現.為使得學生在解題中少走彎路，提高學生解答二次函數綜合問題的能力，應將其作為一個專題進行系統講解.二次函數綜合問題主要包括：圖形周長問題、圖形面積問題、角度關系問題、點的坐標問題、圖形形狀判斷問題、參數定值問題六類，為使學生更好地掌握解決上述綜合的問題的思路與方法，教學中應圍繞具體例題展開教學活動.

1 二次函數與圖形周長問題

二次函數與圖形周長問題常依托二次函數性質考查一些特殊圖形周長的計算.其中一些涉及周長最值的問題往往會考查圓的性質以及路徑最短模型.突破該類問題不僅需要熟練掌握各種圖形周長的計算方法，而且需理解與掌握相關模型的計算過程，透過現象看本質，結合習題創設的情境迅速構建熟悉的模型，使得問題得以順利解決.

圖1

(1)求拋物線的表達式；

(2)求△OMN周長的最小值.

對于問題(1)根據給出的頂點坐標，設出拋物線的頂點式方程，將已知點坐標代入求得具體表達式.問題(2)運用二次函數方程求出相關點坐標，設出點M的坐標后，充分挖掘題干中的隱含條件，找到MN兩點坐標之間的關系，將問題轉化為求直線同側兩點到直線上一點距離之和問題，借助路徑最短模型計算出結果.

解(1)設拋物線的表達式為y=a(x+1)2-4，將點A(-3，0)代入得4a-4=0，a=1，則拋物線的表達式為y=x2+2x-3；

(2)令x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1，則A(-3，0)，C(0，-3)，則容易求解出直線AC的方程為y=-x-3.設M(t，-t-3)(-3

圖2

2 二次函數與圖形面積問題

二次函數與圖形面積問題是初中數學的?？紗栴}.計算圖形面積時如若為規則圖形可聯系規則圖形面積計算公式進行計算.對不規則的圖形常采用兩種方法進行處理：方法一，將不規則圖形分割成若干規則圖形；方法二，借助圖形之間的關系通過圖形面積相減間接得出結果.如此便可將該類綜合問題轉化為求線段長度問題，借助題設條件以及二次函數圖象特點，不難求出最終結果.

例2已知直線y=x-3和x軸、y軸分別交于A、C兩點，點B(1，0)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A、B、C三點，對稱軸與x軸交于點E，點E關于原點的對稱點為點F，如圖3，連接CE，P為直線y=x-3上的一個動點.

圖3

(1)求拋物線的表達式；

問題(1)根據題干描述求出A、B、C三點坐標，運用待定系數法求解；問題(2)運用二次函數方程以及題干中的已知條件求出點P坐標以及直線PN的表達式.將直線和拋物線方程聯立，求出點M和點N坐標，將△AFN，△BFM面積作差得出四邊形ABMN的面積.

圖4

3 二次函數與角度關系問題

二次函數與角度關系問題是初中數學各類測試中的?？紗栴}.解答該類問題的思路是，首先運用幾何性質分析線段之間的長度關系得出對應角度的大小，如等腰直角三角形、等邊三角形、圓直徑所對的圓周角等；然后借助銳角三角函數值進行逆向推理得出對應的角度.對于角度之間的關系，可運用三角形內角和，外角定理進行分析.

(1)求拋物線的表達式及點M的坐標；(2)向下平移直線AB，得到過點M的直線y=mx+n，且和x軸負半軸交于點C，取點D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM-∠ACM=45°.

問題(1)根據直線方程求出點A坐標結合拋物線過原點得出表達式.問題(2)根據直線平移后的題干求出平移后的直線方程，然后通過求出對應線段長度得出∠DMH的正弦值以及對應角度大小，在此基礎上運用外角定理證明得出結論.

4 二次函數與點的坐標問題

二次函數與點的坐標問題常結合相關圖形進行設問，要求學生計算出滿足某一條件的點的坐標.解答該類問題思路因題而異，如要求滿足某個圖形形狀時則需運用圖形性質，當為直角三角形時應注重勾股定理的應用，判斷線段、角度關系得出點的坐標.要求滿足某個圖形周長、面積問題時需要表示出對應的周長、面積.對于一些最值型問題需借助二次函數性質，確定具體坐標來解答.

綜上所述，二次函數綜合問題難度較大，教學實踐中既要做好相關問題類型的歸納與總結，以及不同類型問題求解過程的講解，又要要求學生做好聽課筆記，把握解決不同綜合問題的細節，并在課下開展針對性的訓練活動，更好地鞏固所學知識，鍛煉解題靈活性，實現解題能力的進一步提升.