凸顯位值原理，掌握“用0占位”

朱蓉

摘? 要：

“商中間或末尾有0的除法”是三位數(shù)除以一位數(shù)的一種特殊情況，也是《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》單元的最后一部分內(nèi)容。教學(xué)時，要凸顯位值原理，幫助學(xué)生牢固掌握“用0占位”。由此，學(xué)生也能充分認(rèn)識到基于十進(jìn)位值制計數(shù)法計算多位數(shù)除法的算理本質(zhì)：分解到各個數(shù)位上依次計算，所得結(jié)果（數(shù)值）放在正確的數(shù)位上。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；商中間或末尾有0的除法；位值原理；計數(shù)單位

一、教前思考：讓學(xué)生知道用0占位的道理

“商中間或末尾有0的除法”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》單元教學(xué)的難點。它是三位數(shù)除以一位數(shù)的一種特殊情況：求出商的最高位后，除到哪一位不夠商1，就得在這一位商0，即用0占位。對此，學(xué)生容易因為0表示“什么也沒有”，特別是最高位前的0不用寫，而漏寫商中間或末尾的0，從而導(dǎo)致錯誤。因此，教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生知道不夠商1時，應(yīng)該用0占位，而且要讓學(xué)生理解用0占位的道理：十進(jìn)位值制計數(shù)法是通過“位”和“值”（即計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)）來計數(shù)的，因此，表示數(shù)時，不僅要讓人明白“值”是多少，而且要讓人看出是哪一“位”上的“值”；如果漏寫了中間或末尾的0，那么其前面的“值”就會“錯位”；只有不漏寫中間或末尾的0，才能使所有的數(shù)值都擺在正確的數(shù)位上。如果學(xué)生還對“最高位前的0不用寫，而中間或末尾的0需要寫”感到困惑，那么教師可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：整數(shù)（或小數(shù)點前）有最低位（個位），沒有最高位，因此，可以約定最后面（右邊）的是個位，而沒法約定最前面（左邊）的是哪一位；如此，中間或末尾有沒有0會影響前面的數(shù)值從最低位數(shù)起的次序，即改變其數(shù)位，故中間或末尾的0需要寫；而最高位前有沒有0不影響后面的數(shù)值從最低位數(shù)起的次序，故最高位前的0不用寫。

實際上，縱觀人類計數(shù)（記數(shù)）的歷史，可以發(fā)現(xiàn)，位值制計數(shù)法用最少的數(shù)字符號有效地表示數(shù)目，是數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)明，其關(guān)鍵正是數(shù)字0。中國最早創(chuàng)用十進(jìn)位值制計數(shù)法：用算籌擺出1—9各個數(shù)字，依次放在從個位起的各個數(shù)位上；因為用算籌不好表示0，于是用空白（空位）來表示。但是，有沒有空格、有幾個空格有時不容易看出，這就給讀數(shù)（認(rèn)數(shù)）帶來了一些不便和混淆——雖然縱式、橫式相間的算籌排列方式在一定程度上解決了這個問題。可見，用專門的符號0占位正是位值制計數(shù)法成熟的關(guān)鍵一步。［1］因此，教學(xué)“商中間或末尾有0的除法”時，要凸顯位值原理，幫助學(xué)生牢固掌握“用0占位”。由此，學(xué)生也能充分認(rèn)識到基于十進(jìn)位值制計數(shù)法計算多位數(shù)除法的算理本質(zhì)：分解到各個數(shù)位上依次計算，所得結(jié)果（數(shù)值）放在正確的數(shù)位上。這樣教學(xué)，也符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》所提出的“感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性”［2］的要求。

二、教學(xué)過程：打通多位數(shù)除法的算理本質(zhì)，凸顯位值原理的作用

根據(jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排，這一內(nèi)容分兩個課時教學(xué)，第一課時教學(xué)“被除數(shù)中間或末尾有0，導(dǎo)致商中間或末尾有0”（例8、例9及其“試一試”），第二課時教學(xué)“被除數(shù)中間或末尾某一位上不是0但比除數(shù)小，導(dǎo)致商中間或末尾有0”（例10及其“試一試”）。下面主要呈現(xiàn)第一課時的教學(xué)過程。

（一）復(fù)習(xí)已學(xué)的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，感受計數(shù)的位值原理在計算中的作用

師? 同學(xué)們，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)。還記得本單元之前學(xué)習(xí)的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)嗎？它們的計算方法有什么共同的地方？（出示圖1）借助這個例子想一想：先算什么？再算什么？

生? 先算4除以2等于2，再算6除以2等于3，結(jié)果是23。

師? 23是什么意思？它表示幾個什么和幾個什么？

生? 表示2個十和3個一。

師? 那么原來的46呢？

生? 表示4個十和6個一。

師? 那么這里的“4除以2等于2”和“6除以2等于3”分別是什么意思？結(jié)合分小棒的過程來說。

生? ?先把4個十平均分成2份，每份是2個十；再把6個一平均分成2份，每份是3個一；2個十和3個一合起來等于23。

師? 所以，之前學(xué)習(xí)的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)計算方法的共同點是什么？

生? 從高位開始，一位一位地除下去。

師? 這么簡單？有沒有遇到什么特殊情況？

（學(xué)生遲疑。）

師? 每一位都能除盡嗎？都夠除嗎？

生? 有時除不盡，有時不夠除。

師? 怎么辦？

生? 把除不盡的余數(shù)或不夠除的數(shù)和下一位的數(shù)合在一起除。

師? 非常好！兩、三位數(shù)除以一位數(shù)計算方法的共同點就是：從高位開始，一位一位地除下去；遇到除不盡或不夠除的情況，就把余數(shù)或本身和下一位的數(shù)合在一起除。

（稍停）那么，你有想過為什么可以這么除嗎？

（學(xué)生遲疑。）

師? 剛才我們說23表示什么？46表示什么？一般來說，數(shù)的組成是什么？或者說，一個數(shù)和它各位上的數(shù)有什么關(guān)系？

生? 不同的數(shù)位表示不同的計數(shù)單位，其上的數(shù)字就是計數(shù)單位的個數(shù)，多位數(shù)是多個計數(shù)單位分別計數(shù)后合在一起的。

師? 非常好！我們之前學(xué)過的個（一）、十、百、千等就是計數(shù)單位。我們分別對各個計數(shù)單位計數(shù)，然后把它們合起來，就得到多位數(shù)——當(dāng)然，滿十要進(jìn)一。既然是合在一起的結(jié)果，自然可以先分開來除，再合起來。而且，分開來除，無論是某一位的數(shù)除，還是和下一位的數(shù)合在一起除，算的都是表內(nèi)除法（可能有余數(shù)），可以直接利用乘法口訣試商。可見，借助數(shù)的組成或者計數(shù)的位值原理，即計數(shù)單位及其個數(shù)，能把復(fù)雜的除法變簡單，即把多位數(shù)除法變成表內(nèi)除法。

“商中間或末尾有0的除法”是《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》單元的最后一部分內(nèi)容。這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，發(fā)現(xiàn)其算法的共同點——數(shù)位分解，理解其背后的算理本質(zhì)——位值原理，不僅可以教給學(xué)生一般方法，幫助學(xué)生自主探究本節(jié)課要學(xué)的商中間或末尾有0的除法，而且可以教給學(xué)生內(nèi)在原理，幫助學(xué)生真正理解用0占位的關(guān)鍵道理——總之為新課教學(xué)做足了鋪墊。這里，如果進(jìn)一步看“先分開來除，再合起來”背后的道理，其實是乘法（除法）分配律，但是，因為學(xué)生沒有學(xué)過，以及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不過分強調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，這一結(jié)論又很符合學(xué)生的直覺，很容易被學(xué)生理解，因此教師直接講授結(jié)論，不提運算律——而這可以看作為運算律的教學(xué)做了鋪墊。

（二）學(xué)習(xí)商中間有0的除法，用位值原理高位統(tǒng)攝用0占位的道理

（教師出示教材例9，學(xué)生列出算式306÷3。）

師? 這也是一個三位數(shù)除以一位數(shù)的式子，應(yīng)該怎樣算呢？

生? 從高位開始，一位一位地除下去……

師? 很好！請同學(xué)們試一試。

（學(xué)生在學(xué)習(xí)單上自主嘗試計算。教師巡視，選擇學(xué)生匯報。）

生? 我是口算的：先用3個百除以3等于1個百，再用0個十除以3等于0個十，最后用6個一除以3等于2個一，所以，306÷3=102。

生? （出示圖2）我用豎式計算：首先，用百位上的3除以3等于1，百位商1，再算余數(shù)，1×3=3，3-3=0，不寫；其次，用十位上的0除以3等于0，十位商0，再算余數(shù)，0×3=0，0-0=0，不寫；最后，用個位上的6除以3等于2，個位商2，再算余數(shù)，2×3=6，6-6=0。答案是102。

生? （出示圖3）我也用豎式計算：百位上的3除以3等于1，百位商1，1×3=3，3-3=0，不寫；十位上的0除以3等于0，十位商0；個位上的6除以3等于2，個位商2，2×3=6，6-6=0。答案是102。

生? （出示圖4）我也用豎式計算：百位上的3除以3等于1，百位商1，1×3=3，3-3=0，不寫；十位是0，跳過；個位上的6除以3等于2，個位商2，2×3=6，6-6=0。答案是12。

師? 他們展示了幾種方法，都對嗎？

生? ?前三種方法是對的，第四種方法不對。

師? 錯在哪里？

生? ?十位上的0不能不寫。

師? 為什么？

生? ?十位上的0表示0個十除以3等于0個十。如果不寫，結(jié)果就是12，不是102了。

師? 沒錯。如果不寫十位上的0，得數(shù)中原來在百位上的1就跑到十位上了，表示的數(shù)就變了。我們采用的計數(shù)方法叫作十進(jìn)位值制計數(shù)法，不僅要知道數(shù)字是多少，而且要知道數(shù)字在哪個數(shù)位上，也就是，不僅要知道計數(shù)是多少，而且要知道計數(shù)單位是什么，才能準(zhǔn)確表示一個數(shù)。因此，如果一個數(shù)位上沒有數(shù)字（一個計數(shù)單位沒有計數(shù)），那么一定要用0占位，才能保證其他數(shù)字都在正確的數(shù)位上。（稍停）這里，老師注意到一步大家沒有學(xué)過但已經(jīng)會了的計算：0÷3。誰能說說為什么0÷3=0。

（基于學(xué)生的回答，教師引導(dǎo)學(xué)生得到：0除以任何不是0的數(shù)都等于0。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用方格圖分解數(shù)位，解釋算理，如圖5所示。）

師? 好的。回過頭來看306÷3，它和之前學(xué)習(xí)的三位數(shù)除以一位數(shù)有什么不同？

生? 除數(shù)中間有0，0除以任何數(shù)不是0的數(shù)都等于0。

師? 沒錯。還有嗎？

生? 商中間有0，不能漏寫。

師? 很好！這就是我們今天學(xué)習(xí)的——（同步板書）商中間有 0的除法。學(xué)習(xí)的關(guān)鍵就是：注意用0占位，使得所有數(shù)字都在正確的數(shù)位上。

有了上一環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生自然想到“從高位開始，一位一位地除下去”來計算新的除法，進(jìn)一步感受到運算的一致性。教師放手讓學(xué)生嘗試，然后選擇了四種不同的方法進(jìn)行展示。在位值原理的引導(dǎo)下，多數(shù)學(xué)生的方法是正確的，但是仍然有學(xué)生犯了沒有用0占位的錯誤。在正誤的對比以及方格圖的輔助下，犯錯學(xué)生很快理解了用0占位的道理：被除數(shù)某一個數(shù)位上的0除以除數(shù)（不是0），商0要寫在相應(yīng)的數(shù)位上。這里，教師基于“0除以任何不是0的數(shù)都等于0”這一結(jié)論很容易理解的教學(xué)經(jīng)驗，直接跳過教材例8（教學(xué)0除以一個不是0的數(shù)），將其融入例9算法的探索過程中，從而使教學(xué)主線清晰，教學(xué)內(nèi)容整體。

（三）學(xué)習(xí)商末尾有0的除法，由位值原理類比遷移用0占位的道理

教師出示教材中的“試一試”（480÷4），讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上自主嘗試計算。學(xué)生基于位值原理，繼續(xù)從高位開始，一位一位地除下去；并類比遷移教材例9探索中遇到的用0占位的情況，注意到商末尾（個位）的0也不能漏寫。教師點明：這就是我們今天學(xué)習(xí)的商末尾有0的除法。

從商中間有0到商末尾有0，變化不大，學(xué)生很容易類比遷移學(xué)習(xí)。在這一過程中，學(xué)生進(jìn)一步感受到運算的一致性，體會位值原理，關(guān)注用0占位這一注意事項。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 袁小明.初等數(shù)學(xué)簡史［M］.北京：人民教育出版社，1990：910.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：25.