小學數學幾何直觀教學的困境解析與路徑探析

張陽

［摘 要］自“幾何直觀”一詞出現在教學中后，許多教師在教學中加大了直觀手段的運用，認為不采取直觀手段就不能凸顯教學內容的核心思想。然而，實際中的直觀教學大多流于形式，部分課堂甚至為了直觀而“直觀”。文章細究幾何直觀教學困境產生的原因，并在實踐中總結出了一些應對策略，以期能有助于幾何直觀教學，使其功能得以充分發揮。

［關鍵詞］直觀教學；幾何教學；教學困境

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）32-0069-03

小學數學中的幾何直觀教學是指要求學生能學會利用圖形表征的方式，幫助分析和思考數學問題。數學本身具有抽象性的特點，這導致學生在理解數學概念、尋找數量關系和運用解題方法時出現諸多困難。為此，許多一線教師能根據小學生的思維特點，積極采用幾何直觀的方式進行教學，引導學生利用圖形簡明、形象地描述數學問題，有效化解學生遇到的困難。然而，部分教師由于經驗尚淺、教法鉆研不夠，在幾何直觀教學中存在把握不足、理解不深的問題，使得小學數學課堂中出現為了直觀而“直觀”的教學現象。

一、課堂假象：為直觀而“直觀”

鑒于兒童以形象思維為主的特點，再加上數學本身內容的表達具有抽象性的特點，這就導致數學教學存在一定困難。幾何直觀教學是有效化解數學教學難題的重要手段和策略。例如，“比一個數多幾、少幾”的探究課上，教師呈現“小英做了11朵花，小華比小英多做了3朵，小平比小英少做了3朵，小華做了多少朵？小平做了多少朵？”的問題，要求學生用擺圓片的方法說明小華和小平做的花的朵數。到了練習階段，教師仍舊讓學生通過擺圓片來解決問題。教學顯示，學生每做一題都要先動手操作再寫算式，費時費力，導致一些動手快的學生做完了沒事做、動手慢的學生做不完的情況發生。

教師要求學生用學具來思考，這本身沒有問題，因為“擺一擺”的活動確實能幫助學生尋找兩個數之間的多少關系。然而，如果每一道題都要求學生進行學具操作，這樣的直觀教學則屬于低水平的教學，不利于發展學生的抽象思維。正確的做法應是當學生已經弄清哪個數與哪個數進行比較、是求多還是求少的關系后，教師要及時給予方法指導，并要求學生將擺圓片操作上升為畫圖操作，甚至可以讓他們在腦海中進行思維操作。這樣能幫助學生快速解決稍復雜的問題。如遇到數字較大、關系較復雜的問題時，可以先讓學生畫圖分析，簡化操作過程，再將實物抽象成圖形，從而幫助學生提升分析、比較等思維能力。

二、原因解析：如此“直觀”為哪般？

1.局限于直觀操作僅為得到結果

例如，在教學“整十數乘一位數的口算”時，有教師首先組織學生探討教材例題，在學生得出“20×3”的算式后，該教師便向學生提出擺小棒的要求，以此來探究算式的算法和算理。課上學生很快擺成了6個10，并說出答案是60。該教師隨后組織學生探討小棒的擺法，要求學生數一數總數。在整個教學過程中，學生根據擺小棒的結果，“直觀”地再次驗證了60這一答案。在這節課的歸納總結中，該教師總結出整十數乘一位數的口算方法，即先算“幾乘幾”，再在積的末尾添上1個0。課堂教學進展得似乎十分順利，但學生是在明白算理中自然生成算法的嗎？學生明白為什么要在積的末尾添1個0嗎？在這一教學過程中，該教師過于看低學生的水平，將教學的重點放在怎么理解算式的意義上。其實對于乘法意義的理解，學生早已有了基礎，因此這節課的關鍵探究點是讓學生掌握“先算2×3，再在積的末尾添0”的方法。幾何直觀教學中也應立足于幫助學生理解“為什么會有6個十”，并且在使用方法上不加限制。如此，才能調動學生思考的積極性，使之理解操作的必要性，激發操作的興趣。

2.誤將實物視為圖形教學的“萬金油”

在圖形教學中提供豐富的實物是必須的。然而有的教師也容易陷入只要提供實物就能解決圖形教學中所有問題的誤區。例如，在教學認識圖形時，有教師基于低年級學生思維能力以形象思維為主的特點，為每個學生都準備了圓柱、球、長方體及正方體，以便使學生有充分感知實物的機會。然而僅是提供圓柱實物，學生只能單一感知圓柱是長長的、上下一樣粗的、有兩個面是圓的。雖然在教學圓柱時，該教師已經提醒學生圓柱也有比較“短”的，但是對于低年級的學生來說，完整描述圓柱的全部特征難度確實較大。特別是圓柱和球都有曲面，如果圓柱比較矮，那它和球就更加相似了。對于有兩面是正方形的這一類特殊的長方體，學生也容易與正方體產生混淆。由此看來，實物直觀教學不僅要讓學生看得見、摸得著，更要讓其掌握怎么看和怎么摸的方法。

3.誤認為只要經歷了親身操作，就一定能學有所獲

教師讓學生自主探索本身沒有問題，因為學習往往就是在動手操作中獲得經驗的。然而，如果不注重操作后的深入交流，不注重在產生分歧或出錯處停下來思考和交流，這樣的直觀教學則屬于低水平的教學，不利于學生獲得正確的體驗和認知。例如，在教學“圓的認識”時，有教師在課堂中提出讓學生動手畫一個直徑為3厘米的圓，學生完成后，教師收集畫得不標準的作品，讓全體學生評價這些作品。學生觀察這些作品發現：有的圓畫得不圓、有的圓畫得太大了、有的圓畫得太小了……隨后，該教師立即教學生怎樣畫圓，這樣做顯然偏離了本課教學的中心。

圓的作品的直觀呈現，不應僅僅是畫圓沒成功的數學性評價，各抒己見也不應只局限于像不像圓的交流。這節課的教學更重要的是要立足根本，緊抓圓的特征來分析生成性資源，在交流比較中讓學生形成對圓的正確認知。

三、路徑探析：在“抽象”與“直觀”之間構建橋梁

1.借助直觀回顧反思，以促進算理理解

培養學生的幾何直觀能力，不是一味地對學生進行直觀的演示，而是如何引導學生在實物的基礎上將幾何直觀與抽象思維相結合。例如，在教學“9加幾”時，當學生操作得出9+4的結果后，有教師就急于抽象出“湊十”法的計算思路和方法。如此，使得操作和抽象教學之間缺乏應有的過渡。筆者認為在操作和抽象教學之間還應該增加一個“看自己操作的照片，說自己操作的過程”的教學內化環節。因為在這一內化環節中，學生不僅關注了知識，還能觀察到操作中的其他因素，如怎樣擺得整齊、學具掉地上了要及時拾取等。根據操作的照片，讓學生復述操作過程，可以使學生將關注點集中到數學知識上來，舍棄其中的非本質因素。此外，看結果說操作過程，也是引導學生由直觀通往抽象的橋梁，逐漸增加信息刺激的間接性和抽象成分，這樣才符合學生的認知發展規律。

心理學家加里培林將心智動作的形成分為五個階段：一是活動定向階段，如在上述“9加幾”的直觀操作中，學生通過擺小棒擺出9根和4根，從而解決9+4的問題；二是物質活動或物質化活動階段，如在上述擺小棒的過程中，學生發現從4根里面拿1根給9根就湊成10根了，為后續抽象算理做好鋪墊；三是出聲的外部言語活動階段，如上述“看自己操作的照片，說自己操作的過程”這一活動，正是使學生將關注點集中到知識的本質上來的一個中介過程；四是無聲的外部言語活動階段，如在上述學生開始初步抽象學習，通過回想剛剛的操作過程，建構“湊十”法的算理；五是內部言語活動階段，內部言語完成后，學生就能高度簡要、自動化地抽象出數學知識。

數學抽象是直觀教學的目的與歸宿。直觀是小學生學習的起點，而數學是要求抽象的。在教學中，教師要注意處理好直觀和抽象的關系，要以直觀為引導，最終走向抽象。

2.基于直觀誘發想象，抽象測量和反饋的方法

對于“幾何與圖形”的教學，直觀手段想必是學生學習該節知識必須借助的，因為學生能從外觀上整體識別圖形。若學生未注意到各種圖形的特征性質，想讓學生抽象出數學的幾何圖形，全靠直觀顯然是不夠的，須基于直觀誘發想象。大膽的想象與聯想是拓寬幾何直觀思維空間的主渠道。

例如，在探索“長方形的面積”時，為了讓學生理解長方形的面積公式，教學可以分為3個環節。

（1）出示邊長為1 cm的正方形紙片，讓學生用邊長為1 cm的正方形紙片擺3×2的長方形（如圖1）。這一環節旨在讓學生明白圖形的面積就是看圖形包含了幾個單位面積。全體學生都以直觀操作為主，直接數出小正方形紙片的數量來得到結果。

（2）出示大一些的長方形（4 cm×3 cm），讓學生用邊長為1 cm的正方形紙片鋪滿長方形。在這一環節中，有學生并不擺滿，只擺一行和一列，用行數乘列數就能知道長方形的面積了（如圖2）。

（3）出示更大的長方形（6 cm×4 cm），讓學生用邊長為1 cm的正方形紙片鋪滿長方形。當學生發現手里的正方形紙片連一行一列都擺不滿時，便想到了量的方法，即先量長方形的長和寬，再相乘（如圖3）。

對于長方形的面積的測量，光靠用單位面積的圖形來擺，學生對面積公式就無法深刻理解，這時就需要在直觀圖的基礎上讓學生充分想象，不斷地對面積這一概念進行“修正”。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切。”想象是思維的翅膀，教學應將想象和觀察、推理、思考等活動結合起來。

3.在直觀操作后充分交流，突破個體思考

在教學中教師應處理好直觀操作和數學思考的關系，結合具體的操作活動，立足知識根本，隨時關注有價值的生成性資源，適時地提出能引發思考的問題，讓學生在操作后思考，同時組織好討論交流，增強學生對活動的感受與體驗。之所以這樣安排，是因為：一方面，沒有數學思考的操作活動是流于形式的；另一方面，脫離直觀感受對知識過早下定義，無疑是死記硬背。

例如，在教學“圓的認識”時，可以讓學生在操作中進行充分的交流，激起各種思想方法的交鋒，形成不同知識結構、思維方式的碰撞和互補，有效地拓展學生的思維廣度和深度，深化對圓的特征的認知。

（課前，教師給每個小組都分發了一個紙杯、帶孔的紙板、橡皮筋、圓規）

師：請每個小組從中選擇一種在作業紙上畫一個圓。

（學生畫圓結束后，教師組織學生交流）

生1：我是用杯子底部來描的圓，先放好杯子，沿著邊畫一圈，就畫好了一個圓。

生 2：我是將紙板里面的一個孔用小棒固定住，用筆沿著另外一個孔來畫。

師：你的圓為什么沒有畫成功呢？

生 2：小棒不容易固定住紙板上的孔。

師：看來我們在畫圓時要注意定點。為什么沒有人選用橡皮筋來畫圓呢？

生3：因為橡皮筋有彈性，畫出來的圖是歪歪斜斜的，不成圓。

師：想想看，橡皮筋不容易固定什么？

生3：不容易固定長度。

師：對，不容易固定圓的半徑，我們也可以說它不能“定長”。

師：其他同學選擇了什么工具來畫圓？

生 4：我是用圓規來畫的，我先固定圓規的那根針，然后繞著那根針讓鉛筆的那一頭旋轉一周，這樣就畫成了。

出示畫得不成功的作品，透過不成功的作品的表象，讓學生在觀察比較、反思討論中不斷進行自我修正，弄清“畫不圓”的原因——要么定點不能保持，要么定長發生改變。學生在充分的交流中對圓的本質特征有了更加清晰的認識。在上述教學中，教師的每次發問都能引發學生思考，并經過適時的抽象歸納，讓學生在直觀操作后的交流中對圓的特征有了充分的認知。

荷蘭數學家弗萊登塔爾指出：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”教師使用幾何直觀方式教學時，應基于學生的學習特點，使其能在數形之間自由切換，以此實現知識的理解和建構，如此，幾何直觀教學的功能才能得以充分發揮。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 孔凡哲，史寧中. 關于幾何直觀的含義與表現形式：對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.

[2] 馮崇和.幾何直觀：探索解決小學數學問題的重要手段[J]. 內蒙古師范大學學報（教育科學版），2014，27（8）：120-123.

[3] 許佃慧. 淺論小學數學教學中學生幾何直觀能力的培養[J]. 學周刊，2018（7）：30-31.

（責編 覃小慧）