數(shù)學習題教學類型與基本模式的探索

王淵

［摘? 要］ 波利亞認為，解題訓練是中學數(shù)學教學的首要任務，掌握數(shù)學的本質就體現(xiàn)在解題上. 文章認為，習題教學類型主要有示范引導型、補充延伸型、強化補救型與深化提高型. 文章以“解析幾何初步”的習題課教學為例，通過“學生先行—交流展示—教師斷后”的模式應用展開闡述.

［關鍵詞］ 習題教學；主體；預設

習題教學是指教師結合新課標的要求與學生的實際情況，以范例的研究、講解與變式訓練等方式組成的一類課型. 此類課型主要包含教材中所呈現(xiàn)的經典例題教學與結合學生實際情況教師自主編擬的習題教學，不論哪種類型的教學方式，都以提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為教學宗旨.

習題教學類型

1. 示范引導型

隨著新知的導入，學生對基礎知識有了一定了解后，進入示范引導型的習題教學階段. 該類型的習題教學，一般選擇典型例題為示范，引導學生從應用的角度來認識新知，為進一步理解并掌握新知奠定基礎. 示范引導型習題教學的目的，在于讓學生規(guī)范掌握如何利用新知進行解題的一般步驟與表達方式.

2. 補充延伸型

有些公式、定理或法則等，在課程標準中并沒有過多要求，但實際解題時卻常常用得上，而這些內容學生自己又很難自主推導出來. 對此，一般教材就將這部分內容以習題的形式進行延伸與補充，讓學生有所了解. 高考試題的綜合性很強，常涉及這部分拓展的知識. 鑒于此，教師在日常習題教學中，就應重視這部分拓展的內容，做到有備無患.

3. 強化補救型

作業(yè)、小練等都是學生學習情況的反饋. 當教師在閱卷或作業(yè)批改中，發(fā)現(xiàn)不少學生存在共性或典型性的錯誤時，則會有針對性地采取補救型的習題教學，以矯正學生認知上的偏差，避免類似問題再次發(fā)生. 這對學生思維的漏洞有較好的彌補作用.

4. 深化提高型

當面臨單元復習或高考復習時，就需要對學生的基礎知識與技能、各項能力等進行深化，以提高學生的解題能力. 這里所謂的深化，不僅表現(xiàn)在對知識的理解程度上，還表現(xiàn)在數(shù)學運算、邏輯推理、抽象、建模等核心素養(yǎng)的諸多要素中.

從以上幾個類型來看，數(shù)學習題教學的實質是結合學生的實際需求，運用恰當?shù)慕虒W方式，發(fā)揮學生的主體性作用.

習題教學的基本模式

從教學觀和教學方式來看，習題課以學生為主，教師為輔，幫助學生學習.

習題課所涉及的知識，學生一般都有所了解，其教學目標在于幫助學生深層次理解這些知識，并熟練應用這些知識. 基于原有認知結構而進行的習題教學，學生具備自主探索解題思路和方法的條件. 因此一些課堂目標，鼓勵學生自主完成是可行與必要的.

然而，若完全放手讓學生自主探索，在有些方面，學生并不能達到全面、深刻的理解程度，這就需要教師給予點撥與引導. 在教師的幫助下，結合學生自主探索過程中所產生的資源，對于課堂有效生成具有較好的促進作用.

新課標一再強調學生在課堂中的主體地位. 課上，以問題為主線，引導學生積極主動地參與教學活動，不僅能發(fā)揮學生的主體作用，還能增進師生感情，形成“學生先行—交流展示—教師斷后”的基本模式，為促進數(shù)學核心素養(yǎng)的提升奠定基礎.

1. 以問題為主線

習題教學的目標是促進學生理解并掌握基礎知識的用法，形成相應的技能，促進思維的發(fā)展. 對于以問題為主線的教學模式，首要因素是教師對問題的選擇. 實踐證明，問題的選擇應基于章節(jié)的核心知識，立足通法，以問題喚醒學生認知，激活思維，形成良好的解題能力.

以“解析幾何初步”的習題教學為例，基于本章節(jié)的核心知識，以問題為主線，筆者做了以下章節(jié)解構.

本章節(jié)涵蓋“直線與方程”“圓與方程”等知識，兩個章節(jié)是不同對象（直線與圓）分別與方程建立聯(lián)系. 雖然兩個章節(jié)的對象、方程都不一樣，但兩者建構方程的方法卻具有一致性，均在平面直角坐標系中，利用解析法建立方程.

當圖形與方程建立相關聯(lián)系后，再分別研究它們的具體性質，雖然研究的具體內容有所差異，但研究都以“坐標法”著手實施. 由此可以看出，“解析幾何初步”的學習，不僅能讓學生增長知識儲備量，還能體現(xiàn)研究方法的沿用過程. 研究此類問題，可始終保持以下三點：①代數(shù)與幾何相結合；②數(shù)形結合思想的應用；③解析法的應用. 這三點貫穿解析幾何學習始終.

為了凸顯以問題為主線的習題教學，本節(jié)課筆者針對學生的實際情況與教學內容，安排了以下兩個問題.

問題1：已知直線kx－y－4k=－3與圓C：x2－6x+y2－8y+21=0，求證：無論k取何值，該圓與直線都有兩個不同的交點.

設計意圖 引導學生自主分析本題，通過思維過程的總結，獲得解決此類問題的通性通法，幫助學生分別從代數(shù)與幾何的角度分析問題、認識問題，理解待定系數(shù)具有怎樣的幾何意義.

問題2：如圖1所示，已知r為圓Q的半徑，AQ=m，∠BAQ=α（r，m為常數(shù)，α為變量），求圓Q與直線AB具有怎樣的位置關系.

設計意圖 引導學生對問題產生自己獨特的想法，讓學生通過對解題思路的比較，體驗習題教學活動，對問題產生完整的認識. 對于坐標法在解題中的應用產生深刻理解，從真正意義上領悟解析幾何的特征與基本思想方法.

以上兩個問題的關鍵在于能凸顯本章節(jié)習題的核心，暴露解析幾何初步的主要思想方法. 學生在解決以上兩個問題的過程中，積極發(fā)揮主動性，以自身已有的認知結構為基礎，通過探究，激發(fā)思維，達成對習題所涉及知識的全方位理解，為后續(xù)習題教學的開展奠定基礎.

2. 基本模式結構

想要突出學生在習題教學中的地位，不能將目光緊緊鎖定在教師身上，還應研究習題教學需要的且又缺乏的教學模式. 教師應通過對自身教學能力的完善，促進學生從真正意義上突出其主體地位. 經實踐，習題教學的基本教學模式可歸結為：學生先行—交流展示—教師斷后.

“學生先行”是指教師提出問題，要求學生獨立完成，其他成員不要給予提示與干擾.

“交流展示”即客觀展示學生的思維. 當學生解決完問題后，教師鼓勵學生將自己的解題方法呈現(xiàn)給大家，可以是口述，也可以是板書，不論其對錯，教師都不予評判. 可在展示完成后，追問其他學生有沒有不同想法.

“教師斷后”是指教師根據(jù)學生板書進行講解，講解時要注意揚正解惑、總結、歸納，并概括問題的共性特征與通用解法，揭露本質，增進學生對核心知識的理解.

3. 預設與生成

（1）學生先行

對于學生先行階段，課堂可能出現(xiàn)以下三種情況：①毫無收獲；②學生的思維展示，有對有錯；③學生完全獲得教師預設的成果.

學生出現(xiàn)毫無收獲的情況，有可能是教師選擇的問題難度過大，與學生認知不相符，此時需要教師及時調整問題難度或鋪設臺階. 換個角度來看，學生也不可能顆粒無收，至少學生的思維“預熱”，為接下來的習題教學奠定了基礎.

學生解題有對有錯，能充分暴露學生的思維過程. 對于正確的解題思路，教師可在肯定的基礎上進行概括、總結；對于錯誤的解題思路，教師可給予適當?shù)狞c撥、分析與引導.

第三種情況可以說是最好的結果，教師可鼓勵學生通過交流、探索，抽象出問題的結論.

（2）交流展示

交流展示的目的就是暴露學生所思所想. 班級人數(shù)眾多，確實不好調控，而交流展示卻能有效發(fā)揮人多的優(yōu)勢. 學生代表可將不同學生的解題思路展示出來，讓學生結合自己與他人的思維，通過類比分析，擴大思考范圍，補充思維容量，得到新的理解.

當教師沒有圈定明確的解題思路和方法時，學生先行過程中的思維是自由的、自主的，學生基于原有的認知結構與對解題方法的理解，通過不同的角度與思維方式來分析，可形成不一樣的解題思路［1］. 而教師需要做的是關注每個學生，通過學生交流過程中所呈現(xiàn)的思維，進行科學、合理的引導，讓學生的思維成為教學再生資源.

針對問題1，筆者預設以下三種情況發(fā)生：

預設1（從代數(shù)角度思考）：將直線方程y=kx－4k+3代入圓方程x2－6x+y2－8y+21=0，得x2+（kx－4k+3）2－6x－8（kx+3－4k）+21=0①.

預設2（從幾何角度思考），將圓方程轉化為（x－3）2+（y－4）2=4，圓心與直線的距離為d==②.

預設3（從待定系數(shù)的幾何意義出發(fā)）：將直線方程轉化為y－3=k（x－4）③，可知直線過定點P（4，3）.因為點P到圓心的距離為（小于圓的半徑2），所以圓與直線總存在兩個不同的交點.

針對問題2，筆者預設以下三種情況發(fā)生：

預設1：用幾何法解題——通過構造直角三角形解題. 即將問題轉化為直線AB與點Q的位置關系進行研究，作QH⊥AB，H為垂足，則QH=msinα；再比較QH與r的大小，分類討論直線AB與圓Q的位置關系.

預設2：用代數(shù)法解題，即以A為原點，AQ所在的直線為x軸建立平面直角坐標系. 圓心Q與直線AB的距離d==msinα，比較d與r的大小，分類討論直線AB和圓Q的位置關系.

預設3：用代數(shù)法解題，即Q為原點，AQ所在直線為x軸建立平面直角坐標系，假設直線AB：y=（m+x）·tanα，圓Q：x2+y2=r2（后略）.

若以上預設在課堂教學活動過程中并未呈現(xiàn)，教師可在活動結束前，將相應的方法展示給學生.

教師設計的問題應具有科學性和合理性，能促使學生形成新的思維，為建構模型奠定基礎，同時能讓學生查漏補缺，反思自己的不足，產生自省驅動的心理行為.

本節(jié)課教學，若筆者只是主講以上兩個問題，則課堂是“線性模式”，學生在理解、消化上需要大量的時間，而“學生先行—交流展示—教師斷后”模式的應用，將課堂交給學生，能充分發(fā)揮學生的主體作用.

（3）教師斷后

學生先行的過程中，會產生各種解題思路. 交流展示的過程則將學生的各種思維過程，有效暴露在師生面前，如此就給大家的再次思考提供了契機. 思考其實就是思維碰撞的過程，學生經過交流、反思、擴充，再次提升自己的能力. 值得注意的是，教師在整個過程中，具有無可替代的導向作用.

教師在習題教學中的導向作用，主要體現(xiàn)在兩個方面，一是體現(xiàn)在問題的設計上，二是體現(xiàn)在教師斷后中，其關鍵就在于如何把握住問題的核心，既完成教學需求，又完成學生難以自主完成的事［2］.

針對問題1可能出現(xiàn)的三種解題思路，教師可做如下預設，而后根據(jù)學生的實際表現(xiàn)進行引導.

第一，預設1中的式①該如何化簡？不少學生雖然寫出了該式，但并未化簡. 針對這個問題，教師可提問：式①展開后能得到什么結構？有哪幾項？

x2項的系數(shù)為k2+1，x項的系數(shù)為2k（3－4k）－8k－6=－8k2－2k－6，常數(shù)項為（3－4k）2－8（3－4k）+21=16k2+8k+6，綜上可得（k2+1）x2－2（4k2+k+3）x+16k2+8k+6=0，由Δ=［2（4k2+k+3）］2－8（k2+1）（8k2+4k+3）為正，可得結論.

第二，如何處理預設2中的式②？大部分學生選擇基本不等式來處理該式，教師可在此基礎上與學生進行交流.

設＜2，即（k+1）2＜4（k2+1），即3k2－2k+3＞0，即2k2+（k－1）2+2＞0. 將以上計算過程倒過來書寫，即可完成本題的解答.

第三，如何完成預設3？調查發(fā)現(xiàn)，一些學生幾乎不會想到從幾何的角度去分析，因為之前類似的范例中，教師并未應用預設3中的方法. 針對這個問題，教師可通過提醒引導學生完成預設3.

師：想要確定一條直線，必須知道幾個條件？

生1：兩個.

師：如方程y－3=k（x－4）中有一個待定系數(shù)k，這表示什么？

生2：表示確定這條直線的兩個條件中有一個還未確定.

此時教師可順勢引導學生發(fā)現(xiàn)獲得式③的依據(jù)和方法.

第四，解決問題的各種方法的主要依據(jù)是什么？要求學生對此進行歸納、總結.

針對問題2，教師斷后可從以下幾點出發(fā)：①從兩個角度進行處理，（代數(shù)）坐標法與（幾何）構造三角形法；②比較這兩種處理方法，可發(fā)現(xiàn)這是解析幾何的共同點；③比較建系的各種方法，發(fā)現(xiàn)它們之間具有怎樣的關系.

教師斷后不是就題論題那么簡單，更重要的是解釋問題的本質，闡明知識間的聯(lián)系以及涉透數(shù)學思想方法，為總結與概括解題思路奠定基礎.

總之，習題教學并不是簡單地解決幾個問題，而是引導學生體驗解題方法的獲取過程. “學生先行—交流展示—教師斷后”模式的應用，不僅彰顯出了學生的主體地位，而且使學生的思維得到了補充，為促進個體的全面發(fā)展奠定了基礎.

參考文獻：

［1］ 吳志鵬. 論數(shù)學例、習題變式問題在課堂教學中的有效性［J］. 中學數(shù)學研究，2009（02）：8-10.

［2］ 馬復. 設計合理的數(shù)學教學［M］. 北京：高等教育出版社，2003.