數學習題教學類型與基本模式的探索

王淵

［摘? 要］ 波利亞認為，解題訓練是中學數學教學的首要任務，掌握數學的本質就體現在解題上. 文章認為，習題教學類型主要有示范引導型、補充延伸型、強化補救型與深化提高型. 文章以“解析幾何初步”的習題課教學為例，通過“學生先行—交流展示—教師斷后”的模式應用展開闡述.

［關鍵詞］ 習題教學；主體；預設

習題教學是指教師結合新課標的要求與學生的實際情況，以范例的研究、講解與變式訓練等方式組成的一類課型. 此類課型主要包含教材中所呈現的經典例題教學與結合學生實際情況教師自主編擬的習題教學，不論哪種類型的教學方式，都以提高學生的數學核心素養為教學宗旨.

習題教學類型

1. 示范引導型

隨著新知的導入，學生對基礎知識有了一定了解后，進入示范引導型的習題教學階段. 該類型的習題教學，一般選擇典型例題為示范，引導學生從應用的角度來認識新知，為進一步理解并掌握新知奠定基礎. 示范引導型習題教學的目的，在于讓學生規范掌握如何利用新知進行解題的一般步驟與表達方式.

2. 補充延伸型

有些公式、定理或法則等，在課程標準中并沒有過多要求，但實際解題時卻常常用得上，而這些內容學生自己又很難自主推導出來. 對此，一般教材就將這部分內容以習題的形式進行延伸與補充，讓學生有所了解. 高考試題的綜合性很強，常涉及這部分拓展的知識. 鑒于此，教師在日常習題教學中，就應重視這部分拓展的內容，做到有備無患.

3. 強化補救型

作業、小練等都是學生學習情況的反饋. 當教師在閱卷或作業批改中，發現不少學生存在共性或典型性的錯誤時，則會有針對性地采取補救型的習題教學，以矯正學生認知上的偏差，避免類似問題再次發生. 這對學生思維的漏洞有較好的彌補作用.

4. 深化提高型

當面臨單元復習或高考復習時，就需要對學生的基礎知識與技能、各項能力等進行深化，以提高學生的解題能力. 這里所謂的深化，不僅表現在對知識的理解程度上，還表現在數學運算、邏輯推理、抽象、建模等核心素養的諸多要素中.

從以上幾個類型來看，數學習題教學的實質是結合學生的實際需求，運用恰當的教學方式，發揮學生的主體性作用.

習題教學的基本模式

從教學觀和教學方式來看，習題課以學生為主，教師為輔，幫助學生學習.

習題課所涉及的知識，學生一般都有所了解，其教學目標在于幫助學生深層次理解這些知識，并熟練應用這些知識. 基于原有認知結構而進行的習題教學，學生具備自主探索解題思路和方法的條件. 因此一些課堂目標，鼓勵學生自主完成是可行與必要的.

然而，若完全放手讓學生自主探索，在有些方面，學生并不能達到全面、深刻的理解程度，這就需要教師給予點撥與引導. 在教師的幫助下，結合學生自主探索過程中所產生的資源，對于課堂有效生成具有較好的促進作用.

新課標一再強調學生在課堂中的主體地位. 課上，以問題為主線，引導學生積極主動地參與教學活動，不僅能發揮學生的主體作用，還能增進師生感情，形成“學生先行—交流展示—教師斷后”的基本模式，為促進數學核心素養的提升奠定基礎.

1. 以問題為主線

習題教學的目標是促進學生理解并掌握基礎知識的用法，形成相應的技能，促進思維的發展. 對于以問題為主線的教學模式，首要因素是教師對問題的選擇. 實踐證明，問題的選擇應基于章節的核心知識，立足通法，以問題喚醒學生認知，激活思維，形成良好的解題能力.

以“解析幾何初步”的習題教學為例，基于本章節的核心知識，以問題為主線，筆者做了以下章節解構.

本章節涵蓋“直線與方程”“圓與方程”等知識，兩個章節是不同對象（直線與圓）分別與方程建立聯系. 雖然兩個章節的對象、方程都不一樣，但兩者建構方程的方法卻具有一致性，均在平面直角坐標系中，利用解析法建立方程.

當圖形與方程建立相關聯系后，再分別研究它們的具體性質，雖然研究的具體內容有所差異，但研究都以“坐標法”著手實施. 由此可以看出，“解析幾何初步”的學習，不僅能讓學生增長知識儲備量，還能體現研究方法的沿用過程. 研究此類問題，可始終保持以下三點：①代數與幾何相結合；②數形結合思想的應用；③解析法的應用. 這三點貫穿解析幾何學習始終.

為了凸顯以問題為主線的習題教學，本節課筆者針對學生的實際情況與教學內容，安排了以下兩個問題.

問題1：已知直線kx－y－4k=－3與圓C：x2－6x+y2－8y+21=0，求證：無論k取何值，該圓與直線都有兩個不同的交點.

設計意圖 引導學生自主分析本題，通過思維過程的總結，獲得解決此類問題的通性通法，幫助學生分別從代數與幾何的角度分析問題、認識問題，理解待定系數具有怎樣的幾何意義.

問題2：如圖1所示，已知r為圓Q的半徑，AQ=m，∠BAQ=α（r，m為常數，α為變量），求圓Q與直線AB具有怎樣的位置關系.

設計意圖 引導學生對問題產生自己獨特的想法，讓學生通過對解題思路的比較，體驗習題教學活動，對問題產生完整的認識. 對于坐標法在解題中的應用產生深刻理解，從真正意義上領悟解析幾何的特征與基本思想方法.

以上兩個問題的關鍵在于能凸顯本章節習題的核心，暴露解析幾何初步的主要思想方法. 學生在解決以上兩個問題的過程中，積極發揮主動性，以自身已有的認知結構為基礎，通過探究，激發思維，達成對習題所涉及知識的全方位理解，為后續習題教學的開展奠定基礎.

2. 基本模式結構

想要突出學生在習題教學中的地位，不能將目光緊緊鎖定在教師身上，還應研究習題教學需要的且又缺乏的教學模式. 教師應通過對自身教學能力的完善，促進學生從真正意義上突出其主體地位. 經實踐，習題教學的基本教學模式可歸結為：學生先行—交流展示—教師斷后.

“學生先行”是指教師提出問題，要求學生獨立完成，其他成員不要給予提示與干擾.

“交流展示”即客觀展示學生的思維. 當學生解決完問題后，教師鼓勵學生將自己的解題方法呈現給大家，可以是口述，也可以是板書，不論其對錯，教師都不予評判. 可在展示完成后，追問其他學生有沒有不同想法.

“教師斷后”是指教師根據學生板書進行講解，講解時要注意揚正解惑、總結、歸納，并概括問題的共性特征與通用解法，揭露本質，增進學生對核心知識的理解.

3. 預設與生成

（1）學生先行

對于學生先行階段，課堂可能出現以下三種情況：①毫無收獲；②學生的思維展示，有對有錯；③學生完全獲得教師預設的成果.

學生出現毫無收獲的情況，有可能是教師選擇的問題難度過大，與學生認知不相符，此時需要教師及時調整問題難度或鋪設臺階. 換個角度來看，學生也不可能顆粒無收，至少學生的思維“預熱”，為接下來的習題教學奠定了基礎.

學生解題有對有錯，能充分暴露學生的思維過程. 對于正確的解題思路，教師可在肯定的基礎上進行概括、總結；對于錯誤的解題思路，教師可給予適當的點撥、分析與引導.

第三種情況可以說是最好的結果，教師可鼓勵學生通過交流、探索，抽象出問題的結論.

（2）交流展示

交流展示的目的就是暴露學生所思所想. 班級人數眾多，確實不好調控，而交流展示卻能有效發揮人多的優勢. 學生代表可將不同學生的解題思路展示出來，讓學生結合自己與他人的思維，通過類比分析，擴大思考范圍，補充思維容量，得到新的理解.

當教師沒有圈定明確的解題思路和方法時，學生先行過程中的思維是自由的、自主的，學生基于原有的認知結構與對解題方法的理解，通過不同的角度與思維方式來分析，可形成不一樣的解題思路［1］. 而教師需要做的是關注每個學生，通過學生交流過程中所呈現的思維，進行科學、合理的引導，讓學生的思維成為教學再生資源.

針對問題1，筆者預設以下三種情況發生：

預設1（從代數角度思考）：將直線方程y=kx－4k+3代入圓方程x2－6x+y2－8y+21=0，得x2+（kx－4k+3）2－6x－8（kx+3－4k）+21=0①.

預設2（從幾何角度思考），將圓方程轉化為（x－3）2+（y－4）2=4，圓心與直線的距離為d==②.

預設3（從待定系數的幾何意義出發）：將直線方程轉化為y－3=k（x－4）③，可知直線過定點P（4，3）.因為點P到圓心的距離為（小于圓的半徑2），所以圓與直線總存在兩個不同的交點.

針對問題2，筆者預設以下三種情況發生：

預設1：用幾何法解題——通過構造直角三角形解題. 即將問題轉化為直線AB與點Q的位置關系進行研究，作QH⊥AB，H為垂足，則QH=msinα；再比較QH與r的大小，分類討論直線AB與圓Q的位置關系.

預設2：用代數法解題，即以A為原點，AQ所在的直線為x軸建立平面直角坐標系. 圓心Q與直線AB的距離d==msinα，比較d與r的大小，分類討論直線AB和圓Q的位置關系.

預設3：用代數法解題，即Q為原點，AQ所在直線為x軸建立平面直角坐標系，假設直線AB：y=（m+x）·tanα，圓Q：x2+y2=r2（后略）.

若以上預設在課堂教學活動過程中并未呈現，教師可在活動結束前，將相應的方法展示給學生.

教師設計的問題應具有科學性和合理性，能促使學生形成新的思維，為建構模型奠定基礎，同時能讓學生查漏補缺，反思自己的不足，產生自省驅動的心理行為.

本節課教學，若筆者只是主講以上兩個問題，則課堂是“線性模式”，學生在理解、消化上需要大量的時間，而“學生先行—交流展示—教師斷后”模式的應用，將課堂交給學生，能充分發揮學生的主體作用.

（3）教師斷后

學生先行的過程中，會產生各種解題思路. 交流展示的過程則將學生的各種思維過程，有效暴露在師生面前，如此就給大家的再次思考提供了契機. 思考其實就是思維碰撞的過程，學生經過交流、反思、擴充，再次提升自己的能力. 值得注意的是，教師在整個過程中，具有無可替代的導向作用.

教師在習題教學中的導向作用，主要體現在兩個方面，一是體現在問題的設計上，二是體現在教師斷后中，其關鍵就在于如何把握住問題的核心，既完成教學需求，又完成學生難以自主完成的事［2］.

針對問題1可能出現的三種解題思路，教師可做如下預設，而后根據學生的實際表現進行引導.

第一，預設1中的式①該如何化簡？不少學生雖然寫出了該式，但并未化簡. 針對這個問題，教師可提問：式①展開后能得到什么結構？有哪幾項？

x2項的系數為k2+1，x項的系數為2k（3－4k）－8k－6=－8k2－2k－6，常數項為（3－4k）2－8（3－4k）+21=16k2+8k+6，綜上可得（k2+1）x2－2（4k2+k+3）x+16k2+8k+6=0，由Δ=［2（4k2+k+3）］2－8（k2+1）（8k2+4k+3）為正，可得結論.

第二，如何處理預設2中的式②？大部分學生選擇基本不等式來處理該式，教師可在此基礎上與學生進行交流.

設＜2，即（k+1）2＜4（k2+1），即3k2－2k+3＞0，即2k2+（k－1）2+2＞0. 將以上計算過程倒過來書寫，即可完成本題的解答.

第三，如何完成預設3？調查發現，一些學生幾乎不會想到從幾何的角度去分析，因為之前類似的范例中，教師并未應用預設3中的方法. 針對這個問題，教師可通過提醒引導學生完成預設3.

師：想要確定一條直線，必須知道幾個條件？

生1：兩個.

師：如方程y－3=k（x－4）中有一個待定系數k，這表示什么？

生2：表示確定這條直線的兩個條件中有一個還未確定.

此時教師可順勢引導學生發現獲得式③的依據和方法.

第四，解決問題的各種方法的主要依據是什么？要求學生對此進行歸納、總結.

針對問題2，教師斷后可從以下幾點出發：①從兩個角度進行處理，（代數）坐標法與（幾何）構造三角形法；②比較這兩種處理方法，可發現這是解析幾何的共同點；③比較建系的各種方法，發現它們之間具有怎樣的關系.

教師斷后不是就題論題那么簡單，更重要的是解釋問題的本質，闡明知識間的聯系以及涉透數學思想方法，為總結與概括解題思路奠定基礎.

總之，習題教學并不是簡單地解決幾個問題，而是引導學生體驗解題方法的獲取過程. “學生先行—交流展示—教師斷后”模式的應用，不僅彰顯出了學生的主體地位，而且使學生的思維得到了補充，為促進個體的全面發展奠定了基礎.

參考文獻：

［1］ 吳志鵬. 論數學例、習題變式問題在課堂教學中的有效性［J］. 中學數學研究，2009（02）：8-10.

［2］ 馬復. 設計合理的數學教學［M］. 北京：高等教育出版社，2003.