信息技術助力建模 項目學習提升素養

黃洪毅

【摘要】文章基于生活中鋪地磚的真實情境，組織學生開展項目式學習，用信息技術輔助學生進行實驗探究，建立數學模型，發現平面圖形鑲嵌的本質.教師在用科學方法解決現實問題的過程中，全面提升學生的數學核心素養，讓學生感悟數學與生活以及藝術之間的聯系，充分實現綜合實踐課的育人價值.

【關鍵詞】信息技術；核心素養；數學建模；項目式學習

《義務教育數學課程標準（2022版）》指出，綜合與實踐領域的教學活動，以解決實際問題為重點，以跨學科主題學習為主，以真實問題為載體，適當采用項目式學習的方式，通過綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合品質.在實際問題的解決中，創設合理的信息化學習環境，可以提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力.文章以“平面圖形的鑲嵌”為例，使用信息技術輔助學生進行實驗探究，組織學生開展項目式學習，從實際問題中抽象出數學問題，探究問題本質，建立數學模型，發展學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界的核心素養.

一、教學背景分析

“平面圖形的鑲嵌”是北師大版八年級數學下冊“綜合與實踐”的教學內容，是在學生理解并掌握三角形、四邊形、多邊形及圖形的平移、旋轉與翻折等知識的基礎上，綜合運用所學知識解決現實生活中問題的重要知識載體.

基于核心素養發展理念，本節課采用項目式學習方式，引導學生從生活中鋪地磚的真實情境中抽象出數學問題，提出平面圖形的鑲嵌問題.教師借助信息技術，使用拼圖軟件進行分組探究，提高實驗效率，激發學生學習興趣；設計邏輯連貫、具有思維挑戰性的探究任務，引導學生開展系列化的數學建模學習活動，讓學生經歷從數學角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡述平面圖形鑲嵌問題的全過程，幫助學生感悟數學與生活及藝術之間的聯系，進而提高學生的數學核心素養.

二、教學過程

（一）會用數學的眼光觀察現實世界———抽象能力

1.發現問題

人們在房屋裝修時，需要選擇適當的地磚拼成各種美麗的圖案，觀察下面這些圖案，它們在拼接時有什么特點？

設計意圖：通過現實生活中的實際問題，引導學生學會用數學的眼光觀察現實世界，在實際生活中發現并抽象出數學的問題.

2.提出問題

生活中對地磚拼接最基本的要求是：地磚之間應該嚴絲合縫，既無空白，也無重疊.

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌或密鋪.

問題1：平面圖形鑲嵌的關鍵點是什么？

問題2：哪些平面圖形可以鑲嵌？怎樣開展研究？

設計意圖：問題1引導學生思考平面圖形鑲嵌的關鍵點，理解“無縫隙、不重疊、鋪成一片”這三個要素，從而得出平面圖形鑲嵌的概念，為后續研究做好準備.問題2旨在用項目式學習的方法引導學生開展實驗研究，運用已有數學知識，用數學思維解決現實問題.

（二）會用數學的思維思考現實世界———推理能力

1.分析問題

本項目作為八年級下冊的一次綜合實踐教學活動，以現實生活中拼接地磚為背景，提出“平面圖形的鑲嵌”作為驅動型問題，引導學生規劃方案進行實驗研究，將已經學習過的三角形、四邊形、多邊形及圖形的平移、旋轉與翻折等知識融會貫通，建立數學模型，以解決現實生活中的問題.

設計意圖：分析問題，將現實生活中的實際問題轉化為應用三角形、四邊形、多邊形及平面圖形的變換等數學問題，旨在培養學生學習數學的興趣和用數學思維解決問題的能力.

2.簡化問題

學生普遍缺乏解決實際問題和數學建模的經驗，獨立開展項目式學習會變成漫無目的的探索，這就需要教師整體設計邏輯連貫、具有思維挑戰性的探究任務.

設計意圖：簡化問題，從特殊到一般，引導學生分步實施數學探究活動，經歷類比、模仿、自主創新，實現思維的發展.

探究1：僅用一種正多邊形進行鑲嵌，在電腦軟件中進行拼圖，完成實驗報告單，思考什么樣的正多邊形能完成單獨鑲嵌.

請同學們小組合作，在電腦上用實驗軟件完成拼圖，填寫以下實驗報告，并選派代表匯報實驗探究的結果.

【實驗步驟與觀察記錄】

探究2：允許用兩種正多邊形組合起來鑲嵌，由哪兩種邊長相等的正多邊形組合起來能鑲嵌成一個平面？

先嘗試用邊長相等的正三角形與正六邊形組合，探究能否鑲嵌成一個平面圖案，再從軟件中選擇其他兩種正多邊形進行組合，試試看，尋找兩種正多邊形能夠鑲嵌的規律，如圖2所示.

探究3：允許用三種正多邊形組合起來鑲嵌，由哪三種邊長相等的正多邊形組合起來能鑲嵌成一個平面？完成下列表格.

探究4：非正多邊形（凸多邊形）能夠進行平面鑲嵌嗎？說說你的理由.

探究5：查閱資料，觀看教師提供的埃舍爾平面圖形鑲嵌畫制作過程，設計一幅平面圖形鑲嵌圖.

設計意圖：學生普遍缺乏數學建模經驗，教師引導學生按照從特殊到一般、從無序到有序的思路進行探究，充分利用信息技術，指導學生利用拼圖軟件進行探究1和探究2的活動，提高實驗效率，把精力花在用數學方法解析模型、尋找平面圖形鑲嵌本質規律的過程中.接下來，學生類比探究1和探究2，完成探究3和探究4的活動，經歷從模仿到自主創新的轉變.最后，以探究5的活動作為拓展，教師通過動畫展示埃舍爾由基本圖形經過變換得到鑲嵌圖案的過程，幫助學生理解幾何變換的動態過程，并鼓勵學生動手操作設計鑲嵌圖案，親身體驗鑲嵌的過程及其帶來的美的感受.

（三）會用數學的語言表達現實世界———模型意識

1.建模、解模及檢驗

數學建模是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，數學建模活動與數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體.

探究1結論：通過對一種正多邊形的實驗探究，發現一種正多邊形能夠鑲嵌的規律是共頂點的各個角的度數之和等于360°.

分析檢驗：學生通過實驗操作，發現只有正三角形、正四邊形和正六邊形能完成單獨鑲嵌，與模型的解完全一致，如圖3所示.

探究2結論：通過對兩種正多邊形的實驗探究，發現兩種正多邊形能夠鑲嵌的規律依然是共頂點的各個角的度數之和等于360°.

建模與解模：設兩種正多邊形的內角度數分別為x°，y°，個數分別為m和n.因為每個頂點處各個角度數之和等于360°，所以mx+ny=360，這是一個不定方程.

為了簡化問題，實驗中只給出了正三角形到正十邊形的圖形，通過求解，學生可以發現正三角形與正六邊形、正四邊形與正八邊形、正五邊形與正十邊形這三種組合滿足方程.

分析檢驗：學生通過實驗操作，驗證正三角形與正六邊形、正四邊形與正八邊形的組合能夠完成鑲嵌，但是對正五邊形與正十邊形的實驗結果產生了分歧，現場引發了激烈討論.

正方結論：正五邊形與正十邊形能夠鑲嵌，正五邊形的內角為108°，正十邊形的內角為144°，取2個正五邊形和1個正十邊形作為基本圖形，滿足2×108°+1×144°=360°，所以正五邊形與正十邊形能夠鑲嵌，如圖4所示.

反方結論：正五邊形與正十邊形不能完成鑲嵌，雖然正五邊形和正十邊形的組合使得方程有正整數解，但是在實際拼圖的過程中，不能鋪滿整個平面，會有縫隙或重疊出現，這不符合平面圖形鑲嵌的定義，所以正五邊形與正十邊形不能完成鑲嵌，如圖5所示.

通過辯論，學生明晰了平面圖形鑲嵌的概念，反方獲勝，同時意識到模型檢驗的重要性，積累解決生活中復雜問題的經驗.

2.模型應用

探究3結論：由探究1和探究2的數學模型，可以推出三種正多邊形鑲嵌要滿足的條件依然是同一個頂點處所有內角的和為360°，直接應用模型，得出正三角形、正四邊形和正六邊形可以完成鑲嵌，如圖6所示.

探究4結論：直接應用由探究1和探究2得出的數學模型，共頂點處所有內角和為360°，可以得出任意三角形都可以鑲嵌，事實上，可以把兩個三角形拼成一個平行四邊形，然后將平行四邊形上下疊放鋪滿整個平面，如圖7所示.任意四邊形也可以鋪滿整個平面，只需要標注任意四邊形的內角和為360°，把4個四邊形不同的對應角進行拼接，一起構成360°，其他以此類推，如圖8所示.

通過查閱資料，學生發現可以單獨鑲嵌的不規則的五邊形有15種，如圖9所示.能夠單獨鑲嵌的不規則的六邊形有3種，當邊數大于等于7時，不規則多邊形不能單獨鑲嵌.

教師采用項目式學習與數學建模深度融合的方式，將核心素養的培養融入教學實踐.用數學眼光、數學思維、數學語言解決實際問題，不僅能夠鞏固學生對所學知識的理解，還可以強化學生探究學習的意識，促進學生“三會”能力的培養.教師最后布置的探究5的活動，充分發揮了學生的想象力和創造力，使學生體會數學與藝術的完美結合，感受數學在生活中的應用，增強學習數學的興趣.

三、教學思考

（一）任務驅動，實現思維自然生長

綜合與實踐活動課程源于現實生活中的真實問題情境，具有一定的復雜性和綜合性.學生普遍缺乏解決問題的經驗，面對問題情境，往往不知從何處開始研究.本節課教師引導學生從平面圖形的鑲嵌中提取出問題，并對問題進行分析和簡化，從特殊正多邊形到一般多邊形，從一種正多邊形到兩種正多邊形和三種正多邊形，建立秩序，帶領學生完成序列化的探究任務，發現平面圖形鑲嵌的本質，理解數與形的轉化與聯系，實現思維的自然生長.

（二）信息助力，促進數學建模與解模

在傳統的教學中，本節課是讓學生準備大量全等的正多邊形紙片進行拼圖，耗時耗力，打擊學生探究的積極性，且學生不易觀察到幾何圖形的動態變換.本節課充分使用信息技術，設計拼圖軟件，學生只需要在電腦上點擊鼠標，即可輕輕松松完成一種正多邊形和多種正多邊形的拼接，極大地提高了課堂效率，激發了學生的學習興趣，使學生把時間和精力用在探究上，尋找平面圖形鑲嵌的規律，建立數學模型并解釋模型和應用模型，開闊學生的視野.

（三）項目式學習，發展學生核心素養

項目式學習提倡學生在“做中學”，以學生為中心，通過任務驅動，引導學生開展基于生活中真實問題的活動探究，最后小組匯報交流學習成果，有助于發展學生用數學眼光發現和提出問題、用數學思維分析和解決問題、用數學語言描述和表達問題的素養，還有助于培養學生用整體的、發展的、聯系的眼光看待現實問題的能力.在整個項目式學習過程中，學生有小組合作和分工，任務明確，參與度高，實現深度學習，感受到學習的意義和快樂.

結 語

教師利用信息技術促進教與學方式變革，通過將問題簡化，從特殊到一般，從簡單到復雜，引導學生分步實施序列化的數學探究活動，經歷類比、模仿到自主創新，實現思維的發展.這樣的項目式學習對于發展學生數學核心素養更有效.

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