源于教材意料之外，高于教材情理之中

王珍

摘 要：高中數學教材的一些例（習）題經常是高考命題結合高考真題實例，合理鏈接高考.關注例（習）題的拓展性，教材的整合性與交匯性，教材的再加工以及相關探究欄目等，合理挖掘教材，回歸教材本質，源于教材內涵，高于教材層次，進而指導與引領平時的實際數學教學與數學學習.

關鍵詞：教材；例題；習題；拓展

高考命題源于教材意料之外，高于教材情理之中.高中數學教材已經成為高考數學命題的一個“母題庫”.作為一線教師，要將此理念充分落實到新課教學與高考復習備考中去，靜下心來認真深入鉆研教材，多層面領悟教材的意圖與內涵，挖掘教材各方面的精華與本質，同時對教學資源進行必要的整合與拓展.

1 挖掘教材，關注例（習）題的拓展性

高中數學教材的一些例（習）題的答案往往可作為一些重要的結論，或推廣、延伸獲得更具一般性的規律.有目的性地積累高中數學教材中的一些小結論，可提高數學解題速度，甚至實現“秒殺”的奇效.

分析：根據橢圓的另一頂點的引入，結合橢圓的對稱性來分析對應直線斜率的關系式，結合橢圓的第三定義進行應用，合理構建對應參數的比值問題，結合橢圓的離心率公式加以分析與求解.

【鏈接教材】（人民教育出版社《數學》（選擇性必修第一冊）復習參考題3第11題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡.

其實，該習題是關于動點的軌跡方程問題，就是橢圓的第三定義.以上高考真題，是對橢圓的“第三定義”的再變形、再改造、再拓展.

借助橢圓第三定義法，是回歸教材的本質，通過課后習題所闡述的一些相關結論或“二級結論”的掌握來快速、正確解決相應的填空題或選擇題.

2 挖掘教材，關注教材的整合性、交匯性

對高中數學教材中一些典型例（習）題進行變換、整合、交匯、深化等，從而形成“合力”，加強不同知識之間的縱橫聯系與不同知識之間的交匯融合，體現高考在知識交匯點處命題的理念，有效培養數學思維的深刻性、廣泛性，滲透數學核心素養.

分析：根據平面向量中的極化恒等式，合理轉化對應的平面向量數量積，將平面向量的數量積由平面向量的線性運算的模導出.合理建立平面向量的數量積與線性運算之間的聯系，是解決平面向量的數量積問題中一種有力工具.

【鏈接教材】（人民教育出版社《數學》（必修第二冊）第六章《平面向量及其應用》中6.2平面向量的運算中第22頁練習第3題）求證：（a+b）2-（a-b）2=4a·b.

這個證明的結論，變式可得：a·b=1/4［（a+b）2-（a-b）2］.這就是著名的“極化恒等式”：平面向量的數量積表示為以這組平面向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”的平方差的1/4.

抓住平面向量中的極化恒等式，搭建起平面向量與幾何長度（數量）之間的橋梁，有效實現向量與幾何、代數等不同知識點之間的整合與轉化，也為問題的深入、拓展與提升提供理論支持.

3 挖掘教材，關注教材的再加工

對高考數學教材的一些原型題的挖掘、再加工，將教材內容通過“組合”“聯姻”“嫁接”“演變”“交叉滲透”等方式推陳出新，合理創新與綜合，在縱橫交錯、多方變換中考查學生的綜合與創新能力.

例3 （2022年高考數學新高考Ⅰ卷·7）設a=0.1e0.1，b=1/9，c=-ln0.9，則（）.

A. a＜b＜c

B. c＜b＜a

C. c＜a＜b

D. a＜c＜b

分析：根據題設條件中函數關系式的結構特征，涉及指數式、分式與對數式，合理利用相關結論以及相應的不等式結論來合理轉化，進而兩兩確定函數關系式之間的大小關系.

【鏈接教材】（人民教育出版社《數學》（選擇性必修二冊）第五章《一元函數的導數及其應用》中5.3導數在研究函數中的應用中第94頁練習第2題）證明不等式：x-1≥lnx，x∈（0，+∞）.

在教材中（習題5.3第99頁第12題）的其他地方，也涉及到類似的不等式證明與應用：

利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：

（1） ex＞x+1，x≠0；（2） lnx＜x＜ex，x＞0.

在不等式的證明、大小關系的判斷以及其他綜合應用中，經常將一些相關的知識進行必要的再加工，實現多個知識點的交匯與綜合.

4 挖掘教材，關注“探究”“拓廣探索”“思考”及閱讀材料

回歸高考數學教材，除對一些數學典型題進行演算變換外，還需加強對高中數學教材的“探究”“拓廣探索”“思考”及閱讀材料等內容進行相應的研究，挖掘問題的內涵，拓展結論的本質.

例4（2022年高考數學全國甲卷·23（1））已知a，b，c均為正數，且a2+b2+4c2=3，證明：a+b+2c≤3.

分析：借助題設條件，結合已知中的三元二次冪的關系式，對比所證結論中的三元一次冪的關系式，分析兩者之間的結構特征，與柯西不等式的應用條件相吻合，進而合理配湊相關的系數，結合柯西不等式的應用加以轉化與證明.

【鏈接教材】（人民教育出版社《數學》（必修第二冊）第六章《平面向量及其應用》中6.3平面向量基本定理及坐標表示中第37頁習題6.3“拓廣探索”第16題）用向量方法證明：對于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

以上“拓廣探索”中涉及的這個重要的不等式就是柯西不等式的二維形式.柯西不等式是高中數學不等式部分的一個重要不等式，高考的基本知識點之一，經常需要利用其進行不等式證明、恒等式證明，以及求解相關代數式的最值或綜合應用等.

高中數學教材中的例（習）題等，都是不同時期背景下幾代人智慧的精華與經驗的積累，具有很好的示范與引領作用.借助教材例（習）題并加以改編、變式、拓展與提升，進一步綜合此類命題的背景、知識、思想、方法、技巧與策略等，源于教材，又高于教材，充分體現傳承、創新與發展.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 韓文美.高考數學試題的題源探秘［J］.高中生之友，2018，392（11）：21-22.