重視方法聯系，促進能力提升

余美君

［摘? 要］ 人教版教材有三次關于“租船問題”的解決問題教學，文章從教學起點、教學側重點、方法聯系三個方面進行對比分析，提出通讀教材，把握起點；刨根問底，辯中優化；實踐操作，策略反思三個教學建議，使學生進一步體會知識間的緊密聯系。

［關鍵詞］ 小學數學；租船問題；優化

一、緣起

筆者在上三年級的“租船問題”時，曾有學生問：“老師，為什么要這樣一個一個地把方案列舉出來，有沒有更簡便一點的方法？”在學習四年級的租船問題后，學生更加對三年級所使用的一一列舉的方法嗤之以鼻，覺得用“套路”來解決“租船問題”更簡單，為什么四年級知識比三年級知識還要簡單？在學生看來，列表法需要將各種情況一一列舉出來，既麻煩又容易出錯，“套路”才是解決這類問題的“神器”。那為什么教材要做這樣的內容編排呢？我們得細細品味。

二、追起點之源

實際上，人教版教材一共安排了三次關于“租船問題”的解決問題教學，分別是二年級下冊第六單元“有余數的除法”、三年級上冊第三單元“測量”及四年級下冊第一單元“四則運算”。相比二年級的“租船問題”，三年級與四年級的“租船問題”無論是在計算上，還是在思考過程上都顯得更為復雜。下面，筆者從教學起點、教學側重點、方法聯系三個方面進行對比分析。

1. 以進一法為主的“租船問題”

教材把二年級的“租船問題”編排在“有余數的除法”單元內，主要內容是借助學生出游租船的情境，運用有余數除法的知識解決簡單的實際問題，并采用進一法得出問題的最終答案。二年級的“租船問題”總共有兩個已知的數學信息，分別是：22名學生去劃船；每條船最多坐4人。這里船只的形式只有一種，因此教師重在引導學生理解題目信息，理解“最多坐4人”的含義，這對理解“至少”要租幾條船具有很大的幫助。

運用有余數除法來解決實際問題并不等同于本單元所學的除法豎式計算，本節課除了要幫助學生理解不同語境中“最多”“至少”的含義外，學生還需要運用不同的表征方式理解“進一”的道理。教師可以引導學生用畫圖、符號、豎式等方式溝通圖式與算式間的聯系，結合情境充分理解除法算式中每一個數所表示的含義。

二年級的租船問題，需要的是學生能夠打破以往看算式定結果的固有思維，從變化與聯系的角度看待人數與船只的數量關系，并能根據算式結果做出合理的思考，這為后續學生三年級學習“租船問題”時所使用的列表法打好計算基礎。

2. 以列表法為主的“租船問題”

三年級上冊的“租船問題”是該冊第三單元“測量”的最后一個例題。雖然教材呈現的是租車問題，但與“租船問題”屬于同一類，旨在解決與噸有關的實際問題，介紹運用列表法解決問題，向學生初步滲透優化思想，比較多種方案，得出最佳方案。三年級的“租船問題”總共有三個已知的數學信息，分別是：運完8噸煤；小貨車每次載質量2噸；大貨車每次載質量3噸。

受二年級“租船問題”知識的負遷移，筆者發現很多三年級學生想到的第一個方法就是假設全部租小貨車，或者全部租大貨車，再根據算式結果運用進一法得出最終答案。有些學生甚至對兩種假設都進行計算，然后進行比較，選取最便宜的方案。出現這種現象主要是學生的頭腦中沒有想到可以“兩種車一起租”，思維策略還停留在二年級階段。因此，教學中教師要明確“可以用2噸的車，也可以用3噸的車”運煤，可以同時用兩種車，也可以只用一種車，而且“每次運煤的車都裝滿”“恰好運完8噸煤”［１］。在學生“試算”的基礎上，讓學生體會用列表法一一列舉時可以做到不重復、不遺漏，從而積累解決問題的經驗和策略。

三年級的“租船問題”，以二年級所學的有余數除法為計算基礎，是二年級“租船問題”的提升，區別在于出現了兩種不同類型的船，學生需要考慮“兩種船一起租”的情況，對學生的思維層次及計算能力有較高要求。要知道哪種方案能恰好運完或最省錢，必然是在將所有可能的方案一一列舉出來，然后通過計算方案的最終價格并比較，才能確定最優方案。通過讓學生全程參與用列表法一一列舉解決問題這一過程，讓學生進一步體會在租船時要兼顧兩個因素：盡量租單價便宜的，盡量減少空位，這為學生四年級學習“租船問題”給予了策略基礎。

3. 以優化、調整為主的“租船問題”

第三次“租船問題”是四年級下冊第一單元“四則運算”的最后一個學習內容，教材用租船的情境提供了現實素材，旨在讓學生合理、靈活地運用四則運算的意義及順序解決實際問題。與二年級、三年級的“租船問題”相比，四年級的“租船問題”顯得更為復雜，已知的數學信息共有5個，分別是：一共有32人；小船24元；大船30元；大船限乘6人；小船限乘4人。初看之下，四年級的“租船問題”與前兩次的學習相比，區別似乎只在于數學信息的增加，但在解決問題的過程中，學生還需要綜合考慮大船和小船的單價、多余的人數和空位數、大船和小船的只數、總金額的變化等一系列數量關系。因此，四年級的“租船問題”并不難在計算，而難于解題時的思路和方法。

從教材“分析與解答”部分可知，學生需要經歷“租哪種船→租幾條大船、幾條小船→減少空位→最省錢方案”過程形成優化思維的策略，這也是教師在教學時所遵循的教學過程。正是這樣的教學過程，才會引發前文所敘述的疑惑，為什么四年級的“租船問題”顯得比三年級的“租船問題”更簡單、易懂，學生更容易抓住“套路”解題？

這個疑惑的產生，正是源于并沒有將此前所學習的進一法、列表法與優化、調整的方法聯系起來。“怎樣租船最省錢？”學生曾在三年級遇到過這個問題，但并沒有將其放在例題里進行深入探討。對于租船問題，要知道哪種方案最省錢，應該是將所有可能的方案一一列舉出來，進行比較后才能得到最后的結果，這也是四年級學生解決“租船問題”的基本思路。基于此，對四年級的“租船問題”為什么不繼續采取列表法來解決呢？有那么多的方案，一一列舉出來太麻煩且復雜，有沒有更簡單的方法呢？在這樣的思考下，激發了學生尋找新方法的需求，要想快速地尋找出最省錢的方案，需算出大船、小船的單價，并多選單價低的船。同時在列表法的啟發下，學生又產生了新的想法，減少空位或者沒有空位的方案會不會更省錢？讓學生對上述方案做進一步的調整與比較。相比列表法，學生通過比較單價、盡量坐便宜的船、調整座位可以更快找到最省錢的方案。然而，教師還需要做進一步的引導與解釋，為什么減少空位就可以節省租金？通過組織學生觀察示意圖及算式，學生能想到空位也是要付錢的，如果減少空位或者沒有空位就更能達到最省錢的目的［２］。

學生最有效的學習就是在原有經驗基礎上進行再建造。根據以上整理，可見一種高級的解決問題方法的產生其實也是源于對數學基本方法的改進，而且這個基本方法是解決問題的根本思路。四年級的解決方法看似簡單、易操作，但其也是建立在對所有方案進行比較后才得到的結果，只是在一一列舉的基礎上做了進一步的優化與調整。

三、溯教學之策

1. 通讀教材，把握起點

美國認知教育心理學家奧蘇貝爾曾經說過，影響學生學習最重要的原因是學生已經知道了什么，教師應當根據學生原有的知識基礎進行教學。在教學過程中，學生都是根據他們已有的知識基礎、生活經驗和對社會的理解等因素來探討如何解決問題的。教師在開展教學時首要任務便是通讀教材，將與“租船問題”相關的內容聯系起來，厘清知識脈絡，把握問題的核心知識，由此提升課堂教學效率。二年級的“租船問題”以進一法為主，正是三年級“租船問題”所使用列表法的計算基礎。而解決三年級“租船問題”所使用的列表法則是優化方法的根本思路，“最省錢”一定是比較過所有的方案的結果，只是在列表的基礎上做了優化與調整，用算式進行過程的表達，是解決問題能力提升的體現。

2. 刨根問底，辯中優化

在問題中抽取所需的數學信息，讓學生了解條件與問題，對問題形成知識起點。對問題進行深入、全面的分析是最終完成正確解答的關鍵步驟，通常作為課堂教學的重點。在進行“租船問題”教學時，教師需引導學生全面理解題意，明確關鍵信息“最多”“至少”“最省錢”，找出解決問題的最優策略。如在進行四年級“租船問題”教學時，學生經歷“租哪種船→租幾條大船、幾條小船→減少空位→最省錢方案”過程后，教師可引領學生說一說自己的解法，這樣才能進一步地聽懂與學懂他人的解法，并進一步組織學生將四年級“租船問題”所使用的優化、調整法與三年級“租船問題”所使用的列表法做比較，體會該種方法是列表法的一種延伸與優化，最終實現學生自我策略的優化。

3. 實踐操作，策略反思

四年級學生的年齡一般在9-10歲，在記憶方面，有意記憶逐步發展并占主導地位，抽象記憶有所發展，但具體形象記憶的作用仍非常明顯。在教學過程中，教師可以采取多種實踐方法幫助學生理解方案的優化、調整過程。以教學四年級“租船問題”為例，教師可采取小組合作的形式，給每個小組提供學具，以紙船替代題目中的大船、小船，以棋子替代題目中的學生，讓學生動手擺一擺、畫一畫、算一算。接著，教師在課件中將座位的調整過程演示一遍，加深學生的印象。最后，教師組織學生說一說、辯一辯。從實踐操作到具象演示，再到“圖示”“算式”，化形為數引導學生更直觀地分析數量關系，深化解題過程，幫助學生優化解題策略。這樣的教學過程不僅能幫助學生更好地掌握相關知識內容，還可以使學生在數學能力上有一定收獲。

在解決問題之后，教師需要引導學生進行策略反思，明確“盡量選單價便宜的船，盡量減少空位”的省錢策略，實現“租船問題”的策略建模。從二年級的進一法到三年級的列表法，再到四年級的優化、調整法，從運算意義的建構到借助工具實踐操作，再到畫圖與建模，新方法的產生其實也是源于對基本方法的改進。只有經歷這一漫長且曲折的學習過程，學生得到的不僅有數學知識的充盈，還有數學能力的提升。

“租船問題”是一類基于數量關系的較為復雜的問題，但其并不同于傳統的以數量關系為主的解決問題，而是側重于逐步向“優化思想”的滲透。縱觀以上的追源及溯策，針對這類問題的教學，教師應使學生在聯系方法的基礎上，體會知識與知識間的緊密聯系，進一步提高學生的數學能力。

參考文獻：

［１］ 梁靄玲. 由“租船問題”引發的思考［Ｊ］. 小學科學（教師版），２０１７（０８）：１５２.

［２］ 劉韓. 這樣一定最省錢嗎？——《解決問題》案例分析［Ｊ］. 湖北教育（教育教學），２０１６（１０）：６２－６３.