運算能力：基于“情境”的培育實踐

徐海波

［摘? 要］ 情境是培育學生運算能力的重要載體和媒介。在小學數學教學中，教師要有意識地創設經驗性的情境、問題性的情境、操作性的情境、比較性的情境，促進學生有效整合運算內容，使學生學會研究并理解運算的每個步驟，充分感知運算的作用。所以教師在數學教學中除了教會學生算法，還要教會他們去理解其中的算理，掌握好相應的策略和運算技巧等。只有讓學生在情境中學習數學，并且積極主動地經歷運算的全過程，才能助推學生建構、創造完整的運算意義。

［關鍵詞］ 小學數學；運算能力；情境培育

在小學數學核心素養的培養中，運算能力是不可缺少的一部分。對于小學生來說，有效培養其運算能力至關重要，可有效提升學生的運算素養。在學習運算時，學生除了要掌握相應的運算法則，更重要的是要理解運算的意義。在小學數學教學中，教師可以創設相關的情境，將相關的運算算理等融入、滲透在情境之中。通過引導學生的情境感知、情境操作、情境想象等，不斷地提高學生的數學運算能力，有效發展學生的數學核心素養。通過創設相應的教學情境，讓學生完整地經歷運算的全過程，從而助推學生建構、創造完整的運算意義。

一、創設經驗性情境，促進學生的運算感知

情境的種類很多，主要有經驗性情境、問題性情境、操作性情境、對比性情境等。不同的情境具有不同的特質和不同的育人功能。教師要充分地彰顯情境的育人價值。首先是基于學生生活的經驗性情境。經驗性情境是情境創設的一般方式。相較于其他情境，經驗性情境更貼合學生的學習和生活實際，也更能獲得學生的認同和響應。經驗性情境能有效地促進學生的運算感知，增強學生的直觀感受和體驗。提升學生的運算能力，不僅要讓學生“算”，而且要讓學生理解運算的意義和價值，讓學生對運算不僅“知其然”，更“知其所以然”“知其所以應然”。

比如教學“運算律”這部分內容，重要的是要引導學生認識和理解“運算律的內容”，把握“運算律的形式”，并積極展開“運算律的應用”。對于抽象的“運算律”，教師不應機械、枯燥地說教，而應著力引導學生理解“運算律”的意義。例如在教學“加法結合律”這部分內容時，筆者就創設了這樣的生活化情境：學校舉行運動會，班上有25個男生跳繩，17個女生跳繩，13個女生踢毽子，跳繩和踢毽子的一共有多少人？通過這樣的問題引導學生進行不同維度的思考，如“先求一共有多少人跳繩，再求跳繩和踢毽子的一共有多少人”“先求女生有多少人參加跳繩和踢毽子，再求跳繩和踢毽子的一共有多少人”。通過這樣的經驗性情境，學生加深了感知和理解，從事例層面理解了“加法結合律”的運算結構，促進了數學認知的建構。不僅如此，筆者在教學中還引導學生解讀情境和意義中的算式，通過現成的算式，引導學生賦予算式意義，并通過意義賦予，讓學生的數學學習成為可能。同時，學生在開展運算時能主動地將其與生活、經驗相關聯。這種關聯，指的是讓學生學會用數學的眼光去看待生活，并在思考生活時用數學的大腦去分析問題。

經驗性情境讓學生的數學運算學習充滿了“生活味”。運算不是純粹的紙筆數理、算理的推演，也不是純邏輯、純形式的計算，應當凸顯運算的意義。如“四則運算”中的加、減、乘、除，“加法代表著合并”“減法是加法的逆運算”“乘法是諸多相同加數加法的簡便運算”“除法是乘法的逆運算”，等等。通過理解意義，學生能洞察運算的本質，體會到法則之間的內在聯系。

二、創設問題性情境，促進學生的運算思考

“問題”是數學的心臟，也是數學學習的動力引擎。在小學數學教學中，教師要學會創設“問題性情境”。借助“問題性情境”，學生可以更好地開展運算思考。“問題”是學生進行數學運算的基礎，也是學生開展運算學習的動力所在。因此，“問題”是學生展開思考的支撐，能幫助學生更好地開展數學計算工作。教師不僅要善于研發問題，而且要善于修正、完善問題，要讓“問題”既契合數學運算知識的本質，又能切入學生數學運算學習的“最近發展區”。

可見，開展問題性情境教學，可以讓學生的運算思考從低階走向高階。比如教學“兩位數乘兩位數”，教師不能只讓學生掌握運算的形式，如“先用第二個因數個位上的數分別乘第一個因數每一個數位上的數”“從個位乘起，再用第二個因數十位上的數去乘第一個因數每一個數位上的數”“最后把兩次乘得的積相加”，更要引導學生思考“用第二個因數的個位、十位分別乘第一個因數的每一個數位上的數的意義”，即“第一次相乘代表有多少個一”“第二次相乘代表有多少個十”。教學中，教師可以通過創設具體的問題情境來啟發學生對算理的理解。如“用個位上的2乘12代表什么？”“代表2千克蘋果多少元？”“用十位上的3乘12代表什么？”“代表30千克蘋果多少元？”“30千克蘋果可以看成多少個10千克蘋果？”“所以用十位上的3乘12得到的積表示什么？應該怎樣書寫？”等等。通過問題的指引，學生能夠熟悉“兩位數乘兩位數”運算過程中的每一步計算的算理。通過引導學生認識每一步的算理，能讓學生有效地建構運算法則，認識運算的內在機理。問題情境不僅富有生活性、經驗性，同時還富有啟發性、引導性。借助問題情境，教師能激發學生對“算理”的深入思考、深刻探究，能助推學生對“算法”積極且有意義的建構和創造。

在數學運算教學中，教師還可以引導學生基于“情境”自發地提出相關的問題。例如學生在運算過程中會積極主動地反思：這一步運算算的是什么？這一步為什么這樣算？這一步運算為什么這樣書寫？等等。相較于教師提出的問題，學生所提的問題更具有現實性、啟發性、引導性。如在上述的教學過程中，面對“兩位數乘兩位數”的運算，教師也可以引導學生提出問題，并針對問題開展深入的分析與研究。“問題”能將學生帶入運算的“核心地帶”。

三、創設操作性情境，促進學生運算能力的提升

構建運算法則時，教師一定要將抽象的算理演繹過程轉化為學生的具身性操作。創設操作性情境，能促進學生的運算探究、運算建構。心理學研究表明，小學生以直觀思維為主，再融入具體思維。因此，引導學生進行算法操作時，要注意將算法操作與算理結合起來。創設操作性情境，引導學生進行算法探究時，一定要激發學生的運算思維和運算想象，避免讓學生淪為單純的“操作工”。

比如教學“十幾減9”這部分內容時，部分教師往往不注重引導學生建構多樣化的算法，而僅僅著眼于學生“會計算”。其實，多元化算法能有效提升學生的數學學習力、發展學生的數學核心素養。實踐證明，學生的運算方法在建構時非常豐富，如“平十法”“破十法”“依次相減法”“算減想加法”等。教師要善于對學生的算法操作進行引導，啟發學生將算法操作轉化為算法建構。以“13減9”的教學為例，當學生拿出1捆小棒和3根小棒之后，教師要啟發學生：1捆小棒和3根小棒代表多少？從這么多的小棒中拿掉9根小棒可以怎樣拿？你準備先拿幾根小棒，再拿幾根小棒？哪一種拿法更方便快捷？通過對操作的指導和比較，教師引導學生建構多樣化的算法，并對算法進行比較。在這個過程中，教師尤其要突出“13減9”的核心算法——“破十法”。“從1捆小棒中可以直接拿出幾根小棒？”“還剩幾根？”“可以將這剩下的1根和幾根合并起來？”“13減9可以怎樣算？”具身性的操作情境可以引導學生進行有效的算法探究。通過比較，學生可以明確各種算法的特點，如“破十法”的快捷、“平十法”的巧妙、“依次相減法”的繁雜、“算減相加法”的自然等。這些多樣化的算法是學生具身性操作抽象化、形式化、數學化的產物。在這個過程中，操作讓運算算理有效外顯，也讓數學學科的算理得到有效的體現。同時，算理讓操作有所指向，即算理可以讓學生的操作有針對性、方向性、目的性等。教師要促成學生的具身性操作有效地轉化為運算法則，內化為運算素養。

操作性情境是一種半直觀、半具體的情境，也是一種具身認知的情境。操作性情境能幫助學生建立操作的表象，而操作表象是學生算法建構的基礎。操作是學生運算思維的外援性支撐，運算思維是操作的內隱性支援。置身于操作性情境之中，學生能夠積極主動地實踐和探究。學生在做中學、在做中思、在做中悟，“做與思”緊密結合、相伴相融。通過操作，學生能夠積極主動地建構、創造算法。

四、創設比較性情境，促進學生的運算整合

在數學學科中，很多算法的表現形態不同，但其本質還是相通的。教師要創設比較性的情境，將不同的算法納入其中，引導學生進行比較，從而讓學生進行算法的有效整合，助推學生建構更高階的算法，形成一種算法的“大概念”“高觀點”。這些算法的“大概念”“高觀點”有助于學生對算法的積極遷移和應用。

比如教學“小數加減法”這部分運算的時候，筆者就放手讓學生探究。如對于“3.25+1.8”這樣的小數位數不同的小數加減法，學生很容易受到“整數加減法”法則表述的負遷移影響，將小數的末位對齊。為此，教師應當引導學生積極主動地探索，如給小數加上單位，變成“3.25元+1.8元”“3.25千克+1.8千克”等。借助“元和元合并”“角和角合并”“千克和千克合并”“克和克合并”，學生能更好地理解算理。借助生活事例，學生能積極主動地建構算法。在此基礎上，筆者引導學生對算式本身進行思考：十分位上的數和哪個數位上的數對齊？百分位上的數呢？將什么對齊就能保證十分位上的數和十分位上的數對齊、百分位上的數和百分位上的數對齊？如此，學生就能深刻地理解“小數點對齊”是“小數加減法”法則的“牛鼻子”。同時，筆者將“整數加減法”法則與“小數加減法”法則進行比較，從而讓學生認識到“小數加減法”和“整數加減法”的內在一致性——都是數位對齊，都是計數單位相同。通過比較，學生能形成更加上位的認知，即“只有計數單位相同才能直接相加或相減”。這樣的一種加減法運算的上位認知，不僅能促進學生理解算理、建構算法，而且有助于學生的積極遷移，對學生后續學習“異分母分數加減法”的法則具有重要的意義和價值。

創設比較性情境，不僅有助于學生掌握相關運算的法則，而且有助于學生把握相關運算法則之間的關系。從某種意義上說，數學學科中的諸多算法都具有結構性和整體性。在小學數學運算教學中引導學生比較算法法則，能讓學生在變（法則的具體表現及形態不同）與不變（算理相同）中形成更深層次的感悟。這樣的一種比較，能讓學生把握相關算法的共同點與差異。

學生的運算能力、運算素養等的培育并不是一蹴而就的。教師要通過引導學生建構算法、理解算理，在他們的心里建構運算的相關運算圖式。運算圖式是一種內隱的算法，是沉積在學生心里的算理的凝聚。這種“凝聚”是必要的、必需的，它能有效地指導學生的外在運算。在教學時，教師要注意算法的構建，使學生更好地理解算理，讓學生掌握相關的運算策略、運算技巧等。這些運算策略、運算技巧不依靠教師外在的灌輸，而依靠學生內在的感悟。只有這樣，才能有效地提升學生的運算能力，發展學生的數學核心素養。