課程思政的教學探索

江婧

摘?要：微積分學是高等數學的重要內容之一，其中微分中值定理和定積分中值定理是微積分學的兩個重要定理，它們用不同的方法研究函數的性質。本文通過研究微積分中值定理的關系，幫助學生理解微分與積分的思想，掌握兩個定理的含義；通過本課程的學習幫助培養學生的思維和能力，培養學生的愛國主義情懷，使學生樹立正確的人生觀和價值觀。

關鍵詞：微分中值定理；定積分中值定理；牛頓—萊布尼茨公式；課程思政

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.076

1?高等數學課程思政的實施背景

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議中指出，要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面。高等教育作為社會發展進步的重要依靠和重要源泉，應該將思想政治教育深入各個環節，使思想政治課程和專業課程通向同行，形成協同效應，為社會培養有用之才。

高等數學作為這理工類大學生的必修課程，存在教學時數長、內容高度抽象、知識體量大等特點。長期以來的傳統教學模式使大部分老師在講授知識時只重視理論知識的講解，并沒有將理論知識與實際問題緊密結合起來，使課堂教學既沒有新意又沒有活力。而將思想政治教育融入大學課程的思想啟蒙得較晚，大部分老師將思想政治課程和專業課程看成完全獨立的兩門課程的思想已根深蒂固，使得要將思想政治教育融入專業課程難度較大。

思想政治教育如何融入專業課程？怎樣融入？是當今的大學課程應該思考的問題。對于高等數學這門課程來說，我們應該看到其中蘊含了豐富的數學文化、唯物主義和自然辯證法的思想。數學課程不應只講授復雜的數學公式和定理證明，應該發掘每個知識點背后的課程思政元素，針對不同的知識點尋找可以融入思政元素的契合點，讓數學課程不再枯燥死板。作為基礎課程也可以豐富精彩，發揮教師在教書過程中育人的工作，真正做到“立德樹人”的根本任務。

2?微積分中值定理與定積分中值定理關系的教學設計

微分和積分作為研究函數性質的重要工具，以極限思想為基礎，以研究函數為目標。本文以微分中值定理與定積分中值定理的關系為例，探索如何將課程思政元素融入課程教學中，做到將思政教育導向與專業知識技能相融合。

微分中值定理和定積分中值定理是微積分的兩個基礎定理，由于兩個定理涉及不同章節的知識點，學生容易將兩個定理產生混淆。因此理解兩個定理并掌握兩個定理的關系，首先需要引導學生回憶兩個定理及相關的概念。

（微分中值定理）如果函數F（x）滿足在閉區間a，b上連續；在開區間（a，b）內可導，則在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使

F（b）－F（a）=F′（ξ）（b－a）.

（定積分中值定理）如果函數f（x）在閉區間a，b上連續，則在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使

∫baf（x）dx=f（ξ）（b－a）.

（牛頓-萊布尼茨公式）如果函數F（x）是連續函數f（x）在區間a，b上的一個原函數，那么

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）.

（積分上限函數的性質）如果函數f（x）在區間a，b上連續，那么積分上限函數

Φ（x）=∫xaf（t）dt

在a，b上可導，并且它的導數

Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）?（a≤x≤b）.

（原函數存在定理）如果函數f（x）在區間a，b上連續，那么函數

Φ（x）=∫xaf（t）dt

是f（x）在區間a，b上的一個原函數。

高等數學作為微積分學和幾何學交叉內容形成的一門學科，幾何學思想是研究微積分學的常用方法，因此針對抽象函數可以采用數形結合的思想研究。首先引導學生分析兩個公式的幾何意義，從幾何學的角度區分兩個定理。

微分中值定理公式通過變形可得F′（ξ）=F（b）－F（a）b－a.由函數在一點處導數定義的幾何意義可知上述公式表示在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得函數F（x）在ξ點處切線的斜率F′（ξ）一定等于連接（a，F（a））、（b，F（b））兩點的弦的斜率。

積分中值定理公式通過變形可得f（ξ）=∫baf（x）dxb－a.由定積分的幾何意義知∫baf（x）dx表示以b－a為底邊長，f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積。因此上述公式表示在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（ξ）一定等于曲邊梯形的平均高度。

兩個公式在幾何上都是非常直觀的：一個公式表示兩點弦的斜率，另一個公式表示曲邊梯形的平均高度，通過幾何分析可以幫助學生記憶兩個定理的結論。但兩個定理的關系沒有通過幾何圖形展現出來。

高等數學是一門應用性非常強的學科，在直接分析不可行的前提下，接下來可引導學生將定理代入實際問題來考慮。

假設某物體做直線運動，速度f=f（x）是時間間隔a，b上的連續函數，x時刻物體所在位置為F（x），速度為f（x）且f（x）0，求物體在a到b時間內的平均速度.

首先提問學生：在學習了定積分后，變速直線運動的總路程有幾種表示方式？通過定積分的學習可知，總路程有兩種表示方式，因此，此問題有兩種求解方法。

解法一：由于物體在某一時間段的平均速度=總路程/總時間，并且假設物體在a到b時間內的速度總是非負，F（b）－F（a）可表示物體走過的總路程，此時F（b）－F（a）b－a表示物體在a到b時間內的平均速度。

解法二：由于f（x）表示物體在x時刻的速度，由定積分的定義，物體在a到b時間內走過的總路程可用∫baf（x）dx表示，此時∫baf（x）dxb－a表示物體在a到b時間內的平均速度。

通過將公式代入實際問題發現用微分中值定理和定積分中值定理的公式都可以表示物體在a到b時間內平均速度，即在一定條件下，兩個定理的公式是可以互相推導的。

但變速直線運動問題讓我們看到一個前提：兩個定理結論在f（x）是a，b上的連續函數的前提下才具有等價性，不能忽略此前提直接得出結論，需要我們對兩個定理的條件進行分析。

微分中值定理條件：函數F（x）在閉區間a，b上連續；在開區間（a，b）內可導。

定積分中值定理條件：函數f（x）在閉區間a，b上連續。

由上述實際問題可知，將微分中值定理中的函數F（x）看成定積分中值定理中函數f（x）的原函數時，兩個定理的結論才可能互相推導，且定積分中值定理的條件要強于微分中值定理的條件。

因此得出兩個定理條件之間的關系：定積分中值定理條件可推出微分中值定理條件，但反之不成立。

為了回顧原函數存在定理和積分上限函數的性質，加深對定理條件的掌握，可引導學生對兩定理的條件進行簡單的推導證明。

證：設函數f（x）在閉區間a，b上連續，由原函數存在定理，f（x）在區間a，b上的原函數一定存在，記為F（x），且設在區間a，b上F（x）=∫xaf（t）dt.由原函數的性質，函數F（x）在閉區間a，b上可導，再由一元函數可導性與連續性的關系，函數F（x）在閉區間a，b上連續；因此函數F（x）在閉區間a，b上連續；在開區間（a，b）內可導.故可推出微分中值定理的條件。

在搞清楚兩個定理條件之間的關系后，便可得到兩個定理之間的關系。即加強微分中值定理條件：F′（x）在a，b上連續。此時微分中值定理和定積分中值定理的結論可以互相推導。此時定積分中值定理可以理解成微分中值定理的積分表達形式，若F（x）是f（x）在a，b上的一個原函數，兩個定理的關系如下圖1所示。

微積分中值定理和定積分中值定理作為微積分學的重要定理，以微分和積分的思想研究函數。由于微積分思想在初高中很少接觸，對初學者來說掌握起來有一定難度，若只對兩個定理的關系進行理論推導，難度性較高、理論性太強。因此本課程引導學生建立不同學科的聯系、將定理結論與實際問題相結合，發掘定理的初衷、價值和意義，將思想政治工作貫穿整個教學過程。

3?微積分中值定理所蘊含的思政元素

（1）理論聯系實際的知行觀。由于定理具有高度抽象性，對于初學微積分的學生來說，記憶和使用兩個定理并不困難，但將兩個定理聯系起來，加以理解和區分，真正做到融會貫通卻并非易事。因此，在教學過程中，應采用數形結合的教學思想，將兩個定理所得公式在幾何圖形中表示，化抽象為具體，引導學生理解和掌握兩個定理的幾何含義，從而提高學習效率。在教學環節，要避免學生對理論知識的死記硬背，這是因為當記憶變成一種學習任務，定理本身的價值和意義就會被弱化和忽視，從而影響學生學習的主觀能動性，進而降低學生的學習動力。因此，在教學實踐中，要注重運用現實案例和公式定理相結合，培養學生理論聯系實際的知行觀，采用應用實例——變速直線運動問題，并輔以表達物體平均速度的兩種方式，從而得到在一定假設條件下兩個定理等價的結論。

（2）謙虛嚴謹的治學態度。變速直線運動問題，能夠較好地化抽象為具體，引導學生自行推導得出定理等價的結論。但在教學實踐中發現，這種推導容易忽略兩個定理假設條件不同的前提。因此，通過實際問題研究定理等價的前置條件，可以有目的地培養學生嚴謹治學的求學態度。謙虛嚴謹，作為中華民族的優良品質，不僅對當下大學學習生涯大有裨益，更能在今后的生活中讓人受益終生。高校課堂，作為素質教育的主陣地，就是要通過學生的品格塑造，促進學生德智體美勞全面發展，營造健康和諧的學習氛圍，為黨育人，為國育才。

（3）獨立創新的思考能力。專業發展史是課程思政的重要組成部分。牛頓和萊布尼茨作為微積分學的奠基人，為微積分的發展做出了巨大貢獻。牛頓在解決如何根據物體的速度求解物體的位移這一問題時，在工作總結《流數簡論》中提出了微積分基本定理。而萊布尼茨是在研究巴羅的“微分三角形”時，在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理。縱觀微積分的發展史，我們知道，科技創新和學術發展離不開獨立思考。因此，在素質教育中，培養學生的科學思維和創新思考能力尤為重要。正如習近平總書記在二十大報告中指出，必須堅持創新是第一動力，深入實施科教興國戰略、人才強國戰略、創新驅動發展戰略，開辟發展新領域新賽道，不斷塑造發展新動能新優勢。遇到問題我們不要拿別人的方案生搬硬套，應該善于思考，提出自己的解決方案，只有這樣我們才能在日益復雜的國際競爭環境中掌握核心競爭力，發揮出自己的優勢。

（4）自信自強的文化認同。早在古代中國，積分學思想就已經萌芽。三國時期的數學家劉徽發明了“割圓術”，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”本質上是對極限思想的透徹闡述；南朝數學家祖暅提出“冪勢即同，則積不容異”和“出入互補原理”，比西方提出的“卡列瓦里原理”早1100多年。劉徽和祖暅，他們為中國數學史作出了極大的貢獻，為中國留下了寶貴的數學遺產。傳統文化，一直是課程思政的重要構成，更是二十大報告提出建設“文化自信自強”的重要組成部分。因此，在教學實踐中，要注重通過弘揚優秀傳統文化，通過講述優秀的傳統文化故事，樹立學生的民族自豪感，增強文化自信。

4?結束語

本文在了解高等數學課程思政實施背景的前提下，以微分中值定理與定積分中值定理的關系為例，挖掘課程思政融入專業課程的切入點，將政治認同、文化自信、人格養成等思想政治教育導向與專業課程固有的知識、技能傳授有機融合起來，實現顯性教育與隱性教育的有機結合，使高等數學課程與思想政治理論課同向同行，實現協同育人的目的。通過本課程的學習幫助學生理解掌握兩個定理的關系，培養學生樹立正確的人生觀、思想觀和價值觀，弘揚和創新中國的傳統文化，促進學生的自由全面發展，充分發揮教育教書育人的作用。

參考文獻

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