案例教學(xué)在離散控制系統(tǒng)分析與設(shè)計的應(yīng)用

陳曉英?施春玲

摘要：控制理論基礎(chǔ)課程具有偏理論、概念抽象、數(shù)學(xué)計算復(fù)雜等特點，導(dǎo)致學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生學(xué)習(xí)動力不足，因此在控制理論的學(xué)習(xí)過程中引用教學(xué)案例十分必要。在離散控制系統(tǒng)課堂理論教學(xué)中引入MATLAB建模和仿真等技術(shù)，并與課程內(nèi)容同步推進。實踐表明，在控制理論的學(xué)習(xí)過程中引用教學(xué)案例，并用MATLAB軟件進行仿真和驗證，不僅使學(xué)生對課程的內(nèi)容有了深入的理解，而且能將所學(xué)的控制理論的知識運用到實際問題的分析中。

關(guān)鍵詞：案例教學(xué)；離散控制系統(tǒng)；MATLAB建模

一、前言

隨著通信技術(shù)、數(shù)字技術(shù)和高速計算機的飛速發(fā)展，離散控制系統(tǒng)成為現(xiàn)代控制系統(tǒng)的一種重要形式，隨著離散控制理論與技術(shù)的不斷深化，其應(yīng)用范圍越來越廣[1]。離散控制系統(tǒng)的理論綜合性強，概念抽象，數(shù)學(xué)計算復(fù)雜，是比較難教、難學(xué)的一類控制系統(tǒng)。在目前的教學(xué)過程中，大部分仍然以教師為主導(dǎo)，基本上是授課教師講解課本上的基本概念和基本理論，而學(xué)生只是按部就班地理解教師講解的內(nèi)容，但是這樣的授課方式對學(xué)生的各方面能力，如學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力和思維能力等的培養(yǎng)是遠遠不夠的，這將可能導(dǎo)致學(xué)生雖然掌握了相關(guān)的理論內(nèi)容，但面對新的實際問題時，卻不知道如何解決。如何將生澀的控制理論植入實際的控制系統(tǒng)中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是每個理論課教師應(yīng)該仔細考慮的問題，也是每個理論課教師所面臨的最大問題[2]。

在以往的教學(xué)中，基于對控制理論課堂的觀察、課后與學(xué)生的交流以及學(xué)生反饋的信息，任課教師在離散控制系統(tǒng)的教學(xué)過程中有兩個方面需要改進和完善[3-4]。其一，教學(xué)的內(nèi)容與實際的應(yīng)用實例聯(lián)系不緊密。由于該部分的教學(xué)內(nèi)容理論性強，如何將理論上的知識應(yīng)用到自動控制的實例中，是學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到的問題。因此，有必要將科學(xué)研究與自動控制技術(shù)的實際應(yīng)用實例相結(jié)合，使學(xué)生真正了解采樣控制系統(tǒng)的實用性和重要性。通過應(yīng)用所學(xué)理論知識，對系統(tǒng)的有效控制進行分析、改進和提高，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其二，自動控制原理涉及的理論有很多的邏輯推導(dǎo)，思維的過程也很抽象，難點在于對控制過程的描述要求用抽象的數(shù)學(xué)語言，學(xué)生必須有嚴格的邏輯思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)，才能很好地掌握相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容。然而，對學(xué)生來說，這種思維的形成是艱難而緩慢的，如果有形象化的展示，將有助于學(xué)生邏輯思維的建立。本文擬根據(jù)講授章節(jié)和內(nèi)容，對每一節(jié)的知識點進行分解，對所面臨的不同理論問題和實際問題進行分析，并充分利用MATLAB軟件進行驗證。最后，通過對計算機硬盤讀/寫磁頭位置控制器設(shè)計的全過程的介紹，說明運用MATLAB設(shè)計數(shù)字控制器的方法，學(xué)生通過對整個系統(tǒng)的了解、分析、設(shè)計，不僅掌握了課程內(nèi)容，而且培養(yǎng)了科研習(xí)慣和素養(yǎng)，促進教與學(xué)的良性循環(huán)。

二、案例設(shè)計

本案例研究分三個階段進行，結(jié)合MATLATB實例，介紹線性離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。在教學(xué)中，授課教師先對基本的概念進行講解，采用分析比較法、實際分析法等啟發(fā)式的教學(xué)方法，對學(xué)生進行引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生進行積極思考，在教師完成各小節(jié)的內(nèi)容講授后，學(xué)生通過對各小節(jié)知識內(nèi)容的應(yīng)用來完成相應(yīng)的實例，并利用MATLAB軟件進行驗證，可以使得知識點被學(xué)生簡單直觀地掌握，對于學(xué)生不熟悉或較難理解的內(nèi)容（如離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)），以教師講解為主。

（一）離散控制系統(tǒng)的基本概念和數(shù)學(xué)描述

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過了連續(xù)系統(tǒng)的分析與設(shè)計，連續(xù)系統(tǒng)的一些結(jié)論從本質(zhì)上是適用于離散系統(tǒng)的，所以這部分內(nèi)容主要是讓學(xué)生發(fā)掘離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的差別，連續(xù)系統(tǒng)里的分析方法和結(jié)論在離散系統(tǒng)里的表現(xiàn)方法和形式可能不一樣，但是對系統(tǒng)的基本要求、參數(shù)對系統(tǒng)影響的基本分析過程都是相同的，因此，對于離散系統(tǒng)的分析方法應(yīng)該與連續(xù)系統(tǒng)的分析方法相對應(yīng)，主要是找出兩者的差別。

1.講授環(huán)節(jié)

在連續(xù)系統(tǒng)中，各類信號都是連續(xù)型的時間函數(shù)，例如控制信號、反饋信號和偏差信號，而離散控制系統(tǒng)中的控制信號卻是離散型的時間函數(shù)，系統(tǒng)輸出端的負反饋信號與離散控制信號相連，也采用離散時間函數(shù)進行比較，因此得到的偏差信號也是離散時間函數(shù)[5-6]。離散控制系統(tǒng)主要由采樣器、數(shù)字控制器、保持器、執(zhí)行器、被控對象等構(gòu)成。通過對連續(xù)信號進行采樣，把連續(xù)信號變成脈沖信號，然后需要用保持器把脈沖信號變?yōu)檫B續(xù)信號，這是數(shù)字控制系統(tǒng)的主要內(nèi)容。設(shè)計離散系統(tǒng)必須遵循的準(zhǔn)則是香農(nóng)采樣定理，它給出了不失真地將采樣的離散信號恢復(fù)成連續(xù)信號所必需的理論上的最低采樣頻率。從數(shù)學(xué)上說，保持器解決了兩個采樣點之間的插值問題，是一種時域的外推裝置，最常用的是零階保持器。

對于連續(xù)時間系統(tǒng)，拉普拉斯變換可以將問題從時域變換到頻域，將微分方程的解轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的解，使問題的求解得到簡化。出于同樣的目的，為了避免采樣系統(tǒng)中差分方程求解的困難，通過Z變換將問題從離散的時間域變換到Z域，把原來的利用線性時不變差分方程求解轉(zhuǎn)化為利用代數(shù)方程來求解 。在這個知識點介紹Z變換的定義、變換方法、Z變換的性質(zhì)，以及Z反變換的方法，要求學(xué)生能夠熟練地求一個函數(shù)的Z變換和Z反變換。

2.實例環(huán)節(jié)

通過對學(xué)生講解上面的知識點可以發(fā)現(xiàn)，利用分析的方法求Z變換和Z反變換，這種教學(xué)方法比較理論化，內(nèi)容也比較抽象，不易理解，學(xué)生會感到無從下手。為此，授課教師在教學(xué)中給學(xué)生介紹了MATLAB提供的符號運算工具箱，可以方便地進行Z變換和Z反變換，用MATLAB工具對具體的例子進行仿真和驗證，讓學(xué)生簡單直觀地掌握知識點，而不是陷入數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論分析，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又提高了教師的教學(xué)效果。

3.討論和總結(jié)環(huán)節(jié)

在這一階段的最后，教師讓學(xué)生進行分組討論，總結(jié)離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別，教師隨機抽取每個小組中的一位學(xué)生來回答，最后由教師結(jié)合各個小組的發(fā)言做歸納和補充。采用小組討論和提問的方式，讓學(xué)生參與討論，在講述的過程中也培養(yǎng)了學(xué)生觀察和總結(jié)的能力。

（二）離散控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.講授環(huán)節(jié)

要分析和設(shè)計一個線性離散系統(tǒng)，首先要建立相應(yīng)的系統(tǒng)模型，解決數(shù)學(xué)描述和分析工具的問題。離散控制系統(tǒng)所處理的信息都是離散函數(shù)，輸入與輸出之間的關(guān)系用差分方程來描述，用Z變換來解差分方程，而用脈沖傳遞函數(shù)對系統(tǒng)進行動態(tài)分析。在分析閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時，在閉環(huán)的各個通道以及環(huán)節(jié)之間也要注意是否有采樣開關(guān)，所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)對于有無采樣開關(guān)也是不同的。

2.實例環(huán)節(jié)

為了讓學(xué)生對脈沖傳遞函數(shù)的概念有更為直觀的感受，教師引入MATLAB中建立離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)tf，其調(diào)用格式為sys=tf（num，den，Ts），其中Ts為采樣周期。MATLAB中提供了連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)化的函數(shù)以及離散周期模型不同采樣 周期的轉(zhuǎn)換（即重新采樣）。在授課教師介紹完相關(guān)的函數(shù)的調(diào)用格式后，給出三個例子：①已知連續(xù)線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)模型，分別用Z變換和零階保持器的方法將該系統(tǒng)離散化；②給定定常離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，要求改變采樣周期重新采樣；③給定一個連續(xù)線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖、對象模型函數(shù)和采樣周期，求出系統(tǒng)的脈沖閉環(huán)傳遞函數(shù)。要求學(xué)生按要求分組討論并用MATLAB軟件實現(xiàn)仿真和驗證相關(guān)的理論結(jié)果。經(jīng)過這一環(huán)節(jié)的實際操作，讓學(xué)生從理論到實踐真正理解和掌握線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并為接下來的離散系統(tǒng)的分析做鋪墊。

3.討論和總結(jié)環(huán)節(jié)

最后，授課教師組織學(xué)生對于給定的幾個不同的采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖展開討論，分析環(huán)節(jié)中有無采樣開關(guān)，總的脈沖傳遞函數(shù)有何不同。授課教師請幾位學(xué)生對討論結(jié)果進行總結(jié)，鼓勵學(xué)生踴躍發(fā)表自己的觀點，最后教師對學(xué)生不同的觀點進行總結(jié)與評價。經(jīng)過不同學(xué)生的總結(jié)和教師的總結(jié)，使學(xué)生的思維得到升華，提高學(xué)生原有的認知。

（三）離散控制系統(tǒng)分析

1.講授環(huán)節(jié)

與在線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的情況一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差也是線性離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。首先，向?qū)W生提問：“在線性連續(xù)系統(tǒng)中，如何根據(jù)特征方程的根在Ｓ平面的位置判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性？”教師可以根據(jù)學(xué)生的回答引出接下來授課的重點內(nèi)容，即如何在Ｚ平面中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先需要研究Ｓ平面和Ｚ平面的映射關(guān)系，這是為了對穩(wěn)定性的分析把在Ｓ平面上連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)果移植到Z平面上，同時給出離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。對于采樣周期和開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響，先進行理論上的分析，而后通過具體的例子和MATLAB仿真來進一步驗證。

穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一個重要指標(biāo)，由于離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和連續(xù)系統(tǒng)一樣，都和輸入信號的類型有關(guān)，也和系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，因此，給出計算離散系統(tǒng)在采樣瞬時穩(wěn)態(tài)誤差的方法之前，先讓學(xué)生回顧一下連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的相關(guān)知識點，而后介紹利用Z變換的終值定理方法求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。

2.實例環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)主要介紹兩個實例，其一，給定一個離散線性系統(tǒng)，已知采樣周期和對象模型和零階保持器，求開環(huán)增益的穩(wěn)定范圍。

例2：線性定常離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示，已知r（t）=1（t），試建立Simulink仿真模型，并求采樣周期Ts=0.1s和Ts=1s時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

要求學(xué)生用MATLAB中的Simulink模塊來實現(xiàn)仿真，通過輸入不同的采樣周期得到不同的輸出響應(yīng)曲線（圖4）。學(xué)生可以很直觀地看出，采樣周期T=0.1s時系統(tǒng)的動態(tài)性能優(yōu)于采樣周期T=1s，說明在同樣的保持器下，隨著采樣周期的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性能變差。這種結(jié)合實例的教學(xué)與傳統(tǒng)單純的講授教學(xué)相比更真實、具體和可感，更受學(xué)生青睞。

3.討論和總結(jié)環(huán)節(jié)

在最后的總結(jié)環(huán)節(jié)，教師先給學(xué)生一個完整的研究案例，目的是對計算機硬盤讀/寫磁頭位置控制器（圖5）設(shè)計全過程進行介紹，說明運用MATLAB設(shè)計數(shù)字控制器的方法，讓學(xué)生通過對整個系統(tǒng)的了解、分析、控制，不僅對本研究內(nèi)容做出總結(jié)，而且實現(xiàn)了對課程內(nèi)容的融會貫通。

根據(jù)牛頓定律，讀/寫磁頭可用微分方程表示為

三、教學(xué)效果分析

本案例采用了講授法、實例分析法、分組討論法和啟發(fā)式教學(xué)法等方法，在課堂理論教學(xué)中引入MATLAB建模和仿真，與課堂內(nèi)容同步推進，將一個完整的實際應(yīng)用題與各部分的理論知識相結(jié)合，學(xué)生對案例的階段性設(shè)計和分析進行驗證，層層遞進，促進學(xué)生對理論知識的理解和應(yīng)用，從而使理論教學(xué)和實驗教學(xué)相互結(jié)合、相互促進。

在“自動控制原理”這門課中引入案例教學(xué)法，教學(xué)效果得到了明顯的改善，從考試成績的分布來看，平均成績有了明顯提高，不及格率由15.67%下降到了8.72%，同時，優(yōu)秀率也明顯提高。學(xué)生的理論基礎(chǔ)扎實了，學(xué)習(xí)的動力也增強了，積極參加各項創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項目，獲獎成果顯著增加。

四、結(jié)語

線性離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計的課程內(nèi)容包括許多基本理論、抽象概念和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，給學(xué)習(xí)帶來一定的難度，而借助教學(xué)案例，通過對教學(xué)內(nèi)容的凝練，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并改善課程教學(xué)的效果。本案例的研究目的是通過在課堂教學(xué)中引入實際的數(shù)學(xué)模型，以應(yīng)用問題作為驅(qū)動力，并使用MATLAB建模和仿真等技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生積極反思，內(nèi)化課本知識，運用所學(xué)的控制理論知識分析和解決實際問題。在本研究的教學(xué)中采用不同的教學(xué)方式來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)自信，做到舉一反三、學(xué)以致用，有效地提高了教學(xué)效果。

參考文獻

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[6]胡壽松.自動控制原理[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

作者單位：陳曉英，福建教育學(xué)院 ；施春玲，福州大學(xué)至誠學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)與統(tǒng)計系