心中有“數(shù)”：“童化”視域下學(xué)材資源重組建議

單廣紅

摘要：數(shù)學(xué)知識有著嚴密的結(jié)構(gòu)體系，數(shù)學(xué)教師必須要做到心中有“數(shù)”，即對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)能夠正確地理解和把握，必須具備扎實的專業(yè)素養(yǎng)。基于“童化”視域的結(jié)構(gòu)化課堂，教師要靈活地對教材資源進行重組，需要前后溝通，領(lǐng)悟教材變化意向；需要靈活變通，梳理內(nèi)容重組學(xué)材；需要對比融通，構(gòu)建聯(lián)系編織網(wǎng)絡(luò)。

關(guān)鍵詞：童化；小學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)材資源重組

數(shù)學(xué)知識有著嚴密的結(jié)構(gòu)體系，數(shù)學(xué)教師必須要做到心中有“數(shù)”，即對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)能夠正確地理解和把握，必須具備扎實的專業(yè)素養(yǎng)。北京師范大學(xué)郭華教授認為，課堂教學(xué)其實是實現(xiàn)“兩次倒轉(zhuǎn)”的過程。筆者認為，第一次倒轉(zhuǎn)是“教師理解教材內(nèi)容”，第二次倒轉(zhuǎn)是“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究過程”。基于“童化”視域的結(jié)構(gòu)化課堂，教師要靈活地對教材資源進行重組，需要前后溝通，領(lǐng)悟教材變化意向；需要靈活變通，梳理內(nèi)容重組學(xué)材；需要對比融通，構(gòu)建聯(lián)系編織網(wǎng)絡(luò)。

一、前后溝通，領(lǐng)悟教材變化意向

教材研讀是教師的一項基本功，即實現(xiàn)課堂教學(xué)的第一次倒轉(zhuǎn)——教師理解教材內(nèi)容。在實際教學(xué)中，有很多教師對教材編寫意圖的解讀能力比較欠缺，而教材承載著編寫專家組賦予的特殊使命，所以，領(lǐng)悟教材中提供的信息內(nèi)容才能最大化地發(fā)揮教材的學(xué)科育人價值。

（一）領(lǐng)會術(shù)語更換的思想根源

對數(shù)學(xué)語言的精準解讀是數(shù)學(xué)教師的一項重要基本功，往往教師對教學(xué)內(nèi)容理解到什么高度，基本上就決定了學(xué)生所能達到的最高水平。如“解決問題策略—替換”內(nèi)容，教材修訂后變更為“解決問題的策略—假設(shè)”。此單元編排了如下的兩個例題。

例1：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的[13]，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

例2：在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是60個。每個大盒比每個小盒多裝8個。每個大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？

編者修訂的意圖是什么呢？筆者以為，應(yīng)該不是簡單的變換名詞。通過用心研讀與領(lǐng)悟我們不難發(fā)現(xiàn)，“假設(shè)”比“替換”更加準確和有創(chuàng)造性，無論是“倍比關(guān)系”，還是“相差關(guān)系”，替換的目的是統(tǒng)一標準，即“假設(shè)標準一樣”。這樣，教材中的例題就由“二元問題”轉(zhuǎn)化成了“一元問題”。如此來看，“假設(shè)”是一種解題策略，“替換”是解題的具體方法。教學(xué)中，很多教師“穿著新鞋走著老路”，強調(diào)“替換”，關(guān)注解題，卻忽略了“假設(shè)”數(shù)學(xué)思想的滲透。

（二）感悟內(nèi)容刪減的結(jié)構(gòu)統(tǒng)整

在日常教學(xué)中，很多中學(xué)教師不了解小學(xué)已學(xué)了什么，學(xué)到什么程度，很多小學(xué)教師更不會過問中學(xué)將要學(xué)什么，是基于什么基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)的，這樣就形成了“各自為營”的現(xiàn)象。最后，就形成了小學(xué)教的內(nèi)容和方法，中學(xué)教師又重新教學(xué)，或者用大量時間去返工糾正，缺少“結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出，用π表示計算的結(jié)果，讓小學(xué)生從繁雜的3.14代替π計算中解放出來。這樣，就讓中學(xué)教師不再為糾正圓周率應(yīng)用字母“π”表示而惱火。新課標中有一條非常重要的內(nèi)容調(diào)整：把方程從第三學(xué)段六年級調(diào)整到第四學(xué)段七年級，這無疑是對小學(xué)教師的又一利好。自從上一輪課改后，解方程的思路由原來的“數(shù)量關(guān)系式”為主思路，變成“等式的基本性質(zhì)”為主思路，很多教師以為這下終于可以和中學(xué)接軌，花了很大的力氣引導(dǎo)學(xué)生用“等式的基本性質(zhì)”解方程。但是，小學(xué)生由于受到知識結(jié)構(gòu)的局限，在解決減數(shù)或除數(shù)作未知數(shù)時就遇到了障礙。據(jù)了解，中學(xué)也并不是用“等式的基本性質(zhì)”解方程，而是用移項的方法。把中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化安排，既減少了無效重復(fù)的勞動，也為中小銜接工作作出了重要貢獻。

（三）關(guān)注內(nèi)容增加的現(xiàn)實價值

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的新一輪課改，除了更改或刪去原教材中不合時宜的內(nèi)容，還新增了一項核心素養(yǎng)內(nèi)容——量感。新課標制定專家有一雙“慧眼”，已發(fā)現(xiàn)“量感”問題是生活中常見的數(shù)學(xué)問題，但教師對此內(nèi)容教學(xué)比較弱化，導(dǎo)致學(xué)生“量感”的嚴重缺失。這是教師今后需要研究的一個重要課題，需要教師團隊形成合力，對基本的“量與計量”問題，如“厘米”“分米”“米”等長度單位，“平方厘米”“平方分米”“平方米”等面積單位，以及“千克”“克”的質(zhì)量單位，凡能夠親歷體驗的內(nèi)容，一定要創(chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生經(jīng)歷，積累準確真實的“表象”經(jīng)驗。而如“千米”“噸”“公頃”等這樣大的計量單位，教師就要引導(dǎo)學(xué)生走進生活，找到具體的例子，再進行類比、推理，形成自己的間接經(jīng)驗。

二、靈活變通，梳理內(nèi)容重組學(xué)材

“變通”一詞出自《周易·系辭》 “變通莫大乎四時”。所謂變通，就是依據(jù)不同情況，作非原則性的變動。實現(xiàn)課堂教學(xué)的第二次倒轉(zhuǎn)——學(xué)生經(jīng)歷探究過程，教師要遵循學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)、思維水平以及數(shù)學(xué)本身的邏輯結(jié)構(gòu)，根據(jù)需要，靈活地對學(xué)材進行變通重組。

（一）圖例呈現(xiàn)形式的微調(diào)

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要載體，但教材中個別圖例相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)，是編者理解和想要表達的思維結(jié)構(gòu)，而教師教學(xué)時需要分析學(xué)情，結(jié)合自己的教學(xué)思考，進行適當?shù)馁Y源重組。

在教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的認識”一課時，教材主題例題選用的是大寫的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)——一組農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量的主題圖（如圖1）。

編寫思路是從文字符號到數(shù)字符號。筆者認為，認識大數(shù)，學(xué)生通過“讀”文字數(shù)字是讀不出什么數(shù)感的，幼兒園的孩子只要識字也可以讀出文字來，但只是讀文字，對數(shù)的大小仍無法識別，而且農(nóng)業(yè)生產(chǎn)離城區(qū)的學(xué)生生活經(jīng)驗又比較遠。所以，筆者對學(xué)材進行了重組。重組后，把圖例變成了2021年全國第七次人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù)（如下頁圖2），收集了學(xué)生比較熟悉的區(qū)、市、省人口的近似數(shù)，讓學(xué)生從地域的大小和數(shù)位的多少來初步感知人口數(shù)的多少。從中學(xué)生還能很快調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，對一長串阿拉伯數(shù)字組成的多位數(shù)產(chǎn)生強烈的認知沖突和學(xué)習(xí)需求，想去嘗試、去挑戰(zhàn)，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在讀數(shù)、認數(shù)中，了解掌握人口數(shù)據(jù)，為進行當?shù)氐纳钜?guī)劃提供了第一手參考數(shù)據(jù)，體會到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義。

（二）內(nèi)容先后順序的調(diào)換

學(xué)習(xí)內(nèi)容的先后順序并不是一成不變的，教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，理順關(guān)系，對教材內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化重組。

例如，“三角形”的教材單元內(nèi)容安排順序依次是：三角形的初步認識、三邊關(guān)系、內(nèi)角和、分類。教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”驗證猜想是否是“180°”時，為了有說服力，應(yīng)涉及所有類型的三角形，而不應(yīng)是特殊的少數(shù)幾個。因此在教學(xué)時，筆者調(diào)整了教學(xué)順序，將“三角形的分類”調(diào)到“三角形內(nèi)角和”的前一課時。后面在查閱各種版本的教材時發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)教材教學(xué)內(nèi)容安排與筆者的觀點不謀而合。

（三）課時板塊結(jié)構(gòu)的重組

課時內(nèi)容也需要教師認真、精準地分析，板塊要進行結(jié)構(gòu)化設(shè)計，要把關(guān)聯(lián)性大的內(nèi)容劃分到一個課時，引導(dǎo)學(xué)生類比遷移，這樣可以達到事半功倍的效果。

例如，在劃分“運算律”單元主題內(nèi)容課時的時候，個別教師把“加法運算律”劃分在一個板塊，即加法交換律、加法結(jié)合律；把“乘法運算律”劃分在一個板塊，即乘法交換律、乘法結(jié)合律；把乘加混合的單獨劃分為一個板塊，即乘法分配律。這樣劃分看上去很好，退一步思考，卻是不太科學(xué)的。“運算律”屬于“規(guī)律探究”課型，在一節(jié)課中，應(yīng)把規(guī)律相似的放在一節(jié)課，通過“教結(jié)構(gòu)”“用結(jié)構(gòu)”，通過類比推理，進行“類結(jié)構(gòu)”學(xué)習(xí)。所以筆者認為，這樣設(shè)計學(xué)習(xí)板塊更合理一些：把“加法交換律”和“乘法交換律”劃分在一板塊，引導(dǎo)學(xué)生由“a+b=b+a”類推到“a×b=b×a”，并且通過舉例使學(xué)生發(fā)現(xiàn)減法和除法不存在交換律。

同樣的道理，教師可把“加法結(jié)合律”和“乘法結(jié)合律”劃分在一個板塊，由“（a+b）+c=a+（b+c）”類推到“（a×b）×c=a×（b×c）”；而“乘法分配律”含有兩級不同運算，因此可仍然單獨設(shè)立一個板塊。具體單元重組如表1。

三、對比融通，構(gòu)建聯(lián)系編織網(wǎng)絡(luò)

醫(yī)學(xué)上有句話叫“痛則不通，通則不痛”。學(xué)習(xí)中的道理也一樣，教師的主要教學(xué)任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生打通困惑點、領(lǐng)悟關(guān)鍵點、捕捉鏈接點。

（一）對比分析，打通困惑點

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，常會受到知識“負遷移”的干擾，會產(chǎn)生一些困惑的、糾結(jié)不清的問題。這時，教師要在第一時間去指點迷津，幫助學(xué)生掃清學(xué)習(xí)障礙，這樣利于學(xué)生積累更豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

例如，在學(xué)習(xí)了“運算律”后，學(xué)生基本能理解五大運算律的意義，并能熟練、正確地選擇相應(yīng)的方法進行簡便計算。學(xué)生從“加法交換律”聯(lián)想到“乘法交換律”，又從“加法結(jié)合律”聯(lián)想到“乘法結(jié)合律”，構(gòu)建了加法運算律的知識結(jié)構(gòu)及方法結(jié)構(gòu)，形成了正遷移。由此，學(xué)生又從“乘法分配律”想到：是否會存在“除法分配律”呢？在后續(xù)的計算中，學(xué)生容易“跟著感覺走”，而不小心“入坑”。發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象后，教師自己先要搞明白——“為什么除法用分配律有時靈，有時不靈呢？”再耐心引導(dǎo)學(xué)生理解道理。

例如，“（360+42）÷6”就可以用所謂的“除法分配律”來完成計算：（360+42）÷6=360÷6+42÷6=60+7=67，但“100÷（20+5）” 就不能寫成 “100÷20+100÷5”。這是為什么呢？原來，類似“（a+b）÷c = a÷c+b÷c”，等號左右兩邊的分配標準沒有變，可以變式為乘法來理解“（a+b）÷c =（a+b）×[1c]=a×[1c]+b×[1c]”；而反過來“a÷（b+c ）≠a÷b+a÷c”，因為前后的分配標準被改變了。這樣，學(xué)生理解了數(shù)學(xué)道理，就會避開“負遷移”的干擾。

（二）異中求同，領(lǐng)悟關(guān)鍵點

數(shù)學(xué)問題看似千變?nèi)f化，但其間好多道理是相通的。教師要引導(dǎo)學(xué)生去歸納、發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵點，進行“類結(jié)構(gòu)”學(xué)習(xí)。

例如，“行程問題”需要把握三要素：出發(fā)點、速度和方向。如圖3所示，教師可先從學(xué)生熟悉的兩地“相向”而行的典型問題，然后再類推到同時、同地“相背”而行問題和只是方向不同，但都是求路程和問題；從開放路線到封閉路線，把環(huán)形跑道沿出發(fā)點或相遇點剪開，化曲為直，正好對應(yīng)著直線的“相向而行”或“相背而行”；從“一次相遇”一個全程，到“二次相遇”行三個全程。這樣異中求同，循序漸進，借助線段圖或動態(tài)演示幫助學(xué)生理解領(lǐng)悟。

（三）同中求異，捕捉鏈接點

有些數(shù)學(xué)問題看似相同，但是其中一些細微的變化學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)，這時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生斟詞酌句，同中求異，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

例如，“植樹問題”可分為三種情況：兩頭都不植、兩頭都植、一頭植一頭不植。教學(xué)時，教師要整體引入，讓學(xué)生既見“樹木”，又見“森林”。有位教師這樣設(shè)計了兩個活動。

活動一：五（1）班每隔5米植一棵，植了20米，從頭開始栽。五（1）班植了多少棵樹？

活動二：五（2）班接著五（1）班繼續(xù)每隔5米栽一棵樹，植了20米。五（3）班接著五（2）班繼續(xù)每隔5米植一棵樹，植了20米，盡頭安裝路燈。五（2）班和五（3）班分別植了幾棵樹呢？

同樣是20米距離，通過畫圖學(xué)生發(fā)現(xiàn)（如圖4），植的棵數(shù)卻不一樣。但學(xué)生三年級已有了“間隔排列”的知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，通過“一一對應(yīng)”他們不難發(fā)現(xiàn)：五（1）班屬于“兩頭都植”的情況，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；五（2）班屬于“ 一頭植一頭不植”的情況，棵數(shù)=間隔數(shù)；五（3）班屬于“兩頭都不植”的情況，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

總之，教師不僅要對數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系了然于心，還要靈活地結(jié)合學(xué)情和教材編寫情況進行變通，因材施教，因?qū)W制宜，有效地提升學(xué)生的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維，使他們獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

參考文獻：

［1］丁慶彬，鄭莎.基于單元設(shè)計，重組學(xué)材資源——以《銳角三角函數(shù)》教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（7）.

［2］謝立光. 深度閱讀教材，讓教材變“學(xué)材”［J］. 江西教育，2020（26）.

（責(zé)任編輯：楊強）