常微分方程課堂教學改革的探索與實踐

李姝敏　郭鵬云　徐國明

摘 要：常微分方程課程是數學與應用數學專業的一門基礎專業課，在師范生核心能力培養中具有重要的作用。基于“四個回歸”重要思想，“立德樹人”的人才培養目標，“以學生為中心”的教學理念及“兩性一度”金課的建設標準以及傳統教學中存在的主要問題，本文從課程的教學模式、教學方法和手段、教學內容、考評方式、課程思政等方面對常微分方程課堂教學進行探索與實踐。創造性的提出“五步三導”的線上線下混合教學模式，重視課程思想方法的來源與實質，建立多層次、動態、開放的評價體系，挖掘思政元素，建設網上課程資源。

關鍵詞：常微分方程；“五步三導”線上線下混合教學模式；立德樹人

中圖分類號：G642.0? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2023）03-0088-05

1 引言

常微分方程是師范專業認證下高等學校數學專業核心課程，也是高校中其他理工科高等數學必修內容之一。它以物理、化學、生物等為背景，以數學分析、高等代數為基礎的一門課，是進一步學習數學建模、計算方法、孤立子、混沌等延伸課程的基礎，是數學理論聯系實際的橋梁之一。廣泛應用于物理、醫療、交通、航天航空等領域。2016年，習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上講話，作為高校教師，不僅僅要傳授知識，還要挖掘課程思政元素，要立德樹人。2017年10月教育部開始進行師范類專業認證[1]和提出“以學生為中心”的理念。2018年6月教育部在新時代全國高等學校本科教育工作會議提出“四個回歸”[2]重要思想。2018年11月，教育部高等教育司吳巖司長在第十一屆“中國大學教學論壇”上，明確提出“兩性一度”的金課標準。而常微分方程作為數學類師范專業核心課程之一，要聚焦知識、素養和能力的培養。由此，項目團隊開始對常微分方程的教學內容、教學模式、教學手段、考評方式開展探索與實踐。

2 常微分方程課堂教學中存在的問題

2.1 課程內容重理論，輕應用，缺乏高階性

傳統課堂局限于講方程的特點和解法，即知識的傳授。如最簡單的變量分離方程dx/dt=-kx，每個同學都會求解，而實際問題“碳-14衰變速度與它目前含量成正比”，學生幾乎不會列出方程，那么該方程的背景“碳-14定年法”及如何利用方程的解來推斷古代文物的歷史年代，就是渴望不可求了。可見，學生應用所學知識解決實際問題的能力不足，即課程內容缺乏高階性。

2.2 教學模式與信息化技術脫離，缺乏創新性

在傳統教學模式中，“以教師為中心”，“黑板+粉筆”，沒有信息化技術相融合，不能滿足新時代大學生對知識的需求。教學內容由一般到特殊，一些知識點學生很難理解和掌握，并缺乏前沿性和時代性。即教學模式和教學內容缺乏創新性。

2.3 考評方式單一，缺乏挑戰度

考評方式有些單一，考評點只是知識的考核，而應用能力、實踐能力、開放性的題目幾乎沒有，同學之間沒有明顯的競爭；另外，學生缺乏課程反思和團隊合作意識。即學生的考核缺乏挑戰度。

2.4 科學素養，課程思政融入不夠，缺乏育人元素

傳統教學中，以傳授知識為主，淡化課程思想和文化的引領。學生對所學課程，不明白為什么學，學對今后有什么用處，課程思政元素不知如何挖掘與融入，即課程缺乏“育人元素”。

3 常微分方程課堂教學課程改革的思路和方法

3.1 基于學習通平臺，提出了“五步三導”的線上線下混合教學模式

為了建立微分方程與生活實際緊密的鏈接，我們對于傳統的微分方程教學設計做了適當調整，創新性的提出“五步三導”的教學設計。即課程以引模型、析模型、解問題、評思維、善運用這五步來構建，以數學建模思維運用、解決實際問題、促畢業促就業為導向，打造以學生為中心、從生活中來到生活中去的良性閉循環的常微分方程課堂。

同時，依托學習通平臺，“五步三導”的教學設計，實現線上線下混合式教學模式（圖1）。“五步三導”的線上線下混合教學模式的實施，實現了理論與實踐的有機融合，使學生在學習知識的同時也學會了解決實際問題的思維與方法，實現了課程的高階性和教學內容的創新性。

3.2 重視課程的思想方法，優化課程內容

依據“五步三導”的教學設計，對教學內容進行知識點拆分與優化，采用層次化教學，由具體到抽象，由特殊到一般。

第二、四、五章方程（組）的引入、認知、解法、鞏固、延伸是“五步三導”的教學設計，是閉循環的教學課堂。重視常微分方程理論與實踐的融合，讓學生不僅會解方程，還要會解決簡單的實際問題。下面以“一階隱式微分方程”為例。

例：1696年，約翰伯努利向整個歐洲發起了挑戰，提出一個數學問題：在垂直平面內有任意兩點，一個質點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？這個問題就是著名的“最速降線問題”（圖2），同時代牛頓、雅各布伯努利、萊布尼茨、洛必達等都給出了正確的結果，伽利略認為是一段圓弧后來被證明是錯誤的，到底是怎樣的曲線呢？

引模型：課前預習。學習通發布“預習清單+視頻+章節測試”，學生對本次課內容有初步的了解。對數學問題的模型知識可以查閱資料，提出預習中問題，讓學生帶著問題進課堂。

析模型：建立模型。觀看一個網上“最速降線問題的實驗”，學生可以直觀驗證預習的結論。同時，通過分析數學模型，引出新的知識“一階隱式微分方程”。

解問題：以搶答的形式，學生列出方程的類型，求解的思想方法，即求解方法（圖3），同時提出預習中遇到的問題，強調方法，并以實例進行說明，學生課上進行隨堂練習，最后利用所學知識解決最速降線問題（圖4）。

評思維：總結本節課的重點內容，同時融入課程思政。2018未來新經濟高峰論壇中，寶沃汽車集團楊嵩，利用“一個數學公式代表了寶沃模式”，即利用“最速降線問題”的曲線展示寶沃集團探索中國力量崛起的模式（圖5）。該問題給我們的啟示是，要好好規劃化自己的人生，路徑長的用時未必長。同時，要有愛國精神，文化自信，努力學習為我國科技領先全球未來盡微薄之力。

善運用：觀看“2018年全國高等學校數學微課”視頻片段，學生可以深入理解最速降線問題在實際生活中的應用，體會數學之美，數學之魅力。并且提出新的問題（圖6），第二章都是利用初等積分法求微分方程的解析解，那是不是所有微分方程都可以利用初等積分法求解呢？如果不能，又該如何判定和求解呢？引出下節課內容。

第三章是理論性最強最難的一章，拆分成四個知識點配思維導圖，思路清晰，內容環環相扣，層層遞進，學生的學和教師的教變得容易多了。如，解的存在唯一性定理的命題3證明比較難，做思維導圖（圖7），學生就可以很清晰知道每一步的目的和采用的方法。

第四章中高階微分方程的常數變易法，采用特殊到一般的方法。將一階推廣到二階后鞏固練習，引導學生推廣到三階，直至到n階，并利用代數理論將其公式化，層層遞進。

在教學中注重“數學建模的思想”“變量替換的思想”和“常數變易的思想”的引領，讓學生了解思想的來源、抓住思想的本質，從而理解和應用其他思想方法。通過該課程的教學，進一步培養了學生的學科思想，從而實現該課程的理論創新和實踐創新。

3.3 建立多層次、動態、開放的考評方式

基于“以學生為中心”的理念，依托學習通平臺，考評方式（圖8）實現對學生的課前、課中和課后進行全方位的監督和引導。

課前考核：學習通上，發布預習清單，設置預習任務點，引導學生預習視頻，完成章節測試，并完成問題清單，提出預習中的問題。根據平臺數據及時了解學生預習的進度和知識點的理解程度。讓學生和教師帶著目標進課堂。

課中考核：展示上節課或往屆作業，發現問題、討論更正問題。強調關鍵點，如第二章是“兩要一不要”，即要“變量還原”，要“畫龍點睛”，不要“畫蛇添足”；培養學生的明辨性思維，加入了育人元素。此外學習通進行隨堂練習，教師隨堂點評問題，有問題隨時改正，同時鼓勵又快有準確的同學，也鼓勵進步的同學，讓學生要有公正的意識。

課后考核：作業+小組討論+課程反思與實踐。作業，上傳學習通，做得好的評出部分優秀作業，共性問題的，在課上學生共同糾錯（圖9）。課后小組討論基于重點知識點，發布一些難度大的題，學生在騰訊會議中進行講解（圖10）、討論，將文檔和視頻上傳學習通“PBL分組任務”中，實行組內、組間和教師評價；課程反思實踐（圖11）要求以思想方法為主線，對常微分方程的課程內容進行宏觀和微觀的總結與歸納，并在期末前完成。而這兩項對于學生具有一定的挑戰度。

依托學習通平臺，線上線下多層次、動態、開放的考評方式，有點有面、強化了知識內容，培養了學生的表達能力、運用知識解決實際問題的能力及團隊合作意識，提高了學生的師范技能和學習的自信心，為學生將來從事教學及相關管理工作打下扎實的基礎。

3.4 如鹽入味、點滴融入思政元素

與傳統教學模式相比，“五步三導”的線上線下混合教學模式更易于課程思政與教學內容的有機融合。我們主要從“講述科學家的勵志故事”和“典型案例”兩個方面融入課程思政。

常數變易法，是法國數學家拉格朗日歷經11堅持不懈探索的成果，激勵學生要有堅持不懈、不急于求成、勇于探索的精神。學習歐拉方程和歐拉公式時，介紹大數學家歐拉[3]的生平，他是在黑暗中給人類帶來光明的人，他提出的“宇宙第一公式”，讓學生了解其中的內涵，懂得健康的美好，生活的美好，努力前行！

學習變量分離方程，引入典型案例“他是嫌疑犯嗎”，引導學生學會科學處理問題的方法，凡事要有據；學習伯努利方程時，利用典型的邏輯斯蒂方程建模，求解，畫圖擬合“江蘇揚州”新冠肺炎確診病例的增長趨勢散點圖，讓學生明白發現疫情是可防可控的，作為大學生我們要遵守學校要求，封校期間非必要不外出，戴口罩，不信謠不傳謠；致敬我們的英雄，向他們學習，做一名有責任、有擔當的愛國大學生。學習一階隱式微分方程時，引入“最速降線問題”[4]。學生通過建模，認識“一階隱式微分方程”的類型及解法，并且利用微分方程的解解釋最速降線問題，介紹它與旋輪線的關系，在實際生活中的應用，讓學生感受數學之美，數學之魅力。

這樣將育人元素點滴融入，穿針引線、潛移默化之中影響到學生的身心。鼓勵學生成為有理想信念、有愛國情懷、有扎實學識、有仁愛之心的好老師，且做事情要有嚴謹的態度和科學處理問題的方法，逐步成為全面發展、持續發展的社會棟梁。

3.5 建設網上課程資源

基于“五步三導”教學設計，分解知識點，制作PPT課件，由團隊教師錄制知識點視頻48個，配相應章節測驗、作業、單元測試[5]，于2021年8月在學銀在線實現在線開放（表1）。結合網上資源，本校學生初步實現線上線下混合式教學，實現師生實時互動、互評。

4 常微分方程課堂教學改革的效果

4.1 教書育人于一體

立足建模思想的常微分方程課程教學，集案例法和任務驅動法于一體，提高了學生的學習興趣，啟發了學生利用所學知識解決實際問題的思維，培養了學生靈活運用知識的能力[6]。“五步三導”的線上線下混合教學法的應用，讓數學問題從實踐中來，然后到實踐中去。循環往復，生生不息。而且容易將課程思政融入課堂，達到教書育人的目的。這對于培養學生科學理智處理問題形成正確的世界觀、人生觀、價值觀是非常有效的。

4.2 課程目標達成度明顯提高

期末試卷中，2020級應數1班（表3）比2017級應數1班（表2）常微分方程試題難度增大、題量增大、覆蓋面更廣，但是課程的達成度卻有所提高，課程目標3，理論的應用尤為明顯，這與課程設計和教學方法是分不開的。

4.3 教學質量評價

近幾年，任課教師的教學質量評價也在穩步上升。2021年秋季，2020應數1班首次基于錄制視頻實現線上線下混合式教學，考評方式加入“課程反思與實踐”，學生對課程給出高度評價，教學質量評價為98.02分，也對課程的線上資源給出肯定的評價。

5 結語

在已經到來的“師范專業認證”的背景下，“以學生為中心”的理念已經得到充分的貫徹，常微分方程課程教學改革已經從教學理念、教學內容、教學手段、教學評價等方面做了有益的探索和實踐，很好地詮釋了“以學生為中心”的學生態度、情感、科學素養的全面發展理念，為適應新時代的應用創新型人才培養目標提供了強大的動力。

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參考文獻：

〔1〕李晨松.基于師范專業認證的常微分方程教學模式改革探究[J].內蒙古民族大學學報，2021，36（02）：171-174.

〔2〕侯利元，和平.“四個回歸”背景下常微分方程的教學改革[J].高師理科學刊，2019，39（08）：79-82.

〔3〕陳光霞，李鳳萍.課程思政理念在《常微分方程》教學改革中的應用[J].高等數學研究，2022，25（01）：101-104.

〔4〕王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

〔5〕周義倉，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應用—方法、理論、建模、計算機[M].北京：科學出版社，2003.

〔6〕莊萬.常微分方程習題解[M].濟南：山東科學技術出版社，2003.

收稿日期：2022-11-27

基金項目：內蒙古自治區教育科學研究“十三五”規劃課題（NGJGH2019186）；包頭師范學院校級教師發展研究項目（BSJF22Y001）；包頭師范學院本科教學改革研究項目（BSJG20Y009，BSJG22Y12）