初中數學幾何證明題解題思維培養

施雪輝

【摘? 要】本文研究初中數學課堂中，教師應如何培養學生的幾何證明題解題思維。分析初中數學幾何教學中存在的問題，如教學方式老套、教學過于重視成績等;列舉幾何證明題解題思維培養策略，如傳授多種證明方法，培養學生的解題能力、以“教”作為切入點，提升學生的解題效率、以“練”作為切入點，提升幾何教學質量、使用輔助線，突破幾何教學重難點。期望本文能夠為廣大數學教學工作者帶來一定的參考作用。

【關鍵詞】初中數學;幾何證明;解題思維;教學

在課程改革深入推進、素質教育全面開展的時代背景下，改革初中數學教學、提升學生的學習效率與學習質量，刻不容緩、勢在必行。在初中數學課堂中，幾何證明題是學生常會遇到的一類題目，這類題目的靈活性較強，部分題目的證明難度較高，因此很多學生往往無法借助已有的知識儲備，高效地完成解題，這無疑會影響學生核心素養的持續成長。因此，在數學教學中，教師應重視培養學生解答幾何證明題的思維，多為學生傳授一些科學合理且高效的解題思路，使學生的解題思維真正契合核心素養的要求，促進學生的成長發展。

一、初中階段學生的思維特點分析

目前看來，中學生大腦皮層發育速度快，記憶能力強，對課堂中學過的知識內容，往往能夠產生長時間的記憶。因此在課堂教學過程中，教師可使用一系列科學合理的教學方式，對學生的思維給予一定的拓展，開發學生的學習潛能，使學生事半功倍地完成學習。此外，初中生思維的敏銳性，除記憶力強之外，還體現在他們思維角度的新穎性上，也就是說這一階段內，他們的思維尚未固化，因此具有高度的靈活性。故而，在課堂教學過程中，教師應多發揮學生在課堂中的主體性，一方面提升學生學習幾何證明的效率，另一方面為學生創新能力的提升打下良好的基礎。

二、初中數學幾何教學中存在的問題

課程改革實施以來，初中數學的教學思路、教學模式有了明顯的變化，但目前看來，仍然有很多教師沿用著傳統的教學方式，對位于時代前沿的教學理念、教學方法缺乏了解，習慣使用一系列應試教育下的方式、方法，為學生傳授枯燥乏味的知識，造成課堂學習氛圍較為沉悶，學生的學習生活十分單調，久而久之甚至使學生喪失學習數學知識的興趣。舉例而言，在初中數學教材中，“全等三角形”占據了較大的篇幅，屬于重難點知識，對學生數學素養的成長，以及后續的數學學習有著極為突出的影響力，但目前看來，很多教師在教到這部分知識內容時，常會使用一系列“照本宣科”的方式，給予學生枯燥乏味的教學，要求學生以“死記硬背”的方式學習教材中涉及的概念，忽略從學生的實際生活出發，引導學生針對全等三角形的性質展開思索，影響了學生對數學知識的理解，進而限制了學生幾何證明思維的發展。

三、初中數學幾何證明題解題思維培養策略

（一）傳授多種證明方法，增強學生解題能力

解答幾何題，需要學生融會貫通地使用課堂中學過的數學知識，因此，目前看來，不論是教材中還是教輔資料中給出的幾何題目都有著極為突出的靈活性，對學生的知識應用能力有著較高的要求，學生只有掌握正確的證明方法，才能夠得心應手地利用已知條件，將題目一一擊破。在課堂教學過程中，教師可通過為學生傳授多種不同的證明方法，增強學生的解題能力，循序漸進地培養學生的解題思維，一般來講初中課堂中常用的幾何題證明方法包括如下幾種：其一，分析綜合法。使用正向思維，結合已知條件，循序漸進地推出結論的一種推理方法，此外，使用逆向思維，從結果出發，針對結論成立的條件做出分析的證明方法，也屬于分析綜合法的范疇;其二，反證法。所謂反證法主要指的是在證明某一結論成立時，先證明它不成立，之后依據假設進行推理，若推理過程與題目給出的條件以及相關的數學定義相背離，則可證明該結論正確;其三，面積法。所謂面積法，主要指的是將需要證明的幾何關系，轉化為圖形之間的面積關系，進而達到證明目的的一種證明方法;其四，代數法。結合數形結合思想，將幾何問題轉化為代數問題，進而通過代數解答方法得出結果的一種證明方法。

（二）以“教”作為切入點，提升學生學習效率

“教”是幾何證明題教學最為重要的切入點，是課堂教學的核心之一。實際教學中，教師應懂得立足于教材，為學生設計一系列科學合理、生動高效的教學活動，使用多樣化的教學方法，為學生傳授相應的數學知識，引導學生循序漸進學完基礎知識與重難點知識，進而掌握一定的證明方法，形成一定的解題思維。在“教”方面，教師應重點做好如下幾方面的工作：首先，應重視培養學生的學習興趣，激發學生的學習積極性。初中生正處于青春期，性格活潑好動，因此驅動他們探索幾何題目的動力主要還是學習興趣，為提升學生的學習熱情，在幾何題教學中，教師應重視使用一系列生動、形象的幾何圖形，激發學生的興趣，培養學生的空間思維能力;其次，使用循循善誘的教學語言，提升學生的學習效率。目前看來，初中數學教材中，有很多幾何知識對于學生而言都是抽象的、枯燥的，有著一定的學習難度，學生很難在短時間內細致地掌握相應的證明方法，如此便會阻礙學生數學素養的成長。為解決這一問題，教師在平時可多使用循循善誘、層層遞進的教學語言指導學生深入淺出地完成解題，使學生逐步發現幾何知識的邏輯性與規律性，進而更好地解答幾何題目。現階段看來，指導學生掌握幾何規律的主要方法，包括如下兩種：其一借助前人的探究成果，發現幾何知識的規律;其二在教師的指導下，經過一系列的分析、歸納與總結，探析幾何知識的主要規律。對于學生而言，這兩種探究方式皆有著一定的應用價值，很多解題方法與規律，在學生看來是有規律可行的，長期以如上思路為學生傳授幾何證明知識，有利于培養學生靈活且融會貫通的解題思維，這十分有助于促進學生核心素養的成長。

（三）以“練”作為切入點，提升幾何教學質量

幾何證明題教學過程中，教師應重視培養學生“理論實踐結合”的意識，多為學生提供一系列靈活多變的題目，組織學生進行實戰演練，增強學生對各類數學定理、公式的理解，促進學生解題思維的進一步發展。需要注意的是，為真正使學生形成“以不變應萬變”的解題思維，教師在教學過程中，應重視做好課堂氛圍創設工作，主動為學生構建一個輕松愉悅、寓教于樂的課堂氛圍，使學生的學習思路不易受到阻滯，引導學生主動練習幾何習題，夯實學生的基本功。

以下面這道題為例：圖1為菱形，連接對角線BD，并在其上取一點P，將A與P連接起來，并將其延長至DC上，記相交點為E，再與BC的延長線交于F，求證PC2=PE·PF。

實際教學中，教師可指導學生使用“分析綜合法”，借助逆向思維證明結論成立。如，可先假設結論成立，將其轉化為比例式=，將題目轉化為證明該比例式成立，為證明該式成立，我們需要證明△PCF∽△PEC，結合題目條件可知，在這兩個三角形中，有一個公共角存在，即∠CPF，之后我們只需證明∠PFC與∠PCE相等，就可得出△PCF∽△PEC的結論，由于題目已經規定了該圖形為菱形，我們可以結合菱形的性質，得出如下分析過程：∠ADB=∠BDC，DC=AD，故而△DAP與△DCP全等，由此可知∠DAP=∠DCP，又因BF與AD平行，且∠DAP=∠PFC，因此可推出∠DCP=∠PFC，最終可得出結論PC2=PE·PF。

由上文所述不難看出，在幾何證明題解題過程中，分析綜合法有著極高的應用價值，對于一些較難解答的問題，學生可使用逆向思維，參考如上推理過程，從題目的結論出發，創新性地找到能夠使結論成立的條件，進而使結論成立，完成整個幾何證明過程。在實際教學中，教師可多結合相應的例題，為學生傳授此類幾何證明方法，使學生的解題思維變得更為靈活，引導學生得心應手地解決類似的習題，促進學生數學學習水平的穩步提升。

（四）使用輔助線，突破幾何教學重難點

在解答幾何題目的過程中，學生通常并不會直接使用原有圖形求解，因為這樣解題，有著過高的難度，實際解題中較易出錯。教師應培養學生使用輔助線進行解題的意識與能力，引導學生使用這一解題工具，將題目簡化，使解題條件變得更為直觀、清晰、明了，使學生更易找到題目的答案。經歸納與總結，筆者認為在初中數學課堂中，學生在解答幾何證明題時，多會用到如下幾種不同的輔助線制作方法：其一，連接兩條線段的中點，或制作中位線，進而作出輔助線;其二，為線段添加垂線、平行線，制作輔助線;其三，為角添加平分線，或為圖形添加對稱軸，制作輔助線。

以下面這道題為例：如圖2所示，在△ABC中，AD平分∠A，求證AB：AC=BD：CD。本道題的解題思路如下：在圖中過D點制作垂直線，使DE與AB垂直、DF與AC垂直，由于AD平分∠A，依據題目條件，可得出DE與DF相等，如此便可得到===，繼而可推出=，即題目所求結論。

這道題目有著一定的難度，因此在課堂中，學生往往會感到無從下手，但若為題目給出的圖形添加兩條輔助線，本道題立刻就會變得迎刃而解，學生推出結論將會變得更加容易，這足以見得在初中數學幾何證明題教學中，添加輔助線，是一種極為重要的解題方法，教師在平時應多從基本的數學規律、數學概念出發，引導學生明晰“輔助線”這一解題方法，增強學生對這一證明方法的理解，逐步培養學生的解題思維，促進學生數學核心素養的穩步發展，顯著推動初中數學教學改革的發展進程。

四、結束語

綜上所述，課程改革背景下，數學教學過程中，教師應重視培養學生的思維，結合學生思維成長的實際情況，圍繞幾何證明題，多為學生普及相應的知識內容，增強學生對一些解題方法的理解，培養學生的知識應用能力、實踐能力，使學生的解題變得更為高效，促進學生核心素養的進一步發展。

【參考文獻】

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