復合應用題的算術法解題策略

沈冬琴

摘 ?要：復合應用題是由基本應用題組成的，解決復合應用題應打好解決基本應用題的基礎。分析復合應用題的解法，應根據題目條件尋找解題策略，數量關系分析法、線段圖法、轉化法、逆推法、假設法、比較法、設數法等解決復合應用題的方法，各具特色，彼此間又互相交錯。有時一個問題可以運用多種策略解決，教學時應重視一題多解。

關鍵詞：小學數學；復合應用題；解題策略

一、數量關系分析法

（一）綜合法

運用綜合法解復合應用題，就是從題目的已知條件出發，解決一個易于解決的問題，再把得到的結論作為條件繼續解決下一個問題。

例１． 讀一本３２０頁的小說書，讀了７天，每天讀了３０頁。剩下的要在２天讀完，平均每天要讀多少頁書？

分析：在剩下的２天內要讀完，就必須知道７天已經讀了多少頁，還剩下多少頁沒讀。通過分析建立解題思路：先求出７天已讀的頁碼數，再求出剩下未讀的頁碼數，最后求出最后２天中平均每天要讀的頁碼數。（３２０－７×３０）÷２＝５５。平均每天要讀５５頁書。

（二）分析法

分析法，就是執果索因，由未知追溯到已知。采用分析法解決問題，從題目中的問題入手，分析數量關系，找出解答問題的兩個條件，倘若這兩個條件有一個未知，那么就通過其他條件解決這個未知的事項。不斷推理，直到找出所需要的條件為已知條件為止。

例２． 甲、乙兩班車分別從興化的邊城車站和南京的江寧車站同時出發，甲車從邊城前往江寧，每小時８５千米，乙車從江寧前往邊城，每小時７５千米。兩車在途中相遇時，甲車比乙車多行了１５千米。興化的邊城車站與南京的江寧車站相距多遠？

分析：欲求興化與南京相距多遠，要么需要知道兩車各行了多少千米，要么需要知道兩車相遇時行駛了多長時間。可是兩個條件都不具備。繼續分析，當他們相遇時，甲車比乙車多行了１５千米，這看似多余的條件，卻起著關鍵性的作用。正是由于有這個條件，才能判定兩車相遇時行走的時間。１５÷（８５－７５）＝１．５。兩車相遇時，都行駛了１．５小時。８５×１．５＋７５×１．５＝２４０（千米）。興化的邊城車站與南京的江寧車站相距２４０千米。

用分析法解復合應用題，對提高學生分析問題解決問題的能力很有幫助。

（三）分析綜合法

分析綜合法就是解決問題時同時運用分析法和綜合法，兩種方法交替運用，有順水推舟，有逆流而行，靈活多變，相輔相成。

例３． 合唱隊有６０名成員，因場地限制，只能派部分成員參加演出。選出了女生人數的 和８名男生組成新的演出隊伍，剩下的男生和女生人數恰好相等。合唱隊中的男生和女生人數各是多少？

分析：女生人數選出了 ，還有 ，男生選出８人后與女生剩下的人數相等，也是女生人數的 。接下來就要考慮具體數量與分率之間的對應關系。當男生選出８人后，總人數成了６0－８＝５２（人）。這５２人中包含了全體女生和部分男生人數相當于女生的 。５２÷１＋ ＝４０（人）。合唱隊中女生有４０人，男生有２０人。

解題時，把可能得到的結果也落實下來，再從結論往前推，看需要求什么，從哪些地方著手。理清解題思路再落筆。

二、線段圖法

（一）利用線段圖幫助學生理清各部分數量關系

小學生以形象思維為主，一些具體的數據和事物對他們比較敏感，做起來得心應手。而復合應用題中的數量關系往往比較抽象，對小學生來說理解起來略有困難，阻礙著他們順利解題。線段圖能有效地幫助他們厘清題目中各數量之間的關系，達到解決問題的目的。

例４． 為了幫助政府控制疫情，減輕人民群眾的痛苦，為民口罩廠人停機不停，２４小時不停生產。上半年完成了全年計劃的 ，下半年完成了全年計劃的 ，結果全年超額生產了１２０箱口罩。為民口罩廠全年計劃生產多少箱口罩。

分析：解分數應用題，找出數據及其對應分率很重要，用數據除以對應的分率得到總數，可以進一步解決題目中的其他問題。本題中已知的兩個分率與已知的數據都不對應。畫出線段圖，如圖１。借助線段圖找出１２０這個數據所對應的分率。

由線段圖可以發現全年完成的比“單位１”多了 ＋ －１＝ 。這正是１２０箱所對應的分率。所以全年計劃生產１２０÷ ＝２８８（箱）。為民口罩廠全年計劃生產２８８箱口罩。

（二）借助線段圖能形象直觀地描述數量關系

線段圖可以直觀地表示出物體運行的軌跡，借助線段圖可以解決一些比較復雜的動點運行的問題。

例５． 甲、乙兩車同時從Ａ、Ｂ兩地相向而行，在距Ｂ地６４千米處相遇，兩車各自到達對方車站后，立即返回原地，途中又在距Ａ地４８千米處相遇。求兩次相遇地點之間的距離。

分析：這是一道比較抽象的應用題，很多學生拿到題目無從下手，從已知條件到問題的解答幾乎找不到關聯之處。倘若畫出線段圖演示出過程（如圖2）就能豁然開朗。

從線段圖可以看出，甲乙兩車第一次相遇時，兩車所行路程之和恰為Ａ、Ｂ兩地之間的距離，兩車相遇點距離Ｂ地６４千米，就是乙車行了６４千米；當兩車第二次相遇時，兩車所行路程之和恰為Ａ、Ｂ兩地之間的距離的３倍。由此可以算出當第二次兩車相遇時，乙車總共行駛了６４×３＝１９２（千米）。而兩車第二次相遇點距離Ａ地４８千米，可以知道Ａ、Ｂ兩地之間的距離為１９２－４８＝１４４（千米）。最終得出兩次相遇地點之間的距離為１４４－４８－６４＝３２（千米）。

三、轉化法

把不容易解決的問題，轉化為一個熟悉的問題，或者從另一個角度審視原來的問題，找到解決問題的突破口，這種解決問題的方法稱為轉化法，轉化法是解決復合應用題常用的方法之一。

例６． 小明和小紅分別從Ａ、Ｂ兩地同時出發，相向而行，小明行了全程的 與小紅相遇，小明每小時行９千米，小紅行完全程需要２．４小時。求Ａ、Ｂ兩地間的距離。

分析：小明和小紅同時出發相向而行，當小明行了全程的 與小紅相遇時，小紅行了全程的 。可見小明行的路程與小紅行的路程之比為３∶５，在時間相同的情況下，說明小明的速度與小紅的速度之比亦為３∶５，而小明的速度是９千米／小時，所以小紅的速度是１５千米／小時。２．４×１５＝３６（千米），Ａ、Ｂ兩地間的距離是３６千米。

本題把小明和小紅兩人所行路程之間的關系，轉化成兩人的速度之間的關系，根據已知的小明的速度，求出小紅的速度，最后求出Ａ、Ｂ兩地的距離。也可以把小紅行完全程需要２．４小時，把同一時間兩人所行路程之間的關系，轉化為行完全程兩人所需時間的關系為５∶３．注意在路程不變的情況下，速度與時間成反比。小紅行完全程需要２．４小時，那么小明行完全程就需要４小時。９×４＝３６，得到兩地之間的距離為３６千米。

四、逆推法

數學學習中，加法和減法、乘法和除法、乘方和開方之間都存在著逆運算，利用它們之間的關系，在解決復合應用題時，從最后的情況開始往前一步一步地逆推，得到初期的相關數據，這種方法稱為逆推法。常說的反過來想一想，其實就是運用的逆推法。

例７． 疫情防控期間，李叔叔用拖拉機把Ａ地的蔬菜義務運到Ｂ地。拖拉機裝滿油從Ａ地出發，到Ｂ地時油箱中的油用去了 ，加了１０升油返回。在從Ｂ地返回Ａ地的途中用去了Ｂ地加油后油箱中油的 。李叔叔再次加９升油從Ａ地啟程，此時油箱中有１３升油。該拖拉機油箱裝滿時有多少升油？

分析：從結果往前推，如果第三次不加油，油箱中應存油１３－９＝４升，這４升是用去 后剩下的，那么在Ｂ地加油后，油箱中有油４÷１－ ＝１６（升）。在Ｂ地加油前，油箱中存油１６－１０＝６（升），這６升油是Ａ地加滿油箱用去 后剩下的。６÷１－ ＝１８（升）。拖拉機一開始裝滿油是１８升，也就是該拖拉機油箱裝滿時有１８升油。

五、假設法

根據題目的條件或結論，用假設的方法算出某種結果，將這個結果與實際情況做比較，找出其中的偏差，再分析出現偏差的原因，實施糾偏，達到解決問題的目的，這種方法稱為假設法。

例８． 甲、乙兩堆煤共重２４０噸，從甲堆煤調出 ，乙堆煤調出 ，共調出１２０噸。兩堆煤原來各有多少噸？

分析：假設從乙堆煤也調出的是 ，那么兩堆煤應調出２４０× ＝９６（噸），與實際１２０噸相差２４噸，究其原因是實際從乙堆煤調出的是 。２４÷ － ＝１４０（噸），２４０－１４０＝１００。原來甲堆煤有１００噸，乙堆煤有１４０噸。

六、比較法

通過對應用題條件之間的比較，或難與易題目的比較，找出它們之間的聯系與區別，分析測試聯系與區別的原因，從而確定解題思路的一種方法就是比較法。

例９． 用兩種卡車裝貨，８輛大卡車和５輛小卡車一次能裝貨１７０噸，７輛大卡車和６輛小卡車一次能裝貨１６５噸。每輛大卡車和小卡車一次能裝多少噸貨物？

分析：比較兩次裝貨的情況，第一次８輛大卡車和５輛小卡車，共裝貨１７０噸；第二次７輛大卡車和６輛小卡車，共裝貨１６５噸。第二次比第一次少裝１７０－１６５＝５（噸），究其原因是第一次與第二次相比，大卡車多８－７＝１（輛），小卡車少６－５＝１（輛）。

車輛總數不變，將其中一輛大卡車換成了一輛小卡車，結果就少裝了５噸貨，可見每輛大卡車比每輛小卡車多裝５噸貨。回到第一次“８輛大卡車和５輛小卡車一次能裝貨１７０噸”中，如果８輛大卡車換成８輛小卡車，則將會少裝８×５＝４０（噸），１７０－４０＝１３０（噸），１３０÷（８＋５）＝１０（噸），每輛小卡車一次能裝１０噸貨物，每輛大卡車一次能裝１５噸貨物。

七、設數法

小學數學中，有的應用題看似缺乏一些關鍵數據，致使學生難以解答。其實類數的大小對解決問題的結果沒有影響，這時不妨對關鍵的數設一個具體的值。解答好了以后，鼓勵學生換一個數再試試，是否與剛才的結論一致，如果確實一致，說明解答正確。

例１０． 早晨，小剛從家到學校，平均速度是２６０米／分；晚上，小剛從學校回家，平均速度是２４０米／分．這天小剛往返一趟的平均速度是多少？

分析：本題中，既沒有小剛其中某次行駛的時間，也沒有小剛家與學校之間的距離，可謂是缺少關鍵數據。然而這些所謂的關鍵數據對解題的結果沒有絲毫影響。不妨設小剛上學時的時間是５分鐘，那么小剛放學回家的時間就是２６０×５÷２４０＝ 。小剛往返的平均速度是（２６０×５）÷５＋ ＝ 。

各種解題策略其實是針對不同類型的問題，解決問題之前，先審題，然后選擇確定用哪種策略，有些問題可以運用不同的解題策略。指導學生學法時，引導學生盡可能多地用起來。

參考文獻：

［１］林偉慧． 如何提高學生解答分數應用題的能力［Ｊ］． 考試周刊，２０１６（８５）：５２－５３．

［２］曾光． 淺談應用題的算術解法到代數解法的過渡［Ｊ］． 江西教育，１９８５（０１）：３０－３１．

［３］徐輝． 論小學生解題能力［Ｊ］． 教育研究，１９９８（１０）：２８－３３．

（責任編輯：羅 ?欣）