關(guān)于《基本不等式》同課異構(gòu)的比較分析與思考

周玉川

【摘要】本文主要是結(jié)合兩位老師在2019版新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》章節(jié)內(nèi)容中的《2.2基本不等式》進(jìn)行同課異構(gòu)的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，分別對(duì)他們的教學(xué)設(shè)計(jì)與學(xué)生課后反饋兩個(gè)方面進(jìn)行比較分析與思考，希望從“傳統(tǒng)滿堂灌式”和“導(dǎo)學(xué)案師生互動(dòng)式”兩種教學(xué)模式中，能找到更加適合本校學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】同課異構(gòu)? 基本不等式? ?比較分析? ?思考

1.前言

為了提高本校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和找到更適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案有效教學(xué)的實(shí)踐研究》課題組依據(jù)本校學(xué)生的思維特點(diǎn)及學(xué)習(xí)習(xí)慣，開(kāi)展了一系列同課異構(gòu)的教學(xué)研討活動(dòng)。日前，本課題組兩位成員分別以A、B老師的角色，選擇了2019版新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》章節(jié)內(nèi)容中的《2.2基本不等式》進(jìn)行同課異構(gòu)教學(xué)活動(dòng)，A老師采用“導(dǎo)學(xué)案師生互動(dòng)式”的教學(xué)模式，以導(dǎo)學(xué)案問(wèn)題為主線，分別開(kāi)展課前導(dǎo)學(xué)、課中互動(dòng)、課后反饋等三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng)，而B(niǎo)老師采用“傳統(tǒng)滿堂灌式”即教師當(dāng)堂教授內(nèi)容，學(xué)生當(dāng)堂接受知識(shí)的教學(xué)方式。筆者認(rèn)為一節(jié)有效的數(shù)學(xué)課堂，既要注重教師應(yīng)該如何教，又要注重學(xué)生應(yīng)該如何學(xué)，而教師的教學(xué)設(shè)計(jì)以及學(xué)生的課后反饋更是有效教學(xué)的關(guān)鍵所在，因此，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)方面的比較分析與思考，也體現(xiàn)了我們課題研究的必要性與重要性。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)的比較分析與思考

2.1關(guān)于基本不等式幾何意義探究部分內(nèi)容的處理

A老師以問(wèn)題導(dǎo)學(xué)形式出現(xiàn)，通過(guò)問(wèn)題形式展開(kāi)：“如圖1是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。若將圖1中的“風(fēng)車”抽象成如圖2，你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

還將教材內(nèi)容巧妙地設(shè)置成如下導(dǎo)學(xué)案問(wèn)題：“1、圖中有個(gè)直角三角形？它們是否相等？2、設(shè)直角三角形ABE的兩條直角邊長(zhǎng)為，，則這些直角三角形面積之和為？3、圖中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為？它的面積為 ？4、比較大小：正方形ABCD的面積4個(gè)直角三角形的面積之和.即我們就得到了一個(gè)不等式：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有_______________ ”，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)的問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法，使得教學(xué)內(nèi)容既基于教材又高于教材；課前讓學(xué)生帶著導(dǎo)學(xué)問(wèn)題去預(yù)習(xí)、探究、開(kāi)展合作交流的學(xué)習(xí)互動(dòng)，課堂上，學(xué)生做得了心中有數(shù)，課堂教學(xué)自然就會(huì)有效地開(kāi)展起來(lái)。

B老師對(duì)所教班級(jí)未進(jìn)行課前導(dǎo)學(xué)，對(duì)教材基本不等式探究未加處理，完全按照教材原本形式，最后補(bǔ)充引入了一個(gè)新的問(wèn)題情境：“先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊）。假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為和（），探究基本不等式結(jié)論？”引入的情境一定程度上使得探究?jī)?nèi)容復(fù)雜化，對(duì)于基礎(chǔ)薄弱生無(wú)疑是雙重打擊，既有如何得到式子“的疑惑，又有如何從抽象圖形到數(shù)式的恐懼，因此，在課題導(dǎo)入的5分鐘內(nèi)，學(xué)生只對(duì)著教材情境看，被老師牽著走，無(wú)從進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，加之整節(jié)課全程多媒體操作，文字、數(shù)式、圖象閃爍跳躍過(guò)快，導(dǎo)致師生互動(dòng)較少，課堂教學(xué)是傳統(tǒng)式“滿堂灌”。

2.2關(guān)于基本不等式證明部分內(nèi)容的處理

A老師采用“師生互動(dòng)探究式”的教學(xué)處理，先通過(guò)式子設(shè)置導(dǎo)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生思考，接著引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知“實(shí)數(shù)平方必為非負(fù)數(shù)”，即得到，通過(guò)學(xué)生交流合作，得到證明結(jié)論，從而有，再采用問(wèn)題填空形式，將所得式子中的與分別用和替換，最后得到證明結(jié)論“（其中，當(dāng)時(shí)取等號(hào)）”這樣處理，既考慮了所教班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，從而教與學(xué)融洽一致。

B老師采取教材形式 “證明：由于，于是要證明，只要證明 ，即證，即? ，這結(jié)論顯然成立，所以，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）”，這樣處理，好處在于思路清晰，書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)練，減少了與分別用和替換的步驟，這種“執(zhí)果索因”分析法對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生是一種較佳方法，能調(diào)動(dòng)課堂學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的積極性，但所教班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較弱，對(duì)于分析法無(wú)法理清先后書(shū)寫(xiě)順序，課堂上看得明白、聽(tīng)得懂，但由于分析法的思維要求較高，因此，平時(shí)學(xué)生在用分析法數(shù)學(xué)證明較少。

通過(guò)評(píng)課研討交流，筆者認(rèn)為A老師采用的綜合法較適合本校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱生，B老師采用的分析法較適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中等偏上的學(xué)生，而對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教師在講授此證明時(shí)還可以兩種方法分別提及，充分發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，從而達(dá)到更加有效的教學(xué)效果。

2.3關(guān)于基本不等式題型的處理

A老師結(jié)合所教班級(jí)學(xué)生實(shí)際情況，對(duì)題型進(jìn)行了細(xì)分，基于第一節(jié)新課考慮，只提及“兩個(gè)正數(shù)和的最小值問(wèn)題”，先選擇教材45頁(yè)練習(xí)例題1“若求的最小值。”為例題，進(jìn)行分析講解，接著提出兩個(gè)變式題“變式1. 若， 求的最小值；變式2. 當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，最小值為多少？”，這樣通過(guò)模仿式做題，適合基礎(chǔ)薄弱生，最后再增加一個(gè)新例題“若，求的最小值。”該題屬于配湊技巧題型，讓學(xué)生對(duì)基本不等式“一正、二定、三相等”條件有深刻理解，接著又兩個(gè)變式題“變式1. 若，求的最小值；變式2. 若，求的最小值。”如此巧妙地通過(guò)導(dǎo)學(xué)問(wèn)題，逐步升華“兩個(gè)正數(shù)和的最小值問(wèn)題”，從而讓學(xué)生對(duì)該問(wèn)題能熟練掌握，逐漸過(guò)渡到例題2“（1）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值；（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值。”的教學(xué)，學(xué)生比較容易接受，能從特殊到一般的思維過(guò)程中有所感悟收獲，從而達(dá)到本節(jié)課有效教學(xué)的目的。

B老師按照教材內(nèi)容開(kāi)展，通過(guò)課本46頁(yè)例3兩個(gè)問(wèn)題“（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？”為例題，進(jìn)行分析講解，這樣同時(shí)講解“兩個(gè)正數(shù)和的最小值問(wèn)題”與“兩個(gè)正數(shù)積的最大問(wèn)題”，學(xué)生接受起來(lái)較為困難，加之，B老師最后只選擇46頁(yè)練習(xí)第3題為變式題，該題只是求和問(wèn)題，因此學(xué)生對(duì)積問(wèn)題還是存在疑惑點(diǎn)。

通過(guò)評(píng)課研討交流，筆者認(rèn)為B老師在例題講解后直接總結(jié)出結(jié)論：“（1）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值；（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值。”缺乏了“師生互動(dòng)”與“生生互動(dòng)”環(huán)節(jié)，因此，學(xué)生只是被動(dòng)接受結(jié)論，無(wú)法感受到基本不等式的應(yīng)用價(jià)值。而A老師重點(diǎn)分析“”式子，反復(fù)說(shuō)明若要求左邊即和問(wèn)題，必須要求右邊是確定值，這樣學(xué)生不但深刻掌握了題型中 “積定，和最小” 的結(jié)論，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)“和定，積最大”也會(huì)有所感悟。

3.學(xué)生課后反饋的比較分析與思考

學(xué)生課后反饋是對(duì)課堂教學(xué)是否有效的直接反映，因此，筆者通過(guò)兩種學(xué)生課后反饋方式加于分析，第一種方式是對(duì)學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)案教學(xué)模式”及“傳統(tǒng)教學(xué)模式”喜好反饋，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查形式，研討開(kāi)展高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案教學(xué)的必要性與可行性問(wèn)題；第二種方式是以小題檢測(cè)的方式，通過(guò)學(xué)生得分來(lái)分析課堂教學(xué)的有效性。

筆者對(duì)《高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案教學(xué)有效性的問(wèn)卷調(diào)查》的部分結(jié)果分析如下：對(duì)于“問(wèn)題1.導(dǎo)學(xué)案的問(wèn)題設(shè)置環(huán)節(jié)對(duì)你的預(yù)習(xí)有否幫助？”選擇“有”占71.67%，選擇“沒(méi)有”僅占1.67%，說(shuō)明導(dǎo)學(xué)案模式問(wèn)題導(dǎo)學(xué)確實(shí)對(duì)學(xué)生預(yù)習(xí)起到輔助作用；對(duì)于“問(wèn)題5.小測(cè)反饋題目題量適合你的學(xué)習(xí)情況嗎？”選擇“合適”占76.67%，選擇“不合適”僅占3.33%，說(shuō)明了導(dǎo)學(xué)案小測(cè)反饋題量適合本校學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及學(xué)習(xí)習(xí)慣。對(duì)于“問(wèn)題6.基本不等式內(nèi)容主要解決什么？”絕大多數(shù)學(xué)生選擇了“求兩個(gè)正數(shù)的和或積的最值”占比90%，這說(shuō)明通過(guò)導(dǎo)學(xué)案模式教學(xué)，可以讓學(xué)生清楚所學(xué)的，所獲得的是什么，一目了然。對(duì)于“問(wèn)題9.利用多媒體上課時(shí)，老師按傳統(tǒng)教學(xué)方式講解好還是利用導(dǎo)學(xué)案講解好？”選擇“導(dǎo)學(xué)案教學(xué)好”占63.33%，選擇“傳統(tǒng)教學(xué)好”占15%，而“都可以”占了21.67%，說(shuō)明學(xué)生整體上還是希望新的學(xué)習(xí)方式。對(duì)于“問(wèn)題10.導(dǎo)學(xué)案有效教學(xué)的師生互動(dòng)及生生互動(dòng)方式適合你嗎？”絕大多數(shù)學(xué)生都選擇“適合”占比80%。說(shuō)明多數(shù)學(xué)生喜歡互動(dòng)式課堂模式，希望教師與同學(xué)彼此關(guān)注。

對(duì)A老師教的3班，B老師教的4班進(jìn)行小題檢測(cè)反饋如下：對(duì)于“題1.已知x0，若x＋的值最小，則x為多少？”3班做對(duì)的有50人占比86.2%，4班做對(duì)的只有30人占比50.8%；顯然該題是第一種題型--“求兩個(gè)正數(shù)的和最小值”問(wèn)題，因?yàn)锳老師重點(diǎn)講解了這一題型，課堂上學(xué)生也進(jìn)行了相當(dāng)類型題目訓(xùn)練，已經(jīng)掌握差不多了，因此絕大多數(shù)學(xué)生得到結(jié)果沒(méi)有問(wèn)題；而B(niǎo)老師在課堂上同時(shí)講解了兩個(gè)正數(shù)的最小值及最大值問(wèn)題，學(xué)生普遍反映“對(duì)基本不等式 不明白是選擇哪個(gè)公式作為切入點(diǎn)”，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤；對(duì)于“題2.若，求的最小值為。”A老師在3班課堂上對(duì)該配湊類型的題型如：“若，求的最小值。”進(jìn)行重點(diǎn)分析與訓(xùn)練，因此3班得分人數(shù)比較多，占比85%；對(duì)于“題3.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為。”兩個(gè)班的得分相當(dāng)分別占50.1%，48.8%，多數(shù)學(xué)生反映該問(wèn)題難點(diǎn)在于對(duì)和問(wèn)題還是積問(wèn)題還是有點(diǎn)模糊不明白，還有部分學(xué)生提出指數(shù)冪運(yùn)算不明白，導(dǎo)致錯(cuò)誤失分。

4.結(jié)語(yǔ)

因此，基于以上比較分析與思考，筆者認(rèn)為一個(gè)有效的數(shù)學(xué)課堂，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面既要提高課題導(dǎo)入的有效性；也要淡化教學(xué)形式，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)；更要領(lǐng)會(huì)高中數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題的作用。通過(guò)課題組一系列同課異構(gòu)的教學(xué)研討活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生更加傾向于“導(dǎo)學(xué)案師生互動(dòng)式”教學(xué)模式，A老師的教學(xué)設(shè)計(jì)更能引發(fā)學(xué)生合理的認(rèn)識(shí)沖突與思考，更能促進(jìn)有效教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

參考文獻(xiàn)：

（1）葉立軍 馬茂年? 高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的理論與實(shí)踐? [M]? 科學(xué)出版社

（2）章建躍 李海東? 普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) [M] 人民教育出版社

（3）曹一鳴? 數(shù)學(xué)教學(xué)論 [M] 高等教育出版社