變一變，讓學習真正發生

張雪峰

【摘 要】在“商不變的規律”的教學中，學生的探索與體驗往往缺乏實質性的內在需求和理性思考，大部分活動都是在教師的引導或幫助下完成的，“教”的目的掩蓋了“學”的需要。本文為此進行了探究，變“直接呈現探索素材”為“主動尋找探究路徑”，變“教師授意探究規律”為“學生自主摸索發現”，變“技能訓練的單一練習”為“完善認知的思維訓練”。變一變，讓學習真正發生，把發展學生核心素養落到了實處。

【關鍵詞】核心素養 讓學習真正發生 主動 思維

“商不變的規律”是蘇教版數學四年級上冊的內容。課本例題為我們呈現了一個表格。

⑦先按要求算一算，填一填，再比較算出的結果

在這一內容的教學中，教師通常按這樣的方式進行教學：圍繞教材提供的素材，引導學生觀察、分析、舉例等，發現“被除數、除數同時擴大（或縮小）相同的倍數，商不變”這一知識，通過練習使學生熟練掌握“商不變的規律”和解決相關問題的技能。縱觀整個教學過程并深入分析，筆者發現，學生的探索與體驗缺乏實質性的內在需求和理性思考，大部分活動都是在教師的引導或幫助下完成的，課堂上缺乏方法訴求、過程經歷、溝通論證、道理領悟的過程，“教”的目的掩蓋了“學”的需要，對知識技能的教學目標重于對核心素養的培養目標。

核心素養是學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。當教學不單純以知識技能為主要目標，而是聚焦學生的核心素養的培養時，我們的教學設計和教學活動組織都可以“變一變”。

一、變“直接呈現探索素材”為“主動尋找探究路徑”

【片段一】

師：（指課題）今天我們研究的是什么運算？你是從哪里看出來的？

生1：今天一定是研究除法運算，因為除法里面才有商。

師：那我們研究的是除法運算里的什么規律呢？

生2：商不變的規律。

師：商不變，那被除數和除數變不變呢？

生1：變。

生2：不變。

生3：如果商不變，被除數和除數也不變，那不還是原來的算式嗎？那還有什么好研究的？（其他同學大笑）

師：根據你的經驗，一般情況下被除數和除數變化時，商會怎樣？

生1：商可能會變，也可能不變。

生2：商可能變大，也可能變小。

師：這節課我們一起來研究被除數和除數怎樣變化，才能使得商不變。根據自己的經驗，你先來猜一猜。

生1：被除數和除數可能要增加一個數。

生2：可能是被除數和除數減去一個數。

生3：也許被除數和除數都乘一個數，再相除，商不變。

生4：被除數和除數也可能要縮小幾倍。

生5：被除數和除數可能要乘或除以一個相同的數。

師：同學們憑借自己的經驗和直覺提出了幾個猜想，是不是這樣呢？我們怎樣才能知道究竟哪個猜想有道理呢？

生：我們可以舉幾個例子，試一試。

師：是個好辦法。那就請大家根據自己的興趣選擇一個或幾個猜想，先用舉例的方法獨立驗證，再在小組內交流你的想法。

【思考】在通常的教學中，教師直接呈現課本上的素材，讓學生計算、觀察、比較，引導學生自主探索、合作交流、親歷規律的形成過程，似乎已經很好地體現了新課程的教學理念。然而仔細推敲，我們不難發現，學生真的自主學習了嗎？被除數、除數的變化是乘或者除相同的一個數，學生怎么想得到呢？教學一開始教師就不容分說將學生的思路定位在乘法和除法上，這是否限制了學生思維的廣度和深度，是否符合學生對一個未知的新問題的探索路徑呢？

除法算式的三個數中，“變”或“不變”是明顯存在的，但“如何變”是隱藏的。對于“如何變”的探究涉及兩個問題：一是商不變時被除數和除數變化規律的確定；二是如何才能發現被除數和除數的變化規律。前者是問題的具體內容，而后者則是問題解決的方法策略。所以說本節課的重點不僅僅是發現商不變的規律，而引導學生“執果索因”地學會探究才是教學的最終目的。那么在探索規律的過程中，探索的路徑誰說了算？是由教師提出，學生被動接受，還是教師做適當引導，由學生自己主動尋找？從著眼學生未來發展的角度看，學會確定發現路徑的方法一定比發現的規律更重要。本課教學中，教師大膽放手，讓學生猜一猜，被除數和除數可能怎樣變化，商是不會變的。繼而探究猜想的合理性。變一變，就能立足學生的思維起點，發散學生的思維，就能收獲不一樣的精彩。

二、變“教師授意探究規律”為“學生自主摸索發現”

【片段二】

學生將自己的思考過程寫在學習單上，再在小組內交流，教師巡視，并適時點撥引導。

師：通過舉例和小組交流，你有怎樣的發現呢？

生1：我把第一個猜想給“咔嚓”掉了。我舉了個例子，20÷5=4，把被除數和除數都加上一個數，（20+10）÷（5+5），商變成了3。如果加上一個相同的數，也是不行的，（20+10）÷（5+10）=2，結果完全變了。

生2：我也是用舉例的方法，把第二個猜想也淘汰了。因為……

生3：我驗證了第三個猜想，我認為被除數和除數乘一個數，商就不變。我舉例進行了驗證。6÷3=2，（6×3）÷（3×3）=2。

師：好像有點眉目，如果不乘3，乘一個別的數，商變不變呢？

生3：也不變，我們組也試過了，（6×100）÷（3×100），（6×199）÷（3×199），……，結果都還是2。

生4：我們組也舉了幾個例子，被除數和除數都乘一個數，商確實不變，比如……

師：這個發現具有普遍性嗎？你還能舉這樣的例子嗎？再寫幾個，看看行不行。

師：很多的舉例都證明了這個發現，我們先把它記錄下來。被除數和除數乘一個數，商不變。

生5：我不贊同，因為我發現了一個問題，如果（6×4）÷（3×3）結果就不等于2了。

生6：是這樣的，如果乘的不是同一個數，商就會變，只有乘的是同一個數商才不變。

師：好像有點道理，是這樣嗎？ 看來我們得把這個發現完善一下。（添上“同”）

生7：我發現了，不一定。我可以舉出一個反例，如果被除數和除數都乘0，結果就是0，商不是變了嗎？

師：了不起的發現！是啊，那還有別的反例嗎？

生8：找不到別的反例了。

師：看來這“一個數”中不能包括0，所以我們要把0除外。（添上“0除外” ）

師：還有別的變化規律，商也是不變的嗎？

生9：還有被除數和除數除以同一個數，商也是不變的。比如……

生10：這里0也要除外，因為0作除數是沒有意義的。

師：12÷4=3，如果（12×2）÷（4÷2），商會怎樣呢？

生11：被除數和除數一個擴大一個縮小，商就變了，不行。要么都乘一個數，要么都除以一個數。

師：那么這個發現該加上一個什么詞，更準確、更完善？（添上“同時”）

……

師：請同學們回顧一下，我們是怎樣一步一步找到“商不變的規律”的？

……

【思考】我們要思考，站在學生的視角探究的點在哪里；為什么把被除數同時乘或除以同一個數，而不是加或者減一個數；為什么強調“同時”，這里的“同時”做何理解；為什么必須是同一個數，不同的數行不行；為什么把0除外……其實對這些問題的質疑和探索，正是學生經歷“商不變規律”萌發、生長與形成的過程。本課中，在片段一的大問題驅動下，學生們用自己想到的方式去驗證猜想。在驗證的過程中，學生們不斷嘗試、淘汰、修正、完善自己的思考，或傾聽或質疑或贊賞或感悟，使學習不斷深入，對“商不變的規律”漸漸明晰，課堂變得精彩紛呈。在這個過程中，學生的活動方式是多樣的，有獨立思考，也有小組合作、全班交流，這樣有利于學生自主探究，又能集思廣益、思維碰撞、開闊思路。學生真正成為課堂的主人，感受到了學習的快樂。

三、變“技能訓練的單一練習”為“完善認知的思維訓練”

【片段三】

師：[出示（24÷2）÷（6○□）=4，（24○□）÷（6×12）=4，（24○□）÷（6○□）=4。]會填嗎？你有幾種填法？

……

師：[出示80÷80=1，（80+20）÷（80+20）=1，（80-20）÷（80-20）=1；80÷4=20，（80+80）÷（4+4）=20。]這兩組算式舉例，是不是說明猜想一和猜想二也可能是正確的？

生1：第二組算式，被除數和除數加的數和原來相同，其實就是被除數和除數同時乘2。

生2：第一組算式的情況是可以的，我們可以在“商不變的規律”中把這種情況添上去。

生3：我們一開始就用反例推翻了這兩個猜想。

生4：我們總結“商不變的規律”的過程中，不也是有反例的嗎？

生5：剛剛乘法和除法只有0這一個反例，所以只要把0除外，這個規律就是正確的。同時加和同時減，反例多的是，正確的情況反而不多。

生6：只有被除數和除數相同的時候才行，它們的商總是1。

師：看來我們的發現要具有普遍性，才能總結成規律，不能用少數特例來說明問題。

【思考】南京大學鄭毓信教授說：“數學學習的一個主要價值就是有利于人們思維方式的改進，并能促使人們逐步學會更清晰、更合理、更深入地思考問題。”馬云鵬教授認為，我們要圍繞數學的核心內容，開展深度學習。我們可以通過精心設計問題情境，引發學生的認知沖突，引發學生全身心參與數學活動，圍繞具有挑戰性的學習主題深度探究，促使學生體驗成功，把握所學內容的數學本質，從而收獲關鍵能力與核心素養的發展。本課中，筆者出示了第一組算式，從答案的確定性到答案的開放性，強化了學生對“商不變的規律”的理解。課堂到這里沒有停止，而是又出示了一組與學生頭腦中已形成的規律有認知沖突的，被除數和除數加（減）一個數時商也不變的情況，引發學生深入思考。在師生的交流中，我們完善了對“商不變的規律”的本質的認知，積累了探索數學規律的經驗。好的數學教學課堂必然是富于思考的，因為思維是數學能力之“核”，是數學素養之“魂”。