數學思想的錨點定位與融入路徑

王維英

［摘? 要］ 在小學數學教學中，教師要準確定位數學思想，主動融入數學思想。數學思想要具有“數學味”“兒童性”以及“層次性”。教師要立足數學符號，引導學生學會多重表征，融合多重視角，從而讓學生感悟符號背后的意義，領會符號背后的實質，觸摸符號背后的結構。在這個過程中，教師要做學生感悟數學思想的“鼓者”，引導學生用“數學的眼光”觀察世界，用“數學的思維”思考世界。

［關鍵詞］ 小學數學；錨點定位；融入路徑

在日常生活中，人們對于思想有兩種觀點：其一是自然科學思想；其二是社會科學思想。顯然，數學思想屬于自然科學思想。在小學數學教學中，教師要準確定位數學思想，主動融入數學思想。通過數學思想的定位與融入，讓學生做一個“快樂的思想者”。數學思想從表面上看是單調的、枯燥的，但一旦融入實踐之中，就會閃動著快樂的情感元素［１］。教師要做學生感悟數學思想的“鼓者”，引導學生用“數學的眼光”觀察世界，用“數學的思維”思考世界。

一、數學思想的錨點定位

數學思想是指對數學事實經理論概括、提煉之后形成的本質性認識。小學數學是一門質性數學，蘊含著豐富的數學思想，比如轉化思想、對應思想、符號化思想、數形結合思想等。可以這樣說，學生后續運用到的數學思想，在小學階段的數學學習中都有所涉及。因此，注重數學思想的錨點定位、融入路徑是數學教學的應有之義。數學思想是數學學科的靈魂。在數學教學中，教師應當讓學生的思維、想象伴隨著數學思想的精靈而齊飛共舞。正是借助數學思想，讓學生的數學學習充滿著生命的活力，讓數學教學在單調中閃現著豐富、在枯燥中閃現著多彩、在嚴謹中閃現著活潑、在艱辛中閃現著幸福。

1. 數學思想要具有“數學味”

數學思想要具有數學的學科特質，也就是教師日常所表達的“數學味”。融入數學思想的數學教學，首先應當遵循數學學科的教學規律。在數學教學中，教師要引導學生用數學思想觀察、解決問題，去建構、創造數學知識。比如教學“20以內的退位減法” （蘇教版小學數學一年級下冊）時，部分教師的數學教學就是簡單的“走過場”，將幾種方法輪番講解。其實，這一部分內容蘊含著豐富的數學思想。比如計算“13-9”，“青椒”的先減3，再減6以及“蘿卜”的先從10里面減去9，再用剩下的數加上3，這兩種解決問題的思路都蘊含著一種“建模思想”；而“番茄”是“想9加多少得13”，推理出13減9等于4，這蘊含著方程思想。如果在教學中教師有意識地體現這些思想，就能促進學生數學學習的可持續性發展。

2. 數學思想要體現“兒童性”

小學數學的數學思想的錨點定位還要體現“兒童性”。小學生不是科學家，也不是專業的數學研究者，因而融入數學思想應當盡量體現一種童性、童趣。用特級教師吳正憲的話來說，要讓學生學習“好吃又有營養的數學”。“有營養”就是要體現數學思想，而“好吃”就是要體現兒童趣味。只有體現兒童趣味，才能讓學生不感到數學思想的枯燥，而是感覺到數學思想的韻味、趣味、情味［２］。比如教學“分數的意義和性質”（蘇教版小學數學五年級下冊）時，對于“單位1”的量所蘊含的整體思想，部分教師只會抽象說教，如“單位‘1的量就是整體”，“單位‘1的量就是分數前面的量”，等等。筆者在教學中，努力降低這種“說教味”，引導學生從單位“1”的量的產生，也就是將誰平均分，進而助推學生理解、找準單位“1”的量。在這個過程中，學生發現單位“1”的量可大可小，進而有趣地將其形容為孫悟空的“金箍棒”、如來佛的“手掌”，等等。

3. 數學思想要具有“層次性”

數學思想具有層次性、開放性和豐富性。在數學教學中，教師要引導學生進行數學思想的交流，從而讓學生感受、體驗到數學思想的豐厚與博大。教師要由表及里、由淺入深、由現象及本質地引導學生感悟數學思想，進而讓學生感受、體驗到數學思想的深刻性。數學思想的滲透是長久的、持續的，比如今天滲透的數學思想，明天還要滲透；比如今年滲透的數學思想，明年還要滲透，等等。以“數形結合思想”的滲透為例，在低年級就有數與形的結合，在中年級有借用線段圖分析數量關系的數形結合，在高年級有分數計算的數形結合等。這樣的數學思想的滲透，能扎實學生對數學思想的認知、感受、體驗。這樣的數學思想滲透是緩慢的、潤物無聲的。在教學中，教師不能刻意地拔高，亦不能降低，而應當循序漸進，讓學生充分地經歷、充分地感悟，讓數學思想的內涵得到不斷豐富，外延得到不斷積淀。

二、數學思想的融入路徑

數學思想的教學不是“告訴式”“講解式”“灌輸式”的，而是“滲透式”“融入式”“感悟式”的。在數學教學中，教師要超越急功近利的知識教學，要舍得將時間放置在學生感悟數學思想上。那種“速成雞式”的教學違背學生的數學認知規律，只會揠苗助長。從某種意義上說，感悟數學思想，就是感悟數學的精髓。

1. 立足數學符號，感悟符號背后的意義

數學思想教學的提出，最大的改變就是要將教師的“無意行為”轉變為“有意行為”。原來的數學教學，教師滲透、融入數學思想可能是無意的，而現在應當成為一種有意行為。滲透、融入數學思想，首先應當引導學生把握數學符號化知識背后的意義。只有當學生在數學學習中能主動地去了解符號的意義，才能品味、感悟到其中蘊含的思想。

數學家亞歷山大洛夫說：“如果沒有合適的數學符號就不能將算術推向前進，尤其是如果沒有專門的數學符號、公式等就簡直不可能有現代數學。”［３］ 在數學學科中，借用符號學家索緒爾的說法，符號代表著“能指”，意義代表著“所指”。比如對于一個簡單的“分數”，教師不僅要讓學生“會讀”“會寫”，還要讓學生能說出“意義”，更為重要的是要將“分數中的每一個符號”與“平均分”“平均分的份數”“表示的份數”建立起關聯。分數線這一符號，與除法中的除號、比中的比號一樣，背后表征的就是“平均分”的思想。“分數線”與“平均分”就成為數學中的“表征”與“被表征”的關系，成為一種“能指”與“所指”的關系。很多學生，之所以對分數的意義理解不深刻，其根源就在于教師教學時將“能指”與“所指”割裂了。理解數學符號背后的意義，就是要讓學生在頭腦中建立“能指”與“所指”的對應關系，就是要讓學生“看到‘能指想到‘所指”。因為，在“所指”中往往蘊含著數學思想。比如“分數線”“除號”等符號中蘊含著“平均分思想”，“加號”蘊含著“合并思想”“組合思想”等。

立足于數學符號，感悟符號背后的意義，就能觸摸到其中的數學思想。數學思想不是顯性的，而是隱性的，它就隱藏在數學符號“所指”的意義之中。在數學教學中，教師經常會發現一些學生，盡管不能說出具體的概念、公式等，但卻會應用。其實，這就是因為學生已經領會了符號背后的意義，感悟到了其中蘊含的數學思想。

2. 學會多重表征，領會符號背后的實質

日本數學教育家米山國藏曾經這樣說：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后就忘掉了。然而，不管他們從事怎樣的工作，數學思想，看問題的著眼點等，都將隨時隨地地發揮作用。”［４］ 在數學教學中，教師要引導學生學會對數學學習素材進行多重的表征，要充分運用變式，凸顯“變中之不變”，進而彰顯符號背后的思想實質。相對于數學知識、技能，數學思想有著更大的遷移性。

以教學“分數的初步認識（一）”為例，這一部分內容主要是讓學生認識到“一個物體、一個圖形或一個計量單位的幾分之一”，這是學生在小學階段初步認識分數。因此，這部分內容對于學生的數學學習來說就具有奠基性的作用。教學中，筆者充分運用變式，引導學生“將一張紙平均分成兩份”，讓學生建立起對“1/2”的多重表征。通過畫圖、折紙，然后進行比較，學生能夠發現，盡管每一份的形狀、大小都不同，但卻能表征相同的分數，進而學生就會從“變式”中感悟到，分數的意義只與平均分的份數和表示的份數有關。這樣的過程性變式，能深化學生對分數的意義的認知，把握分數的意義的本質內涵。在這個過程中，學生能將抽象的分數與形象的圖形結合起來，進而融入了數形結合思想。

法國布爾巴基數學學派認為：“數學的一大堆形式符號和推理程序、公式組合，無非就是數學自身的語言。”［５］數學語言是數學家賦予數學思想的外部形式，是數學知識的符號化凝練。數學思想就蟄伏于數學符號、語言之中，等待著教師去喚醒、弘揚。數學知識只是數學思想的表征，等待著教師去激活，去發掘其中的豐富內涵。

3. 融合多重視角，觸摸符號背后的結構

奧地利符號學家維特根斯坦在《哲學研究》中說：“在一幅畫中，一個正在上坡的人也可以看成是在倒退著下坡。”［６］對于同一個數學知識，不同的學生可能會產生不同的思維、想象。在小學數學教學中，我們同樣會發現，同樣的數學知識往往會潛藏著不同的數學思想。從不同的視角來看，學生會觸摸到數學符號背后的思想結構。教師要引導學生對接知識本源，讓學生享受不同數學思想的碰撞，從而在開放性的思考中放飛學生思想的精靈［３］。

比如教學“異分母分數相加減”時，教師在引導學生探究過程中，可以讓學生畫圖，將異分母分數相加減與圖形結合起來，從而滲透數形結合思想；可以讓學生通分，將異分母分數相加減轉化成同分母分數相加減，也可以將異分母分數相加減轉化成小數相加減，從而滲透轉化思想；可以聯系學生的生活，讓學生對計算結果進行估算、驗證，從而滲透建模思想。在教學中，教師還可以出示這樣的一些算式，引導學生從各個方面進行表征：對于“1/2+1/4+…+1/64”，可以以小見大找規律，可以數形結合探思路，可以將分數拆成兩個分數的差等。對于同一個算式、同一個問題，不同的學生往往會進行不同的解釋。對于數學思想的發掘，能讓學生在數學學習中獲得更廣泛的視角、更寬闊的視野。

數學思想是數學意識的體現。在數學教學中，教師應當剖開多樣化的文本表征，直擊深藏于數學文字表層底下的數學思想。孟子云：“不以文害辭，不以辭害志。以意逆志，是為得之。”教師只有讓學生感受、體驗到數學知識蘊含著的數學思想，領略到數學思想所折射出的熠熠光輝，才能讓學生欣賞到數學思想的永恒絢爛。

參考文獻：

［１］ 曹才翰，章建躍. 數學教育心理學［Ｍ］. 北京：北京師范大學出版社，２００６.

［２］ 涂榮豹. 數學教學認識論［Ｍ］. 南京：南京師范大學出版社，２００３.

［３］ 曹培英. 跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之八——模型思想（上）［Ｊ］. 小學數學教師，２０１４（１２）：４－９.

［４］ 張延德，白守湖． 教師教學風格的自我塑造［Ｊ］． 新課程（中旬），２０１３（０４）：１４３.

［５］ 黃紅成. 數學復習教學須重視學生素養的培養［Ｊ］. 教學與管理，２０２１（１７）：３８－４０.

［６］ 張晞. 結構化視角下數學思想的滲透［Ｊ］. 教學與管理，２０２１（１１）：５９－６１.