數形結合思想在初中數學解題中的應用

梁濃慶

摘 要：數形結合是解決數學問題的重要數學思想。為了讓學生學會用數學的思維思考，文章主要從“以形輔數，以數解形，數形互變”三個方面來闡述數形結合思想方法在初中數學討論含絕對值的式子的最值、平面直角坐標系及數與式的應用。

關鍵詞：數形結合思想；數學思想方法；數學核心素養

“數缺形欠直觀，形缺數難入微”，數形結合是解決數學問題最重要的數學思想方法之一。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形，數形互變”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，是數學的規律性與靈活性的有機結合。下面筆者就談談數形結合思想在初中數學解題中的應用。

一、以形輔數，凸顯“圖解法”

一般來說，代數問題不依賴于幾何都是可以解決的，然而由于代數關系比較抽象，因此，若能結合問題將代數關系賦予幾何意義，那么往往就能借助直觀形象對問題做出透徹分析，從而探求出解決問題的途徑。許多應用性問題的分析，如果有圖形輔助便可使隱含問題直觀化，如含絕對值式子的最值問題，函數應用題等更需要圖解幫助，從而達到優化解題的效果。

例1：求[x-7+x-8+x-9]的最小值。

在七年級上冊學習絕對值這部分內容中，常常出現以上求含絕對值式子的最值問題，討論含絕對值式子的最值一般有兩種方法，一是根據絕對值的代數意義，用零點分段法討論；二是根據絕對值的幾何意義，用數形結合法分析。

解法一：利用絕對值的代數意義，用零點分段法討論：

設[y=x-7+x-8+x-9]

①當x≤7時

y＝7－x＋8－x＋9－x

＝-3x＋24

∵-3＜0

∴y隨x的增大而減小

∴此時，當x＝7時，y有最小值，最小值為3。

②當7＜x≤8時

y＝x－7＋8－x＋9－x

＝-x＋10

∵-1＜0

∴y隨x的增大而減小

∴此時，當x＝8時，y有最小值，最小值為2。

③當8≤x＜9時

y＝x－7＋x－8＋9－x

＝x－6

∵1＞0

∴y隨x的增大而增大

∴此時，當x＝8時，y有最小值，最小值為2。

④當x≥9時

y＝x－7＋x－8＋x－9

＝3x－24

∵3＞0

∴y隨x的增大而增大

∴此時，當x＝9時，y有最小值，最小值為3。

綜上所述，當x＝8時，y有最小值，最小值為2。

解法二：根據絕對值的幾何意義，用數形結合分析法：

[x-7+x-8+x-9]表示數軸上表示x的數所在的點到7和8及9的距離和，又因為兩點之間線段最短，所以表示x的點在數軸上表示8的位置。如圖：

即當x＝8時，[x-7+x-8+x-9]的最小值為2。以上的解法一中，應用絕對值的代數意義，將問題轉化為一次函數的單調性來解決，這對于初一的學生來說有相當的難度，但解法二中，利用絕對值的幾何意義的同時，再通過數形結合的思想，將問題轉化為我們的數學公理：兩點之間線段最短。顯然，解法二的求解來得簡單、直觀，學生更容易理解和接受。

本題解題借助圖形，通過“以形助數”方法，將形象思維與抽象思維相結合，借助于“形”的幾何直觀性來闡明“數”的大小關系，思維碰撞，更好地幫助學生理解題意，讓學生看圖便知道了答案。

用一種直觀而有效的策略、簡化易懂的方法，找到了問題的結論，學生耳目一新，激發了興趣，幫助學生分析數量關系。體驗“數形結合”在解決問題中的使用價值，讓學生清晰而明確認識“數形結合”的妙處，感知數學思想之妙用。

二、以數解形，精化解題方法

在平面直角坐標系這一部分，經常會遇到一些探索規律題，在教學中圖形規律題的探索也是常見一種形式，遇到這一類問題，我們必須學會分析圖形位置序號與圖形本身的一種聯系，將幾何圖形變化情況進行數字化、代數化，這就是“以數解形”。

例2：如圖，在平面直角坐標系中，一顆棋子從點P（0，-2）處開始依次關于點A（-1，-1），B（1，2），C（2，1）對稱作循環對稱跳動，即第一次跳到點P關于點A的對稱點M處，接著跳到點M關于點B的對稱點N處，第三次再跳到點N關于點C的對稱點處……如此下去，則經過第2022次跳動后，棋子落點的坐標為______。

本題是一道探究規律的題目，確定出點P跳動前三次的軌跡是解答本題的關鍵。根據對稱的性質，利用中點坐標的計算方法，先求出點M和點N的坐標，進而得到棋子跳動3次后又回到了點P，從而得到點P的跳動每3次一個循環，用2022除以3，結合余數即可找出第2022次跳動后的位置為（0，-2）。

近年的中考壓軸填空題大多是探索幾何圖形（或幾何圖案）的數量關系，教師指導學生用代數式表示幾何圖形（或幾何圖案）的數量關系，教師若注重了數形結合思想方法的滲透，會使學生很快領悟幾何圖形（或幾何圖案）的規律，從而找出其中的數量關系。

圖形規律探索題，重在考查學生的觀察、分析、歸納的能力，要使學生具備這些能力，需要教師在平常教學中多引導，懂得將圖形變化情況數字化，找到數字與序號間一種隱性關系，從而將一個在不斷變化中的幾何圖形代數化，達到精化解題目的。

三、數形互變，優化解題方法

就是根據“數”與“形”既對立又統一的特性，觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，引起聯想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀并揭示隱含的數量關系。

數形結合的基本思想方法，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

例3：試求[12+14+18+…+1210]的值。

分析：如果直接求出[12+14+18+…+1210]的值，對于初中學生來說還是非常難的。為了解決上面的問題，我們可以用數形結合的思想方法，通過不斷分割一個面積為1的正方形，把數量關系同幾何圖形結合起來，最終解決問題。

如圖所示，用剪刀去剪這個正方形紙片，第一次剪去正方形紙片的一半，正方形剩余面積是[12]，第二次剪去剩余圖形的一半，得到的圖形面積是[14]，第三次剪去第二次剪剩的圖形的一半，得到的圖形面積是[18]，即每次剪去前一次剩余圖形面積的一半……那么當第10次剪后得到的圖形面積是（[12]）10，把每次剪下來的圖形面積相加，即得到[12+14+18+…+1210=1-1210]。

總而言之，“數無形不直觀，形無數難入微。”運用數形結合的思想解決數學問題。通過數與形緊密結合，學生的思維完成從“形象”到“抽象”的歸納，從“抽象”到“形象”的反映。

數形結合既是重要的數學思想方法，也是中學數學的基本解題技能，是將知識轉化為能力的紐帶，體現了數學核心素養的內化。因此教師要注意積累有關的素材，注重數學思想方法的滲透和應用，潛移默化地培養學生運用數形結合思想方法的意識，讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。這是發展學生數學核心素養的體現。

參考文獻：

［1］楊鋒潑.初中學生數形結合思想培養的探究［J］.讀與寫（教育教學刊），2010（07）.

［2］羅洪信.在初中數學中蘊藏著的數形結合思想［J］.桂林市教育學院學報（綜合版），2001（02）.