分類討論思想在高中數學中的應用

葉碧桃

摘要：在數學學科的教育教學過程中，分類討論思想受到了眾多數學工作者的關注.分類討論能夠極大提高教學的質量，同時對于分類討論又要充分把握統一分類方法的基本準則，做到分類無重無漏，精簡而沒有任何冗余.

關鍵詞：高中數學；分類討論；生活；體現

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0002-03

分類討論思想是指引導學生們在進行數學綜合解題練習的過程中，了解到問題發展變化中所包含的各種因素.抓住各個問題來確定這些發展變化中的影響條件及可能條件的具體取值及范圍.在問題討論過程中對問題合理分類，對于學生在數學解題以及應用方面具有重要的現實意義.

1 高中數學分類討論在解決數學問題過程中的體現形式在日常高中數學解題訓練和應用實踐中，使用數學分類的思想方法進行解題，一方面可以起到幫助學生找到化解數學難題的思路，另一方面還有助于培養并發展其數學思維.

如在數學函數類解題方式中，采用數學分類或討論等思想方式來進行函數解題，確實是比較實用可行的.在實際使用數學分類及討論的思想方式來進行函數分類解題教學時，要先明確不同的分類函數對自身參數的一般定義要求和一般限制的條件要求各有不同.因此對于函數問題，必須要在該函數本身概念的前提下，逐個進行分類與討論，才能為正確的解題過程提供必要的保障[1].

如在分解討論“對數函數和指數函數”的問題時，就更需要先明確其對數函數本身的概念，以上面這樣做的另一道函數習題為反例“假設a>0且a≠1，比較｜loga（1-x）｜和｜loga（1+x）｜的大小”，在對這一函數問題逐條進行分類討論時，要盡可能地明確“對數函數”概念和“指數函數”函數的基本概念是什么，兩者概念之間又存在一些怎樣的關系，就可以直接將一個指數函數直接轉化為一個對數函數，這樣我們才能進一步對函數x的變化范圍等作出更進一步的討論，從而得出我們最終想要的正確答案.因此，在用高中數學函數知識的分類概念和討論方法解題分析時，根據所學函數概念內容進行綜合分類與討論，才是每個學生在今后的解題思路中首先要注意的.

2 分類討論高中數學中五大知識板塊的應用

數學教師在引導學生進行分類討論前，首先需要明確分類討論需要完成的目標，并以此為基礎，進行后續的分類討論教學活動.在數學教師引導學生分類討論完成的過程中，需要按照考綱的指示與要求，并以學生的實際學習情況為切入點，進而對學生在新課程學習過程當中所遇到的問題進行分析與解決，同時還需要恰當地處理數學必考模塊與數學選考模塊之間的關系，以及數學基礎理論知識與數學試題之間的關系.因此，學生在分類討論的過程中需要做到三個方面：首先，學生在分類討論時應準確把握重點知識內容，并加強對重點知識分類討論的完成力度，同時還需要梳理和歸納易錯易混的數學難點，并以此查缺補漏，對數學難點的分類討論進行完成與鞏固；其次，學生需要以第一輪分類討論完成的內容為基礎，構建數學知識框架，繪制思維導圖，進而完成數學知識的銜接與整合，使學生在運用數學知識時，能夠全方面、多角度地看待數學問題；最后，學生需要對高考的各個題型進行深入的探究，并在探究過程中挖掘具有通用性和綜合性的知識內容與解題思路，從而提高自身的應試技巧[2].

2.1 根據函數類型進行分類討論

在使用函數分類的思想來討論高中數學的解題思路時，要根據其函數類型來進行具體的討論.如在對二次函數中的應用題進行分析的過程中，問題主要分為：定軸動區間函數問題和定動軸動區間函數兩種基本類型.

由于函數類型的基本特點不同，在函數動軸動區間的問題正好恰恰相反.在一個動軸動區間函數分類問題中，通常會有比較明確的具體區間，需要直接依據此區間，對其不確定性質的函數關系式問題進行求解.因此在直接使用函數分類討論問題思想解題時，需要對該函數關系式區間的種類進行詳細討論，并針對題目中所給的具體區間來進行求解.在分類討論函數解題規律時，明確函數類型也十分重要.

2.2 應用于數列問題的解題思路

分類討論思想除了在教學方面具有一定的研究意義，同時對于數列方程的分析也具有重要的推進作用.比如在一些數列分析題型中，題目沒有給出明確的公比值特定取值等，在解決這一類題型中如果運用分類討論的思想，并能夠在解題過程中綜合考量公比值的范圍，最后可以通過分析類比，得到一個具體的比值取值范圍.因此，應用分類討論的思想，對數列問題的解題十分重要.

例如，在學生解答“假設等比數列公比為q，前n項為Sn>0（n=1，3，），求q值”這是一種數列問題，由于該題目沒有給出確切的q值，所以運用分類討論的方法，可以讓學生在解題過程中對于數據的分析更加方便，并通過更加深入的分析，對于q=1或者q≠1兩類情況進行綜合比較，最終得出q的值.

2.3 在三角函數中的應用

根據角度的變化大小，函數思想方法歷來都貫穿于整個高中數學課程教育中，分類討論這種復合解題的思路方法被廣泛適用.

如果題目是銳角三角形時，要首先注意前提條件.例如：sina=13的正弦值為正，可能是在第一象限或者第二象限的角；cosa=13余弦值為正，a可能是第一或者第四象限的角，計算斜率K=tana是應該考慮a等不等于π2等.

2.4 應用于概率問題的解題思路

在數學解題過程中，概率問題具有很多解題方法.而運用分類討論思想對于概率問題進行解題.則是重要的解題方法之一.

在解答關于高考的這類問題以及備考期間，高三學生如要想有效地利用好這些數學分類方法或討論方法，必須先學會以具體的問題作為主要切入點.

如一家連鎖中式早餐店每天就只會專門限量地出售兩種清粥、饅頭包子和另外一種包子.粥類只有這三種：大米粥、小米粥和綠豆粥，每份價錢大約在1.5元；而饅頭也只有兩種：紅糖饅頭和牛奶饅頭，每個1元；肉餡包子只有一種三鮮大肉包，每個價格約3元.陳某最近在這家店第一次吃早餐，花了將近4元的錢，假設陳某以后每次去的早餐價格都不重樣，問他第一次吃到這個包子的價格中獎概率到底又是多少呀？

由題文可知，花費金額為每人4元饅頭的組合公式為：

（1）先要分別再從上面3種粥類2種饅頭中依次隨機的選種，然后分別再依次從各種粥和饅頭中再各選取其1種，共得出6種粥饅頭組合；

（2）再先要分別從3種以上的粥類饅頭組合中依次選出其中的1種，然后依次再選出其中的1個三鮮大肉包，共依次選出3種粥類饅頭；

（3）隨機地選擇饅頭，共隨機選了1種.總選擇的概率情況數是共有6+3+1種=共取10種.吃饅頭到吃包子的總選擇的概率情況是共取3種，選擇概率數為取3/10.

2.5 應用于集合問題的解題思路

現階段，在數學學習過程中，集合類問題在眾多數學問題中占有較大比重.在對數學集合類問題進行運算與訓練分析過程中，學生們可以先運用分析比較的方法對各類元素進行歸類，確定各元素之間的關系.

集合類問題通常是以數學單項判斷填空集合形式和數學綜合單項選擇判斷形式的組合形式，出現在一些普通和高考試卷中，很少發現有以數學單項選擇計算形式為主的集合形式試題.所以請廣大理工科學生朋友們在解集合類數學問題的時候，適當注意對分類數學問題進行回答問題和分析計算.比如：1∈{lna，a}求a的可能值.可以分lna=1和a=1.

由于有些高中數學題目難度較大，且有些數學題目答案要求中往往規定必須同時包含許多解題參數，因此我們教師必須要學會應用數學中的分類式和討論分析法思想，將上述這類題目答案要求中列出的包含許多參數信息的若干數學答案，先進行歸納與討論，然后分析總結出最終答案，最后再逐個對這些數學答案進行分類并統一有序地歸納整理，從而基本完成對每一道數學題目的統一解答[3].

3 分類討論可運用于教材與生活的聯系，融入到培養核心素養中在高中階段的數學學習當中，由于與實際生活之間具有一定的聯系，因此數學教師可以根據這一特點來引入生活中的一些實際問題，幫助學生更好地理解數學的概念知識.在數學教學過程中，教師通過在概念的解釋過程中引入實際問題，可以讓學生更好地感受數學源于生活的意義.在這一過程中，學生可以將數學與生活緊密結合在一起，提高了對于數學學習的積極性與興趣[4].

將數學知識分類思想與問題討論式思想直接融入整個高中數學水平考試中，貫穿于整體分析思維過程和設計框架之中，使廣大高考學生都能輕松地進行全方位、多角度的解題分析思考，從而全面實現高中學生綜合實踐能力素質的快速提高.

參考文獻：

［1］ 李琳，閆笑麗.淺談分類討論思想在高中數學中的應用［J］.才智，2019（04）：116.

[2] 徐佳環.分類討論思想在數學解題方式中的研究［J］.佳木斯學院學報，2019（01）：159-160.

[3] 姜華.探討分類討論，在高中數學函數解題中的應用［J］.高中數理化，2019（4）：34.

[4] 吳愛民.分類討論思想在高中數學解題中的應用［J］.數學學習與研究，2021（12）：129-130.

［責任編輯：李璟］