基于信息化的頻率與概率教學設計與實施

摘要：本文是針對概率論中頻率與概率這1個學時的教學內容，采用試驗探究的自主學習方式，借助學習通、微信群、EXCEL等信息化手段進行的教學設計，旨在豐富教學組織形式、創設良好的課堂氛圍、提高學生的學習興趣 ，并形成能夠滿足學生終生發展需要的能力和素質，實現立德樹人的目標。

關鍵詞：頻率；概率；信息化；教學設計

一、引言

在文獻[1]給出：高職數學信息化教學是在信息化教學理論的指導下，充分利用先進的信息技術實現教學組織形式的多樣性、教學內容的數字化、教學方法和教學手段的信息化，從而拓展師生之間信息交流的渠道，突破數學教學難點，實現教學目標，提高教學效率的系統改革過程。因此，本文將一些信息技術，如微信群、QQ群、學習通和Excel軟件的使用等引入到教學過程中，通過教師的引導學生自主地進行知識探究，改變傳統的講授式教學方式，讓學生們自己感知知識的形成過程，體會到成功的喜悅，從而提高學生對數學學習的興趣和學習的內驅力，為后續課程的學習做了良好的鋪墊。

二、學情分析

大部分學生的數學學習基礎薄弱、學習習慣不好，而且對知識的理解能力和接受能力較差、學習興趣不高，因此在教學過程中選取了多種不同的教學形式以提高學生的學習興趣并增強學生學習的內驅力。

三、教學內容分析

本文是針對任利民、賀利敏主編的工程數學基礎（第二版）模塊四概率論第二節隨機事件的概率中1課時的教學內容：頻率和概率做的教學設計。本部分內容承接第一節隨機事件繼續探究概率論中兩個基本概念：頻率和概率，這兩個概念準確無誤的理解對于后續概率論的學習，特別是正確地進行相應一些概率的計算具有非常重要的意義。

教學重點：隨機事件的頻率和概率的概念以及兩者之間的關系。

教學難點：應用于實際。

四、教學目標設計

知識目標：①了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性的概念及性質；②理解概率的統計定義及性質；③了解頻率與概率的關系。

技能目標：會利用概率的統計定義解決一些實際問題中事件的概率問題。

素質目標：①通過本節課的教學引導學生用隨機的觀點認識世界，使學生了解偶然性與必然性辯證統一的唯物主義思想；②發展學生類比、歸納、猜想等推理能力；③培養學生的數學應用能力以及科學的價值觀與世界觀；④感受信息化的魅力。

五、教學過程的設計與實施

（一）課前任務

至少在上課前一天通過微信群、QQ群或學習通等方式發布課前學習任務單（以50人的班容量為例）：

兩人一組擲硬幣，分別擲5次、10次和30次。期間一個人負責擲硬幣，一個人負責記錄出現的結果，然后計算出試驗中出現正面向上的次數占試驗總次數的比例，最后匯總到學委處。

設計意圖：通過發布課前任務單的形式引導學生參與到課堂教學中來，形成良好的學習習慣。

（二）課中安排

1.任務驅動

首先用PPT展示學生們自己得到的25組數據，然后引導學生思考如下問題：

①這些數據有什么規律嗎？

②能否由此得到在一次擲硬幣試驗中出現正面向上的可能性有多大？

設計意圖：PPT上展示的數據是學生們通過自己認真試驗得到的，因此當學生們看到這些數據的時候會有一點小激動，這樣的環節設計可以初步提升學生繼續學習的動力；然后教師引導學生思考問題，這讓學生們意識到：試驗的目的不僅僅是得到數據，重要的是要對數據進行分析，從而發現規律，最后解決問題。這樣的環節設計有助于培養學生的數學素養，形成學生利用數學知識分析問題、解決問題的意識。

2.合作探究

教師組織并引導學生按照課前分好的小組對數據進行觀察，學生們則按照教師的引導跟自己小組內的成員展開討論，然后形成結論之后每組選派一個代表闡述得到的結論。

學生們得到的結論主要有：①隨著試驗次數的增加，數據的精確度提高了，試驗30次時得到的數據可以精確到小數點后兩個數字；②不管試驗次數是5次、10次還是30次，數據皆主要分布在0.4-0.6之間；并且也有學生提出這樣的疑問：如果僅僅通過觀察的方式，有的時候不易得到數據的規律。針對這種情況，教師首先對各組學生的表現以及該組給出的結論進行點評，然后給出一種利用信息化手段進行數據分析的方法：即利用Excel數據分析中的描述統計功能分析數據，可以得到如下幾組結果：

學生們觀察表1之后則很容易就可以回答教師提出的兩個問題：①不管試驗次數是5次、10次還是30次，數據的平均值、眾數都接近于0.5；標準差和方差都很小，非常接近于0。這樣的結果也說明了：數據真實有效，因為這些數據能夠很好地說明問題；學生們的態度都很端正，因此只要教師布置的是一些學生力所能及且不難完成的任務，學生們都能認真并按時完成。②鑒于結論①，估計在一次試驗中出現正面向上的可能性應該為0.5。

然而，第二個問題的回答只是一種猜想并不確定其真實性。因為我們的試驗次數較少，所以據此作為依據來說明問題不夠嚴謹。這就需要增加試驗的次數來進一步觀察、分析，看看是否能得到相同的結論。

設計意圖：①讓學生體會信息化在分析問題、解決問題時的便捷，因為通過表2-表4可以非常直觀地看到結論。②通過多種不同的教學組織形式對本節課的教學內容進行呈現，不僅可以避免學生的感官疲勞，讓學生的注意力高度集中在課堂上，從而提高學生學習數學的興趣，而且提高學生后續學習數學的內驅力， 為今后數學的學習奠定了良好的基礎。③發展學生類比、歸納、猜想等推理能力，感知偶然性與必然性之間的聯系，初步實現本節課的素質目標。

3.繼續探究

接下來，教師給出一種利用信息化手段模擬擲硬幣過程的方法，即首先用Excel中的RAND（）函數產生隨機數，接著用IF（）函數將小于0.5的隨機數取值為0，代表硬幣出現正面向上；大于等于0.5的隨機數取值為1，代表硬幣出現反面向上[3]。最后利用Excel的篩選功能統計出現正面向上的次數，并計算出其占試驗總次數的比例。

本文分別統計了試驗總次數為600次、3000次和20000次的情況，并且每種情況都重復進行了10次試驗，然后取平均值得到這幾種不同投擲次數下出現正面向上的次數占試驗總次數的比例，如表2所示。

這時候再讓學生觀察這些數據，不難發現隨著試驗總次數的增加，出現正面向上的次數占試驗總次數的比例越來越接近于0.5。這樣的結果進一步印證了可以用0.5來刻畫在一次擲硬幣試驗中出現正面向上的可

能性。這個時候教師給出歷史上做過拋擲硬幣試驗的幾個科學家：蒲豐、皮爾遜和維尼的試驗結果。他們的試驗結果也表明隨著拋擲次數的增加，出面正面向上的次數占試驗總次數的比例總是圍繞在一個常數0.5作幅度越來越小的擺動，并逐漸穩定在0.5附近。但是這些科學家受所處時代的條件限制，試驗只能親自一遍一遍地去做，不能借助于任何現代化的手段與方法。借此可以對學生們進行思政方面的教育，引導學生學習科學家們的嚴謹的科學態度與一絲不茍的敬業精神。

設計意圖：這樣設計不僅可以讓學生體會知識形成的過程，而且由于這些知識都是學生自己探究形成的，并且與科學家們形成的結論是一致的，這讓學生的成就感油然而生，對數學的學習興趣也會大大提高，并且進一步提升了學生分析問題、解決問題的能力。其次，在這個環節中教師穿插了很多對Excel功能的應用。這樣的設計不僅讓學生體會到了計算機軟件的方便，感受到信息化的魅力，而且讓枯燥乏味的數學課堂增加了活力，活躍了課堂氣氛。另外，教師還能不失時機地對學生們進行思政教育，實現立德樹人的目標，滿足學生終身發展的需要。最后，從知識目標方面來說這樣的流程讓學生更容易循序漸進地理解并掌握本節課中所要學習的幾個概念：頻率的定義、頻率的性質、頻率的穩定性、概率的統計定義、概率的性質。

4.新知講解

在學生們自己探究初步形成相關概念的基礎上，教師詳細講解本節課中所要學習的幾個概念的精確定義如下[2]。

頻率的定義：在相同的條件下進行n次試驗，其中事件A發生的次數m與試驗總次數n的比值稱為事件A發生的頻率，記為，即

頻率的性質：；；。

頻率的穩定性：對于隨機試驗，就某一次具體的試驗而言，其結果帶有很大的偶然性，似乎沒有規律可言，但大量的重復試驗證實結果則會呈現出一定的規律性，也就是我們通常所說的統計規律性。

概率的統計定義：當隨機試驗次數n增大時，事件A發生的頻率 將穩定于某一常數P，則稱該常數P為事件A發生的概率，記為。

概率的性質：對任一事件A有；；。

設計意圖：經過教師的詳細講解之后，學生對這些概念的理解更加深刻、準確。這樣的環節可以讓學生體會到具備認真嚴謹學習態度的重要性，幫助學生樹立良好的學習態度；另外，通過本節課的教學內容學生學會了用隨機的觀點去認識世界，深刻理解了辯證唯物主義思想中偶然性與必然性的辯證統一關系，進一步實現了素質目標。

5. 實際應用

例：從某魚池中取120條魚，做上記號后再放回該魚池中，現從該池中任意捉來50條魚，發現其中3條有記號，問池內大約有多少條魚？

教師引導，學生繼續進行小組討論，不一會兒所有小組就已經形成結論，并推舉一名代表進行闡述：假設池內有n條魚，根據頻率和概率的關系知道，當n較大時可以用頻率近似代替概率，因此從池內任取一條魚有記號的概率為120/n或3/50，這兩個分數應該是相等的，因此不難得到n=2000，也就是說池內大約有2000條魚。

設計意圖：通過實際問題的解決，培養應用數學知識解決問題的意識和能力，鞏固學生學習數學的熱情與內驅力。

（三）課后任務

教師發布開放性問題：查閱相關資料，收集一些其他能夠實現擲硬幣試驗的方法或軟件，在微信群里進行分享討論。

設計意圖：通過這樣的設計環節讓學生感知到數學與計算機科學的聯系，真正體會數學的魅力。

六、教學反思

本節課是一節概念課，在概念的形成過程學生為主體、教師為引導，改變傳統的教學模式，體現了教師教學行為的改變。本文通過創設情境，讓學生主動參與；通過實驗探討，讓學生自主探究并提出疑問；通過教師適當點撥，讓學生開拓創新；通過恰當選題，讓學生學會自我評價和反思；通過歸納體驗的過程，讓學生把知識納入系統，使學生體驗、感悟、經歷、認知。

七、結束語

本文是對概率論中頻率與概率1課時的內容進行的教學設計與實施。在教學實施過程中改變了傳統的教師教、學生學的灌輸式教學方式，充分發揮學生的主體作用，讓學生在教師的引導下采用小組的形式對將要學習的內容進行探究。同時，為了創設良好的課堂氛圍、激發學生對數學學習的興趣，利用微信群、EXCEL與PPT這些信息化手段豐富教學組織形式。然而，隨著信息技術的發展，信息化手段多種多樣、層出不窮，因此在信息化手段的使用上還有許多進步的空間。

作者單位：趙志英 山西職業技術學院基礎教學部

參? 考? 文? 獻

[1]. 朱鵬華. 高職數學信息化教學改革探索與實踐[J]. 職業技術教育， 2014，35（32）：41-43.

[2]任利民 賀利敏. 工程數學基礎（第二版）[M]. 北京：化學工業出版社， 2015：119-120.

[3]鄒來智 吳強. 基于Excel的擲硬幣實驗[J]. 電腦知識與技術， 2010，6（04）：930-931.

趙志英（1984.10-），女，漢族，山西忻州，碩士研究生，講師，研究方向：應用數學。