注重創新能力培養的微分方程數值解法課程教學探索與實踐

傅紅筍 谷瑞雪 賈翠滿

摘? 要：研究生教育位于整個學制體系的最高層次，是學生與人才身份轉換的關鍵環節。針對新形勢下研究生課程對提高學生科研創新能力的培養要求，結合微分方程數值解法既有數學的抽象性與嚴密性，又有計算機科學的實踐性與技術性的課程特點，以創新研究能力培養為核心目標，從課程意義、教學內容、教學方法和考核評價等方面闡述研究生微分方程數值解法課程的建設情況，以及關于課程教學進一步改進的探討。

關鍵詞：研究生課程；微分方程數值解法；創新能力培養；教學方法；課程建設

中圖分類號：G420? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）S1-0069-04

Abstract： Postgraduate education， as the highest level of the whole educational system， is the most critical link in the transformation between students and talents. In view of the requirement of graduate courses to improve students' scientific research innovation ability under the new situation， this research combines with the characteristics --the abstractness and rigor of mathematics and the practical and technical characteristics of computer science-of the course "Numerical Solution of Differential Equations". Takingthe cultivation of innovative research ability as the core， this paper expounds the construction of the course "Numerical Solution of Differential Equation" for graduate students from the aspects of course significance， teaching content， teaching method， examination and evaluation， and discusses the further improvement of course teaching.

Keywords： postgraduate course; numerical methods of the differential equations; innovation ability cultivation; teaching method; construction of course

基金項目：大連海事大學研究生教育教學改革項目“微分方程數值解法”（YJG2022606）

第一作者簡介：傅紅筍（1978-），女，滿族，遼寧大連人，理學博士，教授，碩士研究生導師。研究方向為微分方程正反問題的數值解法。

*通信作者：谷瑞雪（1994-），女，漢族，遼寧大連人，理學博士，講師。研究方向為反問題理論、算法及應用。

研究生教育作為最高層次的國民教育，其不同于本專科教育的突出特點就是“研究”。習近平總書記指出：“研究生教育在培養創新人才、提高創新能力、服務經濟社會發展、推進國家治理體系和治理能力現代化方面具有重要作用。”研究生人才培養是一個復雜的系統工程，課程教學是研究生培養中最重要的一個環節，是全面提升研究生科研創新能力的基礎，是學生順利完成學位論文的關鍵。2020年教育部、國家發展改革委、財政部發布《關于加快新時代研究生教育改革發展的意見》強調：“提升研究生課程教學質量……完善課程設置、教學內容的審批機制，優化課程體系，加強教材建設，創新教學方式，突出創新能力培養。”在雙一流建設、打造研究生“金課”的雙重背景下，優化研究生課程教學內容、提升研究生課程教學質量是深化研究生教育改革的重要內容[1]，也是學生素質教育的重要組成部分。本文結合近幾年微分方程數值解法的教學實踐，對該門課程的意義、教學內容、教學方法和考核手段等進行闡釋，旨在探究如何通過課程教學培養學生的創新研究能力，激發學生豐富的想象力和探索欲望。

一? 課程的意義與教學內容

針對課程知識點多，公式推導繁瑣，而課時數（32學時）少的問題，在教學內容的安排上貫徹少而精的原則。突出講解那些最具代表性的算法、最常用的離散手段、最關鍵的理論分析、最前沿的研究思路，而對那些原理相近、研究技巧相同的內容只加以引導和提示，注重培養學生舉一反三的能力，在有限的學時里把培養學生的自學能力和研究創造性放在首位來考慮。為此，我們對教學內容進行了合理的選擇，主要包括四個模塊。

（一）? 常微分方程數值解法（8學時）

本部分內容包括：微分方程數學模型及舉例；微分方程數值解的重要意義和基本思想、歐拉法及其改進格式、龍格-庫塔法，以及算法的相容性、穩定性和收斂性的引入和證明。這部分內容相對簡單，但蘊含的數學思想和科學研究思路卻是極為豐富和深刻的。通過這一模塊的學習，學生明確了微分方程的數值解法需要解決的主要問題有三個：①如何將微分方程離散化， 并建立求其數值解的近似格式？ ②如何估計近似公式的局部截斷誤差與整體誤差？③如何保證近似公式的穩定性與收斂性？ 這樣一來，學生就對后面的學習有了清晰的認識。

（二）? 偏微分方程簡介（4學時）

本部分內容包括：偏微分方程的分類、邊界條件和一階方程組。這部分以概念的回顧與總結為主，具有承前啟后、溫故知新的作用。目的是讓學生清楚橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程的物理、工程背景和內在的數學性質，雖然不同類型的方程在數值計算中面對的上述三個主要問題是一樣的，但求解手段和技巧應該有所區別和側重，如同“知人善用”“知己知彼、百戰不殆”。

（三）? 偏微分方程有限差分法（16學時）

本部分內容包括：有限差分法的基本概念和理論；橢圓型方程的差分方法；拋物型方程的有限差分法；雙曲型方程的差分方法。有限差分法既有豐富的理論研究又有廣泛的工程實踐，一直是微分方程數值解法研究的主流，算法的更新也非常迅速且越來越高效，各種算法的對比可以聚焦學術批判能力培養，強化學生的創新能力養成。

（四）? 有限元法簡介與最新文獻分享（4學時）

本部分內容包括：有限元法的歷史、有限元法的基本思想、自適應有限元法及相關商業軟件。告訴學生我國數學家馮康院士在19世紀60年代初獨立于西方創始了有限元數學理論，為有限元方法的發展作出卓越貢獻，激發學生的民族自豪感，調動學生的探究心理，引導學生查找、研讀最新的相關資料。

二? 教學方法與實踐

長期的教學實踐，最大的心得：一門好的課程，既要有好的教學內容，又要緊密結合學生的實際。為此，無論課程講授了多少遍，都要認真備好每一堂課，備教學內容也備學生。每一個知識點都精心準備、每一個細節都反復推敲。總是想盡辦法用淺顯易懂的道理、生動形象的語言將枯燥抽象的數學內容傳授給學生；巧妙設計簡單有趣的案例，將深奧的數學思想表達給學生；教給學生的不單純是知識，更主要的是指引學生如何發現問題、解決問題并進一步改進解決方法，將學生創新意識和創新能力的培養貫穿于整個教學過程之中。具體體現在以下三個方面。

（一）? 多角度理解算法，培養多角度思考能力

數值解法的基本思想是先取自變量一系列離散的點，將連續模型離散化。離散化的手段常用的有三種：數值微分、數值積分和泰勒公式。因此，可以通過不同的離散手段得到相同的數值算法。

這個例子作為第一堂課的主要內容之一，不僅可以讓學生初步了解微分數值解法的基本思想，又可以引導學生對待科學問題要從不同角度、采用不同手段進行分析和處理，“殊途同歸”地發現真理。通過簡單且經典的案例，拓展學生思維、引導學生多角度分析問題，為學生進入更深層次的學習做好準備。

（二）? 層層遞進的問題設置，激發勇于探索求新精神

所謂的微分方程數值解法，就是研究利用計算機求解微分方程數值解的數值方法及相關理論。牛頓說“一個例子比十個定理有效”。在講授一般性方法和理論之后，針對有實用背景的典型案例與同學一起建立算法并完成截斷誤差、穩定性等理論分析。為了讓學生對理論結果有進一步的體會，同時鍛煉學生的編程能力，設置程序編寫、參數敏感性、算法比較等一系列層層遞進的題目，在課堂上引導學生積極思考、自由討論解決問題，還可以在討論之后提出新問題。

課堂上，完成例2中前面四個問題后，學生根據自己編寫的程序運行后的可視化結果（如圖1所示），可以得到結論：對于對流擴散方程，尤其在對流占優 （對流速度的絕對值比擴散系數大得多） 時，中心顯式差分格式往往會產生數值的振蕩；而迎風差分格式雖能在一定程度上消除這種振蕩，但由于其“過量”地反應解的情況，導致了數值解的擴散。最后一個問題作為作業，讓學生通過查找資料、結合自己的興趣給出國內外學者最新的解決方案或者自己提出新的解決方法。理論+問題+查新，學生在“學中用”，在“用中學”，實現了理論與實踐的有機融合，激發了學生的興趣，強化了科學方法訓練和學術素養培養。

（三）? 科研與教學相融合，強化課程內容前沿性

著名教育改革家、德國柏林洪堡大學創始者威廉·馮·洪堡早在兩百多年前就明確提出了“教學與科研相統一”的思想。清華大學融合式教學指導專家組組長于歆杰教授指出“教師應努力將個人或團隊的科研成果在教學內容中酌情體現”[4]。本人及其科研團隊主要致力于復雜介質中波動方程反演算法研究，我們承擔了多項國家自然科學基金項目的研究工作、發表了多篇相關的高水平論文。因此，在講到雙曲型方程的有限差分法時，以地震勘探技術為工程背景，講授油氣藏勘探開發過程，重點講解如何應用有限差分方法求解描述地震波在地下介質中傳播的一維、二維聲波方程和彈性波方程。在講授基本方法的基礎上，講授自己利用基本概念和分析方法來解決科研項目中的學術問題并做出科研突破的過程和感悟，每當此時學生們都會表現出相當高的關注度。“有術且悟道”應是一名教師畢生的追求，“言傳身教”要堅持不懈開展高水平、前沿性科研工作，并主動將研究成果轉化為教學內容，在教學與科研的融合中教學相長、師生間彼此成就。

（四）? 課后答疑，線上線下綜合運用

課后答疑也是教學過程的重要一環，尤其是近年來以線上授課為主的教學模式，相對于面對面授課的線下教學模式，師生之間的交流還是很不充分的[5]。事實上，歷史上很多的科研靈感都是在咖啡館兒里，面對面的交流中碰撞出來的思想火花。在答疑環節，主要做了三方面的工作：其一，隨時歡迎學生到辦公室當面答疑，及時解決課程中出現的疑問；其二，借助每周組內研討會，鼓勵學生思考微分方程數值解法領域的前沿和熱點問題，并與老師們共同探討研究；最后，利用課程QQ群，學生有問題時，可以直接在群里相互討論或給教師留言，教師每天上線后及時解答。

三? 多元化考核機制，評價貫穿過程始終

課程考核作為教學活動的最后一個環節，是檢驗課程學習效果和衡量課程授課質量的關鍵步驟之一。科學、合理的考核不僅能夠檢驗學生對課程知識的掌握程度，而且有利于教師在今后教學中有針對性地調整教學內容和教學模式。鑒于微分方程數值解法課程是一門研究生專業核心選修課，側重于在課程學習過程中對學生創新思維的引導，以及學術研究能力的培養，因此課程的考核采用平時成績、作業成績和課程小論文相結合的多元化過程考核方式。平時成績占10%，主要考查平時的課堂考勤、課堂討論參與度等內容。作業成績占40%，每個教學模塊結束后布置一次作業，作業內容既有理論推導驗證，又有實驗編程，綜合考察學生對數學理論的掌握情況和利用程序設計語言和計算軟件解答題目的能力。既有數學的抽象性與嚴密性，又有計算機科學的實踐性與技術性，微分方程數值解法這一基本特點在作業中充分展現。最后是課程小論文占50%，要求學生結合今后的研究方向，融合課程所學的內容，以學術論文的形式完成規范排版，重要考核點在于：摘要簡潔扼要、選題新穎，具有理論和實際工程意義、理論推導嚴密詳實、數值計算細致可靠、引用經典和最新的參考文獻，以及提出未來的研究工作設想與展望。

四? 結束語

近年來在微分方程數值解法課程的建設和實踐中，我們制作了多媒體課件，建立了豐富的教學案例，設置了部分思考題和數值實驗等輔助教學內容，基本解決了微分方程數值解課時少與教學內容多的矛盾，使學生能夠學以致用，既掌握微分方程數值解法中基本的數學原理，又能夠借助Matlab、Python軟件解決自己研究方向的實際問題。“將經典與學科前沿緊密結合、將基礎算法原理與代碼編程相融合，全面提升學生的學習興趣、動手能力及科研創新精神”是我們正在做，并且要持續做下去的重要工作。微分方程數值解法課程的實踐教學經驗對于其他研究生課程亦是有借鑒意義的。

參考文獻：

[1] 張瑜，孫繼濤.以創新能力培養為導向的應用數學類研究生教學探索與實踐[J].大學數學，2020，36（2）：44-48.

[2] 張新明.面向工科研究生的《微分方程數值解》教學改革與實踐——基于分層次項目驅動教學法[J].高教學刊，2018（3）：136-137，141.

[3] 陸金甫，關冶.偏微分方程數值解法（第三版）[M].北京：清華大學出版社，2016.

[4] 于歆杰.理工科核心課中的課程思政——為什么做與怎么做[J].中國大學教學，2019（9）：56-60.

[5] 王偉，馬永柳，杜宜賓.“復變函數”課程線上教學的實踐探索[J].黑龍江教育（高教研究與評估），2021（7）：57-58.