指向數(shù)學“再創(chuàng)造”的具身認知活動

滕玲

[摘 ? ?要]具身認知視域下的“再創(chuàng)造”活動，是一種經(jīng)歷橫向數(shù)學化、縱向數(shù)學化、數(shù)學結(jié)構(gòu)化的活動。引導學生數(shù)學再創(chuàng)造活動，要求教師要先行組織、對學生進行原型啟發(fā)、演繹修正等。指向?qū)W生數(shù)學“再創(chuàng)造”的具身認知活動，能激發(fā)學生學習的“高興趣”、促進學生的“深體驗”“廣聯(lián)結(jié)”等。具身認知視域下“再創(chuàng)造”活動，旨在改變傳統(tǒng)數(shù)學教學“說教化”“紙筆化”現(xiàn)狀，從而更好地彰顯數(shù)學學科的育人功能，體現(xiàn)數(shù)學學科教育的時代性。

[關(guān)鍵詞]小學數(shù)學；具身認知；再創(chuàng)造；高階思維

高階思維是一種積極主動地分析、評價的思維活動。在小學數(shù)學學科教學中，培育學生的高階思維，關(guān)鍵是要引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”。學生的數(shù)學知識再創(chuàng)造，不僅依靠學生的腦，而且依靠學生的眼、手等感官活動。具身認知，是引導學生進行數(shù)學“再創(chuàng)造”的重要方式?；诰呱碚J知的數(shù)學“再創(chuàng)造”，應當指向?qū)W生高階思維的發(fā)展。具身認知，要求教師要充分發(fā)揮學生的多種感官功能，讓學生的多種感官協(xié)同活動，從而促進學生數(shù)學學習力的發(fā)展、數(shù)學核心素養(yǎng)的生成。

一、具身認知視域下數(shù)學“再創(chuàng)造”的內(nèi)涵

所謂“再創(chuàng)造”，就是將要學習的知識自己生產(chǎn)出來?！霸賱?chuàng)造”應當是學生數(shù)學學習的最為重要的方式。根據(jù)荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾的觀點，“再創(chuàng)造”的過程就是讓學生將學習對象數(shù)學化的過程，它分為“橫向數(shù)學化”和“縱向數(shù)學化”。[1]所謂“橫向數(shù)學化”，也就是從生活、現(xiàn)實、對象到數(shù)學的一種提煉、抽象和概括；所謂“縱向數(shù)學化”，就是在數(shù)學學科世界中對相關(guān)的數(shù)學知識進行再重塑。

（一）從形真到神真：引導學生經(jīng)歷“橫向數(shù)學化”

“橫向數(shù)學化”是一種從生活到數(shù)學的抽象。為此，教師要從學生的生活經(jīng)驗開始，引導學生進行思考、探究。要將學習對象進行抽象和提煉、抽象和概括。這個過程也就是形式化、公理化的過程。同時，教師還要引導學生善于應用數(shù)學學科知識進行解釋、應用，將數(shù)學學科知識應用到生活實踐中去。換言之，在引導學生“再創(chuàng)造”學習過程中，教師一方面要引導學生經(jīng)歷數(shù)學化過程；另一方面要催生學生進行生活化應用。如，教學“一一間隔”這一部分內(nèi)容時，我借助于多媒體課件，呈現(xiàn)了學生生活中的諸種“一一間隔”排列現(xiàn)象，引導學生逐步地抽象、概括。一開始，學生僅僅關(guān)注了特征現(xiàn)象，如“某某物體比某某物體多一個”。隨著觀察、比較、操作等具身認知活動的深入，學生逐步抽象、概括出“兩端物體相同，兩端物體比中間物體多一個；兩端物體不同，兩種物體的個數(shù)相等”等。在此基礎(chǔ)上行，通過追問、成組的圈畫，能讓學生深刻認識到“特征背后的數(shù)理”，即“兩端物體相同，整組圈畫最后一定剩下一個”“兩端物體不同，可以進行整組圈畫”。由此，學生會用自己的方式進行概括，如符號概括等。橫向數(shù)學化能發(fā)展學生的抽象思維。

（二）從表層到本質(zhì)：引導學生經(jīng)歷“縱向數(shù)學化”

“縱向數(shù)學化”是一種對數(shù)學知識的進一步提煉、抽象和概括?？v向數(shù)學化，能讓學生的數(shù)學學習從表層走向深層、從現(xiàn)象走向本質(zhì)。縱向數(shù)學化，要促進學生對相關(guān)學科知識的深度理解。如教學“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一部分內(nèi)容時，學生遇到了這樣的問題：++……。有學生采用了“實算”的方法；有學生采用了“以小見大找規(guī)律”的策略等。但我認為，這兩種方法都是一種“表層方法”，是一種通過觀察得到的方法。如何引導學生的數(shù)學學習從表層走向本質(zhì)？我在教學中引導學生畫圖，讓學生邊畫邊思、邊思邊畫。通過學生具身認知，促進學生的認知進階、思維進階。學生用正方形來表示整數(shù)“1”，然后依次表示在解決問題的過程中，抓住“分數(shù)”“分數(shù)算式”等的特點，引導學生逐步縱向數(shù)學化，讓學生建構(gòu)“算式”的圖式模型。學生借助于數(shù)學模型有效地解決了數(shù)學問題，同時對問題的數(shù)學本質(zhì)也有了深刻的感悟?？v向數(shù)學化，促進了學生的數(shù)學認知推進。

（三）從低階到高階：引導學生經(jīng)歷“結(jié)構(gòu)數(shù)學化”

結(jié)構(gòu)數(shù)學化是一種基于學科系統(tǒng)的整體建構(gòu)。它往往是在學生經(jīng)歷了“橫向數(shù)學化”和“縱向數(shù)學化”的基礎(chǔ)上展開的。結(jié)構(gòu)化是將數(shù)學學科知識整合起來，成為一個系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的整體。瑞士教育心理學皮亞杰曾經(jīng)這樣說，“全部的數(shù)學都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮”，而這種建構(gòu)始終是開放性、動態(tài)性、生成性的。皮亞杰認為，“數(shù)學就是用更強的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化”。[2]如在教學“角的度量”這一部分內(nèi)容時，一方面，我依托學生的“認識厘米”的學習經(jīng)驗，引導學生進行知識建構(gòu)；另一方面，通過這一部分內(nèi)容的教學，引導學生樹立一種“包含”的大觀念，即“測量對象中包含多少個測量單位”。循著這一結(jié)構(gòu)化教學思路，就可以引導學生通過具身認知活動來認識“角的度量單位”“建構(gòu)量角尺的雛形”，并讓學生把握作為測量角的大小的工具——“量角器”以及測量角的活動的本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，引導學生學習其他相關(guān)數(shù)學與知識如“長方形的面積”“長方體的體積”“時分秒”等時，學生就能積極地實現(xiàn)知識遷移、方法遷移等。結(jié)構(gòu)數(shù)學化有助于學生對整個的數(shù)學學科系統(tǒng)進行整體性建構(gòu)。

具身認知視域下的數(shù)學與再創(chuàng)造，是一種手腦協(xié)同活動的再創(chuàng)造。借助于橫向數(shù)學化、縱向數(shù)學化和結(jié)構(gòu)數(shù)學化，學生的思維能有效地爬坡。作為教師，要激發(fā)學生具身認知的興趣，調(diào)動學生的具身認知積極性，讓學生的具身認知喚醒、激發(fā)、生長學生的數(shù)學高階思維。

二、具身認知視域下的數(shù)學“再創(chuàng)造”的策略

基于具身認知的視域，教師在教學中要引導學生進行積極的再創(chuàng)造。為此，教師要將教材中處于壓縮形態(tài)的數(shù)學學科知識解壓縮，通過學生的再創(chuàng)造活動，恢復其誕生時候的鮮活狀態(tài)。[3]實踐證明，只有讓學生進行具身認知、充分地經(jīng)歷數(shù)學學科知識的再創(chuàng)造，才能助推學生的數(shù)學學習，才能讓學生掌握數(shù)學學科知識的本質(zhì)。

（一）先行組織，為學生數(shù)學“再創(chuàng)造”提供條件

學生的數(shù)學學習再創(chuàng)造，不同于人類探索知識時候的原始創(chuàng)造。在引導學生進行數(shù)學再創(chuàng)造的過程中，教師要創(chuàng)設(shè)平臺、提供條件，對學生的再創(chuàng)造進行助推。同時，通過提供條件、搭建平臺、給予支架，能提高學生數(shù)學再創(chuàng)造的效能。為此，教師要對相關(guān)的內(nèi)容、素材、資源等進行發(fā)掘，要對相關(guān)的內(nèi)容、資源、素材進行先行組織。通過先行組織，幫助學生搭建再創(chuàng)造的橋梁。如教學“梯形的面積”這一部分內(nèi)容時，教師就可以應用“平行四邊形的面積”“三角形的面積”等相關(guān)活動經(jīng)驗，搭建學生數(shù)學再創(chuàng)造的橋梁。如我在教學中首先引導學生復習“三角形的面積公式”“平行四邊形的面積公式”，回歸它們的推導過程，從而為學生創(chuàng)造梯形的面積公式奠定過程形態(tài)探究的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，放手讓學生展開自主性、自能性的思考、探究。學生就主動調(diào)動自我的經(jīng)驗進行積極的嘗試，并進而搜索頭腦中的相關(guān)的經(jīng)驗線索、知識脈絡(luò)等。他們或畫圖推導，或操作推導。自行應用相關(guān)的方法如“倍拼法”“剪拼法”“分割法”等借助于具身認知活動，建構(gòu)、創(chuàng)造出梯形的面積公式。如此，學生對新知舊知以及相關(guān)聯(lián)的將來學習的未知就能形成一種有生命力的知識結(jié)構(gòu)，進而形成有活力的認知結(jié)構(gòu)。

（二）原型啟發(fā)，對學生數(shù)學“再創(chuàng)造”形成啟示

具身認知視野下的再創(chuàng)造，應當是一種啟發(fā)、引導、點撥下的再創(chuàng)造。在學生的再創(chuàng)造過程中，教師不宜將數(shù)學再創(chuàng)造的方法直接告知、告訴，而應當借助于原型對學生進行啟發(fā)，讓學生獲得啟示，如知識原型、生活原型等。如，教學“畫平行線”這一部分內(nèi)容時，很多教師往往苦口婆心地講解畫平行線的要領(lǐng)。學生盡管“記住”了所謂的“兩重合”等要點，但卻很容易遺忘。究其根本，是因為學生對“畫平行線”缺乏鮮活的操作表象。作為教師，不妨向?qū)W生展示推拉門、推拉窗戶的操作過程，幫助學生在頭腦中建立“生活原型”。然后，引導學生根據(jù)生活原型進行數(shù)學再創(chuàng)造：畫平行線關(guān)鍵是什么？（讓三角尺或者支持能平移）如何讓三角尺或直尺平移？（建立軌道）如何建立軌道？（讓三角尺或直尺與所平行的直線重合）。如此，學生就會借助于生活原型進行再創(chuàng)造，從而形成一種具身認知的樣態(tài)。實踐證明，生活原型能固化學生的數(shù)學認知，能推動學生的數(shù)學再創(chuàng)造。借助于生活原型等的經(jīng)驗性認知，學生會找到新知與原型的關(guān)聯(lián)，找到問題解決的路徑，進而能有效建構(gòu)新知。通過原型啟發(fā)，能有效發(fā)展學生的數(shù)學抽象、反思和創(chuàng)造能力。

（三）演繹修正，為學生數(shù)學“再創(chuàng)造”糾偏航向

學生的數(shù)學學習“再創(chuàng)造”，是一種積極的嘗試、探索過程。在這個過程中，學生難免會發(fā)生錯誤。作為教師，可以通過邏輯演繹，對自我的數(shù)學猜想、類比等證實或證偽。演繹修正，就是要為學生的數(shù)學“再創(chuàng)造”糾偏航向。教學中，教師要引導學生將自我的直覺思維與演繹思維等結(jié)合起來，引導學生進行合理性、合情性的猜測，對猜想等進行驗證、檢驗。如，在教學“3的倍數(shù)的特征”時候，學生會自然地隱喻類比“2的倍數(shù)的特征”“5的倍數(shù)的特征”等相關(guān)內(nèi)容，形成錯誤的猜想。面對學生的錯誤猜想，教師不必失措，而應當順著學生的思路，引導學生通過具身性的驗證實驗活動對自我進行否定，從而糾正學生的錯誤猜想、激發(fā)學生新的猜想。借助于百數(shù)表的深度觀察，借助于“計數(shù)器聽音判定”等相關(guān)的游戲活動，學生能提出新的猜想，并積極主動驗證自己的猜想。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導學生演繹證明，將一個數(shù)分成若干個9、99、999等以及各個數(shù)位上數(shù)字的和。我們知道，若干個9、99、999等一定是3的倍數(shù)。因此，決定一個數(shù)是否3的倍數(shù)關(guān)鍵是看這個數(shù)減去若干個9、99、999等后余下的數(shù)，也就是各個數(shù)位上數(shù)字之和。在具身性的操作、演繹性的修正活動中，學生對數(shù)學學科知識的認知達到本質(zhì)。

“再創(chuàng)造”的方式方法很多。作為教師，要引導學生充分經(jīng)歷數(shù)學化的過程。要創(chuàng)設(shè)條件、打造平臺、提供幫助，助推學生的數(shù)學再創(chuàng)造活動。通過數(shù)學“再創(chuàng)造”，提升學生的數(shù)學學習力，讓學生學會思考、學會建構(gòu)、學會創(chuàng)造。實踐證明，“再創(chuàng)造”是學生數(shù)學學習的有效方式，能發(fā)展學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”。

三、具身認知視域下的數(shù)學“再創(chuàng)造”的價值

學生的數(shù)學學習“再創(chuàng)造”對于學生的數(shù)學學習而言具有重要的意義和價值。在小學數(shù)學學科教學中，教師要引導學生觀察、比較、猜想、驗證、推理、嘗試等“身心一體”的活動。具身認知與學生的數(shù)學學習有著天然的關(guān)聯(lián)。作為教師，要通過學生的數(shù)學化活動，通過學生的具身認知活動，激發(fā)學生的學習興趣、深化學生的體驗、讓學生建立廣泛的認知聯(lián)結(jié)。

（一）“再創(chuàng)造”學習能激發(fā)學生“高興趣”

相比較于說教性的數(shù)學學習，“再創(chuàng)造學習”一種更高興趣的學習。再創(chuàng)造，讓學生真正成為數(shù)學學習的主體、主人。在數(shù)學“再創(chuàng)造”活動中，學生會積極主動地猜想、探究，將學習內(nèi)容作為研究對象。如此，數(shù)學學習內(nèi)容在學生的眼里、心中就會變得有趣起來。對于學生來說，他們學習的動力不應當僅僅來自外部的壓力，更應當來自自身的一種內(nèi)在需要、興趣、欲望。“再創(chuàng)造”學習，就是給學生提供了更多的動腦、動手等的手腦協(xié)同認知的機會，點燃了學生的內(nèi)在學習興趣、積極性、探索欲望等。如教學“長方體和正方體的認識”這一部分內(nèi)容，如果教師僅僅讓學生觀察、歸納特征，整個學習就會顯得索然無味。如果教師引導學生具身認知，讓學生動手做一個“長方體模型”，才會激發(fā)學生學習興趣。學生就會積極主動地尋找、探尋結(jié)構(gòu)性的小棒，進而會將這些小棒搭建成長方體。在這個過程中，學生自然會認識長方體的特征。這種對長方體特征的掌握，是學生的一種感受性、體驗性的認知，是深刻的、持久的。

（二）“再創(chuàng)造”學習能引發(fā)學生“深體驗”

“再創(chuàng)造”活動是一種手腦一體化的活動。既然是“手腦協(xié)同”“手腦一體”化的活動，就一定能深化學生的“學習體驗”。[4]在數(shù)學“再創(chuàng)造”活動中，教師將學生的外在壓力轉(zhuǎn)化為自身的內(nèi)在需要，將單一的紙筆演算轉(zhuǎn)變?yōu)榫呱砘顒樱湍茏寣W生獲得深度體驗。作為教師，要給予學生更多的動腦思考、動手實踐機會。如，教學“可能性”這一部分內(nèi)容，如果僅僅指向結(jié)果，很多學生都會憑借自身的經(jīng)驗、直覺直接得出相關(guān)的“結(jié)論”。而如果教師引導學生開展 “摸球”的具身認知實驗活動，就會深化學生的認知體驗，讓學生生發(fā)出諸多的感悟。如有的學生認為，每一次摸球，袋子中的每一個球被摸到的可能性是相等的；有的學生認為，為了讓每一個球被摸到的機會均等，每一次摸球時應當搖一搖袋子；有的學生認為，每一次摸球之后應當將被摸到的球放置到袋子中，等等。正是通過摸球的具身實踐，才能讓學生不僅對摸球的結(jié)果有了認知，而且對摸球的過程也產(chǎn)生了科學性的見解、主張。具身認知活動，讓學生對學習表現(xiàn)出強烈的探究興趣、探究愿望。

（三）“再創(chuàng)造”學習能促進學生“廣聯(lián)結(jié)”

具身認知視野下的數(shù)學“再創(chuàng)造”活動，能引導學生對之進行深度加工、多變處理、靈活應用。作為教師，要采用不同的方式進行聯(lián)結(jié)，將學生頭腦中相關(guān)數(shù)學學科知識串接成線、連線成面、勾面成體。要通過具身認知活動，引導學生對數(shù)學知識形成過程產(chǎn)生針對性、多層面的認知。要通過經(jīng)驗豐富、擴展、深化，對學生進行經(jīng)驗的改造、重組。如，教學“異分母分數(shù)加減法”這一部分內(nèi)容時，我就有意識地喚醒、激活學生的“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”等相關(guān)活動經(jīng)驗，引導學生再創(chuàng)造“異分母加減法的法則”。在觀察、比較、演算、驗算的過程中，學生能積極主動地將“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“異分母分數(shù)加減法”等相關(guān)內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，從而引導學生建構(gòu)一種整體性、上位性的認知，即“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”。這樣的一種上位認知，就是學生的高觀點、大觀念，對于學生后續(xù)學習相關(guān)加減法知識具有重要的啟發(fā)、遷移作用。

具身認知視域下的“再創(chuàng)造”活動，能有效發(fā)展學生的高階思維。作為教師，要努力創(chuàng)設(shè)條件、打造平臺，讓學生成為數(shù)學學科知識的建構(gòu)者、創(chuàng)造者，成為數(shù)學定理、法則的發(fā)現(xiàn)者、探索者。基于具身認知視域下的“再創(chuàng)造”活動，旨在通過學習方式、學習理念等的轉(zhuǎn)變，來培育學生的數(shù)學素養(yǎng)，從而改變傳統(tǒng)數(shù)學教學“說教化”“紙筆化”現(xiàn)狀，從而更好地彰顯數(shù)學學科的育人功能，體現(xiàn)數(shù)學學科教育的時代性。

參考文獻：

[1]徐慈華，黃華新．問題求解與隱喻認知［J］.浙江社會科學，2022（10）：109－115．

[2]皮亞杰．發(fā)生認識論原理［M］．王憲鈿，譯.北京： 商務印書館，1981：79．

[3]波利亞．數(shù)學與猜想數(shù)學中的歸納與類比［M].李心燦，王日爽，李志堯，譯． 北京： 科學出版社，2001： 36．

[4]謝圣英，喻平．數(shù)學教育中的隱喻研究［J］.數(shù)學教育學報，2013，22（02） ： 5－10．

（責任編輯：朱福昌）