基于審美教育的高中數學課堂教學的實踐研究

孫青

摘要：隨著數學新課程改革的不斷推進，數學審美教育的研究受到越來越多的關注.如何在數學課堂教學中滲透數學審美教育，引導學生去感悟、體會、傳遞數學之美，成為迫切需要解決的問題.研究基于“橢圓及其標準方程”的教學，探究數學審美教育的實施路徑，以“傳遞美”為目標，以“圖形”為載體，通過GeoGebra動態圖形助力課堂教學，讓學生在直觀的、動態的、充滿新意的課堂學習中去感悟、體會、傳遞數學之美，進而把數學教學由知識的傳授、思維的培養推向一個更高的平臺.

關鍵詞：高中數學；審美教育；課堂教學；橢圓標準方程

蘇霍姆林斯基曾經說過：“沒有審美教育，就沒有任何教育.”審美教育是素質教育的重要組成部分.隨著數學新課程改革的不斷推進，數學審美教育的研究受到越來越多的關注.數學審美教育又稱“數學美學教育”，它是以培養學生的數學審美能力、激發學生的審美情趣、樹立學生的審美理想為目標的教育.那么如何在數學課堂教學中滲透數學審美教育，引導學生去感悟、欣賞數學之美呢？本文以“橢圓及其標準方程”的教學為研究對象，探究數學審美教育的實施路徑，通過GeoGebra（下文簡稱GGB）動態圖形助力課堂教學，讓學生在直觀的、動態的、充滿新意的課堂學習中掌握橢圓的概念及其標準方程，感悟數學美的本質，欣賞數學之美.

1教材的地位和作用

本節內容選自蘇教版普通高中教科書選擇性必修第一冊第3章第1節，它以“展示背景、建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線”為主線，讓學生經歷從具體問題情境中抽象出橢圓的過程為教學目標，進而掌握橢圓的定義及其標準方程.不僅突出了解析幾何里曲線方程與方程曲線相聯系、函數與圖形相結合的重要思想，同時還與前面章節的圓及后面章節的雙曲線、拋物線等知識的研究有很多相似之處，所以，從教材結構上來說，它起到了承上啟下的作用，從研究方法上來說，反映了數學和諧的統一美.

2挖掘教材，把握數學美的特征

“一般認為，數學美分為生活中的美和思維領域的美，包括數學的表現形式、應用形式、文化價值，以及思維領域的統一、和諧、簡潔、奇異、邏輯、嚴謹等諸多方面.”數學美在形成人類的理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、別的學科不可替代的作用，這正是數學的魅力所在.而“橢圓及其標準方程”的教學則是體現數學美的有效載體，具體表現為奇異美、對稱美、簡潔美、統一美和嚴謹美.

2.1奇異美

奇異美指的是數學中存在著許多“奇異”的現象，它們會在令人“驚異”之余，給我們帶來無限遐想.如：在立體幾何中，用一個平面（不經過圓錐的頂點）去截一個圓錐面，當平面與圓錐面的軸垂直時，平面與圓錐面的交線是一個圓.若改變平面的位置時，平面與圓錐面的交線則會是橢圓、拋物線或雙曲線.這是一個非常奇妙的現象.

2.2對稱美

世間萬物都蘊含著豐富的數學關系，有著豐富的對稱美.對稱美是為人們比較容易感知的，它是一種形式上的美，能給人們一種勻稱的美感.數學中的對稱美不僅體現在圖形上，還體現在代數上.幾何學中的軸對稱圖形、中心對稱圖形都能給人以舒適美觀之感，而橢圓標準方程x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的奇妙之處就在于它在圖形上既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在代數上也能給人以對稱美之感受.

2.3簡潔美

簡潔美表現在數學的符號、公式、概念、推理過程以及思想方法等各個方面.而它在高中數學新教材中則主要體現在結構、形式和方法上，將復雜的實際問題或者圖形劃歸為簡單的數學表達式.如：橢圓定義的奇妙之處就在于它不僅能用數學的語言進行文字表述，即：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距.還能用數學的語言進行符號表示，即：PF1+PF2=2a（2a>F1F2），其中，PF1表示動點P到定點F1的距離，PF2表示動點P到定點F2的距離，2a表示距離之和，F1F2表示焦距.這樣，用符號語言表示橢圓的定義，它表達的既簡潔，又方便學生去記憶.

2.4統一美

畢達哥拉斯曾經說過：“凡是美的東西都具有一個共同特征，這就是部分與部分之間，以及整體之間固有的協調一致.”這說的就是統一美，其通常表現為概念、規律、方法的統一，數學理論的統一、數學與其它科學的統一.如：在研究橢圓的方程時，可以類比圓的研究過程，按照“建立平面直角坐標系→設動點的坐標→找限定條件→代入點的坐標→化簡”這五個步驟去推導橢圓的方程，這說明橢圓與圓在研究方法上具有統一性，反映了數學的和諧統一之美.

3基于審美教育的高中數學課堂教學的實踐

3.1創設動態直觀的數學問題情境，激發學生的審美興趣，感悟數學之美

問題情境1生活中有很多形狀的物品，同學們能列舉出哪些是橢圓形狀的物品嗎？太陽系中行星的運行軌跡又是什么樣的呢？

學生說出生活中常見的橢圓形物品，并且描述太陽系中行星的運行軌跡后，教師利用多媒體展示天體運行的動態圖形，通過生活中常見的橢圓物品和行星運行的動態圖形，引導學生對橢圓產生直觀的感知.

設計意圖：觀察生活中的橢圓和行星的運行軌跡，引導學生發現生活中的數學美，能夠激發學生研究橢圓的審美興趣.

問題情境2在生活中有很多橢圓形狀的物品，那么在數學中有沒有呢？在蘇教版普通高中教科書必修第二冊專題“數學建模與數學探究”中，用一個平面（不經過圓錐的頂點）去截一個圓錐面，當平面與圓錐面的軸垂直時，平面與圓錐面的交線是一個圓.改變平面的位置時，那么平面與圓錐面的交線是什么形狀呢？

學生思考平面與圓錐面的交線可能是哪些形狀，并發表自己的觀點.教師利用GGB動態演示平面與圓錐面交線的形狀，學生通過觀察發現，改變平面的位置時，平面與圓錐面的交線可能是橢圓、拋物線和雙曲線（如圖1）.

設計意圖：通過舊知識，引出新問題，讓學生去回憶蘇教版普通高中教科書必修第二冊專題“數學建模與數學探究”的內容，引導學生發現數學中的美，并借助GGB立體動態圖形演示平面與圓錐面交線的不同情形，能夠直觀的、動態的幫助學生了解交線的三種情況，進一步激發學生的審美情趣，進而感悟數學的奇異之美.

問題情境3改變平面的位置時，平面與圓錐面的交線什么時候是橢圓？什么時候是拋物線？什么時候是雙曲線？

教師運用GGB立體動態圖形再次演示平面與圓錐面交線的變化情況，設圓錐母線與軸所成的夾角為θ，平面與圓錐軸所成角為α0<α<π/2.學生進行觀察，教師進行適當的引導，得出結果有以下三種情形：

第一種情形，當θ<α<π/2時，平面與下圓錐的所有母線都相交，與上圓錐不相交，平面與圓錐面的交線是一條封閉的曲線，我們稱之為橢圓.

第二種情形，當θ=α時，平面與下圓錐一條母線不相交，其余母線都相交，與上圓錐不相交，平面與圓錐面的交線是一條不封閉的曲線，我們稱之為拋物線.

第三種情形，當θ>α時，平面與上、下圓錐都相交，且上、下圓錐都有無數條母線與平面不相交，平面與圓錐面的交線是兩條不封閉的曲線，我們稱之為雙曲線.

橢圓、拋物線、雙曲線，統稱為圓錐曲線.

設計意圖：利用GGB立體動態圖形，讓學生觀察平面與圓錐面交線的變化規律，尋找圓錐母線與軸所成的夾角θ和平面與圓錐軸所成角α0<α<π/2之間的關系，讓學生感悟數學的和諧統一之美和思維嚴謹之美.

問題情境4聯想生活中的經驗，當我們把一個有水的水杯放在桌面上時，它的正截面是一個圓；當我們把水杯傾斜時，它的斜截面則不是圓，而是一個橢圓.圓的幾何特征是圓上各點到圓心的距離相等，那么由斜截圓錐面所得的圖形是否也具有類似的幾何特征呢？

在斜截面的兩側分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點分別為F1，F2），且與圓錐面相切，兩球與圓柱面的公共點分別構成圓O1和圓O2（如圖2）.

設點P是斜截面與圓柱面的截線上任一點，過點P作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于M，N兩點，則PM和PF1，PN和PF2分別是球O1和球O2的切線.因為過球外一點作球的切線，則切線長相等，所以

PF1=PM，PF2=PN，

故PF1+PF2=PM+PN=MN.

因為MN為圓錐的母線，所以線段MN是一個常數.也就是說，截線上任意一點到兩個定點F1，F2的距離的和等于一個常數（如圖3）.

學生通過觀察圖形和推理過程得到橢圓的幾何特征：一個橢圓具有兩個定點F1，F2，使得橢圓上任意一點到這兩個焦點的距離之和等于常數.

設計意圖：聯想生活中的經驗，類比圓的幾何特征，來猜想橢圓是否也有類似的幾何特征，這反映了圓與橢圓之間具有統一之美；再通過GGB立體動態圖形，用數學的語言來推理論證交線與橢圓幾何特征之間的聯系，能夠讓學生感悟到數學的嚴謹之美.

問題情境5平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡一定是橢圓嗎？如果是橢圓，是否還需滿足別的條件？

3.2開展數學實驗，探索橢圓定義的形成過程，體會數學之美

實驗1老師讓學生拿出課前事先準備好的一塊圖版、一根定長的細繩和兩枚圖釘，按要求進行動手畫圖.

第一步：將兩圖釘固定在同一點，拉緊繩子，移動筆尖，這時候發現筆尖（動點）畫出的圖形（軌跡）是一個圓；

第二步：蔣兩枚圖釘分別固定在兩點（兩點間的距離要小于繩子的長度），拉緊繩子，移動筆尖，這時候發現筆尖畫出的圖形是一個橢圓；改變兩定點間的距離，多嘗試幾次（兩點間的距離始終要小于繩子的長度），這時候發現筆尖畫出的圖形是扁平程度不同的橢圓；

第三步：拉緊繩子，將繩子的兩端分別固定在圖釘上，使得兩圖釘間的距離等于繩子的長度，這時候發現筆尖畫出的圖形是一條線段.

設計意圖：引導學生按4人一小組開展數學實驗，通過探索實驗，能夠讓學生初步對橢圓所要滿足的條件有一定的了解，同時也能體會到學習橢圓知識的樂趣，在實驗中體會數學的奇異之美.

實驗2教師借助GGB動態模擬演示橢圓的繪制過程，讓學生再一次體會兩定點間的距離與定長之間的關系.

設計意圖：應用GGB的動態軌跡跟蹤功能，能夠幫助學生直觀地、動態地觀察橢圓上動點P的運動規律，使學生感受橢圓定義的發展過程，加深學生對橢圓定義的理解，體會數學之美.

問題情境6通過上述兩個實驗，同學們能否歸納出橢圓上動點P需要滿足什么樣的幾何條件？

學生根據自己的實驗，并且結合觀察老師用GGB演示的橢圓形成的動態圖形，比較容易發現：

① 當動點P到兩個定點F1，F2的距離之和大于兩個定點間的距離時，動點P的軌跡是一個橢圓（如圖4）；

② 當動點P到兩個定點F1，F2的距離之和等于兩個定點間的距離時，動點P的軌跡是一條線段（如圖5）；

③ 當動點P到兩個定點F1，F2的距離之和小于兩個定點間的距離時，動點P的軌跡不存在（如圖6）.

進而引導學生歸納出橢圓的定義：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距即F1F2=2c.而PF1+PF2=2a（2a>F1F2），其中，PF1表示動點P到定點F1的距離，PF2表示動點P到定點F2的距離，2a表示距離之和.

設計意圖：學生通過歸納總結得出橢圓的定義，將實驗結論歸納抽象成為數學問題，揭示橢圓定義的數形關系，有利于培養學生的邏輯思維能力，讓學生體會到數學的邏輯嚴謹之美.

3.3自主探究，化繁為簡推導橢圓的方程，傳遞數學之美

問題情境7同學們，現在我們已經學習了橢圓的定義，前面我們知道圓是在平面直角坐標系中建立方程的基礎上來研究的，圓錐曲線都有其對應的方程，橢圓也不例外，那么，你認為怎樣去給橢圓建立平面直角坐標系最合理？才能使所得方程更簡潔、更美觀呢？

引領學生一起回顧圓的方程在平面直角坐標系中的探究過程，類比這一過程，尋找最合理的給橢圓建立平面直角坐標系的方法，大部分學生以兩焦點F1，F2的連線作為x軸，線段F1F2的中垂線作為y軸，建立平面直角坐標系xOy；但也有少數幾個學生以F1，F2所在直線作為y軸，線段F1F2的垂直平分線作為x軸，建立平面直角坐標系xOy，或者以橢圓的某一個焦點為原點來建立平面直角坐標系xOy.

設計意圖：引導學生對圓的方程探究過程的回顧，既能夠讓學生合理選擇建立平面直角坐標系的方法，又能夠為學生按正確步驟來推導，為用簡潔、合理的代數式來表示橢圓的方程作鋪墊；通過學生自己動手選擇建系方案，能夠讓他們感受到數學圖形的對稱美、形式美和統一美，很好地提升了學生的數學學習興趣.

問題情境8類比圓的標準方程的推導過程，我們如何去推導橢圓的標準方程呢？

學生先回憶圓的標準方程推導的步驟：建立平面直角坐標系→設動點的坐標→找限定條件→代入點的坐標→化簡，簡稱“建、設、限、代、化”.然后按照這五個步驟來推導橢圓的標準方程.其過程如下：

以F1，F2所在直線作為x軸，線段F1F2的垂直平分線作為y軸，建立平面直角坐標系xOy.

設動點P（x，y）為橢圓上任意一點，F1F2=2c，則F1（－c，0），F2（c，0），

根據橢圓的定義可知PF1+PF2=2a（2a>2c），

即（x+c）2+y2+（x－c）2+y2=2a（2a>2c），

將這個方程移項后兩邊平方，得

（x+c）2+y2=4a2－4a（x－c）2+y2+

（x－c）2+y2（2a>2c），

整理得a2－cx=a（x－c）2+y2（2a>2c），

兩邊再平方，得

a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2，

因為a2－c2>0，所以可設a2－c2=b2（b>0），

于是得b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0），

兩邊同除以a2b2，得x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

由上述過程可知，橢圓上的任意一點P（x，y）都滿足上面的這個方程，反過來，也可以證明上面這個方程的解（x，y）都在已知橢圓上.

這樣，焦點為F1（－c，0），F2（c，0）的橢圓方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

類似地，焦點為F1（0，－c），F2（0，c）的橢圓的方程

y2a2+x2b2=1（a>b>0）.

以上這兩種方程我們都叫做橢圓的標準方程，其中b2=a2+c2.

設計意圖：通過類比圓的研究讓學生來推導橢圓的標準方程，說明圓與橢圓之間的探究方法具有一定的統一性與和諧性，能夠讓學生感悟到數學方法的統一、和諧之美.通過“建、設、限、代、化”這五個步驟把橢圓的方程用一個簡潔、合理的代數式表達出來，能夠讓學生體會到數學符號語言的簡潔之美.

4基于審美教育課堂教學的一點思考

普羅克洛斯認為：“哪里有數，哪里就有美”.一個符號、一個公式、一個概念、一條曲線、一個圖形、一種思想、一個方法，無不蘊含著數學美.由于高中生容易受到知識水平和生理、心理等因素的影響，在學習過程中很容易忽視數學美的存在，更不要說數學審美了.因此激發學生的審美情趣、培養學生的數學審美能力、樹立健康的審美理念刻不容緩.為此可以開設了“橢圓及其標準方程”這節研究課.

在本節課的教學中，筆者首先通過生活中橢圓形狀的物體，并利用多媒體展示太陽系中天體運行的動態圖形，讓學生對橢圓產生了一定的直觀感知，激發學生的審美興趣，感悟生活中的數學之美.然后以知識回顧為導向，GGB動態演示平面與圓錐面交線之間的變化規律，進一步激發學生的審美興趣，讓學生感悟數學中的奇異美.緊接著，讓學生經歷動手實踐操作，GGB動態演示橢圓生成的過程，探索橢圓定義的形成過程，體會數學之美.最后，類比圓的方程探究過程，按照“建立平面直角坐標系→設動點的坐標→找限定條件→代入點的坐標→化簡”這五個步驟，在老師的引導下，讓學生自己去推導橢圓的方程，傳遞數學之美.通過這樣一個過程，將數學美的特征貫穿于“橢圓的定義及標準方程”的課堂教學中，為學生練就一雙發現數學美的“慧眼”，更是為學生提供歷經“感悟美”“體會美”“傳遞美”的平臺，體會數學知識的“活力”與“魅力”，深刻領悟數學的真諦，從而提高學生專研數學的精神，有效培養學生的數學思維，把數學教學由知識的傳授、思維的培養推向一個更高的平臺.

參考文獻：

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