基于一致性 提升運算素養

徐璐

［摘 要］《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》中多次提出要感悟運算的一致性，強調運算的一致性不僅有利于學生整體把握學習內容的主線，主動架構知識框架，還有利于學生知識遷移、內化方法，自主提升運算素養。文章以“分數除以整數”的教學為例，探究感悟運算一致性的落實策略，即從算式到圖形，數形結合感悟算理；從特殊到一般，激發認知沖突，厘清運算本質；從舊知到新知，對比內化打通算法。

［關鍵詞］運算的一致性；分數除法；計數單位；核心素養

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）14-0059-04

在研讀《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》（以下稱“新課標”）中發現，“數的運算的一致性”是新課標中的一個高頻詞匯，新課標從學段目標到課程內容、內容要求、教學提示、學業質量評價、課程實施要求、教材編寫要求等，多次強調感悟運算的一致性。如“通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性”。即強調教師在教學小學階段的“數與代數”領域時，要讓學生感悟到不論是整數、小數還是分數的運算，其算理和算法的本質是相通的，都可以理解為計數單位的運算。

一、緣起：基于感悟運算的一致性教學理念價值的思考

1.有利于學生整體把握學習內容的主線，主動架構知識框架

以蘇教版教材為例，數學知識是呈螺旋式上升的，雖然各知識之間存在聯系，教學內容也結合學生已有的學習經驗，但是大部分學生會認為知識是分散的。對此，教師如果在教學時能從一致性的角度引導學生去對比、歸納、總結，則有利于學生整體把握數學的本質，通過知識的聯系主動架構知識框架。

2.有利于學生知識遷移、內化方法，自主培養運算核心素養

整數、小數和分數的除法，在學生看來是各有各的運算方法。對學生來說，光是記憶這些算法就要花費不少時間，而且在計算時還可能會搞混各種算法。那么從強調運算的一致性、統一算理與算法來進行教學，對提升學生的運算能力有很大的益處。

在實際的教學中如何感悟運算的一致性，落實新課標的理念，提升學生的運算素養，很多教師都進行了相關的教學實踐。下面筆者就結合自身的教學實踐和理解，以“分數除以整數”的教學為例，談一談運算一致性的落實策略。

二、落地：基于感悟運算的一致性的教學實踐

1.教材分析

“分數除以整數”是蘇教版教材六年級上冊第三單元“分數除法”的第一課時。“分數除法”這個單元在小學教材中是非常重要的，一方面，它是對前面學習的分數乘法、整數除法、小數除法等內容的深化和鞏固；另一方面，它是后面學習比、百分數等知識的基礎。作為單元的起始課，“分數除以整數”的學習為本單元后面內容的學習奠定了基礎。這一課的重點在于學生要經歷分數除以整數的探究過程，理解分數除以整數的算理和算法。從運算的一致性的角度出發，除法的本質就是把計數單位的個數平均分，這樣的算理同樣適用于分數除法，即求幾分之幾除以幾，可以理解為將幾個幾分之幾平均分成幾份，每份是多少。教師在教學時只要能引導學生從這個視角出發進行探究，則可以打通分數除法與小數除法和整數除法之間的壁壘，有助于學生形成完整且統一的除法運算的知識結構。

2.學情分析

根據皮亞杰的認知發展理論，六年級學生剛進入形式運算階段，已經具備了初步的抽象思維和推理能力。結合學生已有的學習經驗，教師通過設計操作、觀察、推理等活動，是可以引導學生完成知識的遷移，以及對知識的內在邏輯進行內化和總結的。

在教學“分數除以整數”之前，筆者對學生進行了測試，發現大部分學生更注重算法，輕視算理。有的學生通過預習已經知道可以利用倒數的知識來算分數除法，但是卻說不出理由。如果不明白算理，那么就很難與小數、整數的運算聯系起來，數學的學習也只能停留在表面，不利于數學核心素養的形成。因此，教師的教學應重在引導學生對算理的探究、推理與總結。

3.教學過程

【教學片段1】初探算理，感知運算的一致性

師（出示問題1：杯子里有4升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？）：怎么列式？為什么？

生1：4÷2=2（升）。把4升平均分成2份，求每份是多少，可以用除法計算。

師（出示問題2：杯子里有[45]升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？）：怎么列式？為什么？

生2：[45]÷2。把[45]升平均分成2份，求每份是多少，還是可以用除法計算。

師：看來分數除法的意義與整數除法的意義是相同的，都是求平均分的問題。那么怎么計算[45]÷2呢？先獨立思考，再把你的想法寫在學習單（如圖1）上。

師（出示學生作品，如圖2）：說說你的想法。

生3：[45]÷2=[4÷25]=[25] 。[45]里有4個[15]，把4個[15]平均分成2份，每份是2個[15]，即[25]。

師：這是一道分數除法，但是你算的卻是4÷2這樣的整數除法，這樣的情況在以前的學習中遇到過嗎？

生4：算小數除法的時候遇到過。如0.6÷3，算的就是6÷3，意思是把6個0.1平均分成3份，每份就是2個0.1。6÷3表示的是把6個一平均分成3份，每份是2個一。

師：這里的[15]、0.1、1都是什么呢？

生5：計數單位。

師：對比整數、小數和分數除以整數的計算方法，你有什么發現嗎？

生6：都是平均分計數單位的個數。

師：特別棒！你們通過對比找到了算法之間的聯系。還有別的想法嗎？

生7：[45]÷2=[45]×[12]= [25]。把[45]升平均分成2份，每份就是[45]升的[12]，那么我們可以用乘法來解決，寫成[45]×[12]。

師：看來關于分數除以整數，不僅可以用整數除以整數、小數除以整數的算理來計算，還可以轉化為分數的乘法來計算。

這個環節是通過對例題進行變式，讓學生明白不論是整數除法還是分數除法，解決的都是平均分的問題，這就是除法的本質意義。學生通過在圖上分一分、涂一涂的活動，能夠在對比與思考中初步感知整數除法、小數除法與分數除法本質上是一樣的，都是關于計數單位的運算，都可以理解為把幾個幾平均分成幾份，每份是多少。

【教學片段2】問題探究，厘清運算本質

師（出示問題3：杯子里有[45]升果汁，平均分給3個小朋友喝，每人喝多少升？）：嘗試列式計算。

生1：[45]÷3。

師：這時整數不能整除分數的分子，怎么辦呢？

生2：我是這么想的，如果再把每一份平均分成3份，就是把這杯果汁平均分成了15份，原來的[45]就變成了[1215]，現在12可以除3了，結果是[415]。

師：也就是說當原來的計數單位不能被整除的時候，把計數單位變小再平均分就可以了。

生3：還可以用乘法來解決。[45]÷3=[45]×[13]=[415]，就是每人可以分到[45]升的[13]的意思。

師：看來這種方法不存在能不能整除的問題。通過乘法來解決問題更具有普遍性。仔細觀察[45]÷2=[45]×[12]=[25]，[45]÷3=[45]×[13]=[415]，你有什么發現？

生4：分數除以整數，通常是轉化為分數乘這個整數的倒數。

該教學片段是通過創建認知沖突，引導學生聚焦核心問題。當被除數的分子不能被整除的時候，可以轉化成更小的計數單位后再平均分。這其實是之前異分母分數通分知識的遷移。學生在遷移知識的過程中能夠多維度思考問題，通過推理活動探究不同的計算方法，有利于形成推理意識和推理能力。

【教學片段3】總結內化，提升運算能力

師：回顧今天的學習過程，我們是怎么研究分數除以整數的問題的？

生1：除法的意義本質是相同的，分數除法也是解決平均分的問題。

生2：通過分一分、涂一涂，找到了分數除以整數與整數除以整數、小數除以整數的算法上的聯系——都是在平均分計數單位的個數。

生3：根據除法是乘法的逆運算，通常分數除以一個不為0的整數，都是轉化為分數乘這個整數的倒數。

師：看來大家有非常多的感悟。請用今天學到的知識解“10÷100， 0.2÷3”這兩道題。

生4：10÷100=10×[1100]=[110]。

生5：0.2÷3=[15]×[13]=[115]。

生6：我發現整數除以整數、小數除以整數也可以轉化成分數除以整數來計算，一個數除以一個不為0的整數，可以轉化成一個數乘這個整數的倒數。

生7：以前算0.2÷3，得數是除不盡的，還要寫“≈”，現在可以寫成分數的形式了。

......

在這節課的最后，筆者設計了兩道題目，分別是整數除以整數和小數除以整數。在學習了分數除以整數的算理和算法后再來看這兩道題，學生又有了新的收獲，說明學生對于運算的一致性有了新的感悟。

三、生花：基于感悟運算的一致性的教學反思

1.從算式到圖形，數形結合感悟算理

畫圖是解決數學問題時常用的方法，它可以將問題的本質從復雜的背景中抽象出來，使問題變得更加簡明和直觀。當學生面對比較抽象的算式時，教師可以引導學生去畫一畫、分一分，借助圖形去探究和理解算理。如“分數除以整數”中的“ [45]÷2”這道題，如果不借助圖形，那就特別抽象，學生說不出來到底應該怎么算。而借助圖形，則更容易表達想法。從學生的作品中可以很直接看出是將4個[15]平均分成2份，每份就是2個[15]，即[25]。

計算分數乘法同樣可以通過數形結合來解決。如[23]×[12]，可以先將長方形平均分成3份，涂色部分表示其中的2份，得到這個長方形[23]，再將這個長方形的[23]平均分成2份，每份就是[26]，約分后可得[13]（如圖3）。

2.從特殊到一般，厘清運算本質

亞里士多德曾說：“思維從問題、驚訝開始。”發現問題往往是創新思維的先導，其意義絕不亞于解決問題。在教學中利用認知沖突，可促進學生積極主動地建構自己的認知結構，對于鍛煉學生的思維能力，提高學生的探究能力，發展學生的創新能力，都有十分重要的意義。

首先，利用“[45]÷3，分子的4不能被3整除，怎么辦呢？”引發學生的認知沖突，引導學生繼續探究。學生在分一分、涂一涂中發現：原來的計數單位太小，不能整除，把計數單位變小后再平均分就可以了。那么，不論是[45]÷2，還是[45]÷3，都可以看作是平均分計數單位的問題。這樣，從特殊到一般，學生能夠厘清分數除以整數的運算本質。

其次，在交流算法多樣性時，學生提出[45]÷2=[45]×[12]=[25]，[45]÷3=[45]×[13]=[415]。這是學生在進一步對比中發現，原來計算分數除以整數時，可以轉化為分數乘法來進行計算，并且感悟到這樣的運算方法更加方便。整個探究過程體現了數學的重要思想方法，即從特殊到一般的演繹推理，學生也在自主探究的過程中厘清運算的本質。

3.從舊知到新知，對比內化打通算法

結構系統的知識才能形成智慧。在學習“分數除以整數”之前，學生已擁有相應的學習經驗，學生學過的整數除以整數和小數除以整數的算理與分數除以整數的算理是相通的。因此，教師將分數除以整數的教學融入整體知識中，引導學生感受數學的整體性，感悟和體驗其中所蘊含的數學思想，理解數學計算的本質，進而構建知識系統。

在探究[45]÷2時，教師提出的“這是一道分數除法，但是你算的卻是4÷2這樣的整數除法，這樣的情況在以前的學習中遇到過嗎？”這一問題就是讓學生聯系舊知，聯系以前學過的整數除法和小數除法，通過對比，找到相同點：這些運算的本質都是將計數單位的個數進行平均分，從而得到幾個這樣的計數單位。

由此可見，無論是哪種除法運算，都可用平均分計數單位的個數來表征。這樣教學，不僅幫助學生打通算法，使學生感受到運算的一致性，不再糾結于各種運算各有各的算法，各種算法“打架”的局面。同時，通過對比也能夠讓學生感受到數學是一門嚴謹的、極具邏輯美學的學科，從而激發學生進一步學習數學的興趣。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 鞏子坤，史寧中，張丹. 義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性[J]. 課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

[2] 葛麗霞. 聚焦“一致性” 落實新課標：《分數加減法》單元整體教學實踐[J]. 現代教育，2022（7）：50-53.

[3] 敬賀，于海杰，張立忠，等. 基于核心素養的“分數除法”單元教學設計思考 [J]. 赤峰學院學報（自然科學版）. 2022，38（7）：92-107.

（責編 金 鈴）