初中學生“函數幾何直觀能力培養”的教學案例分析

胡燕 汪宏玲

【摘要】幾何直觀內容貫穿整個初中階段，對學生數學思維、數學能力的培養起著重要的作用.一方面，幾何直觀能將抽象的數學知識直觀化，讓內隱的思維可視化；另一方面，幾何直觀可幫助學生對事物有所感知，能通過表象抽象出其本質特征，且在頭腦中建立事物間的聯系，從而分析和理解問題.教師要在平時的教學中注重幾何直觀能力的培養，從而提高學生的數學核心素養.

【關鍵詞】函數；幾何直觀；課堂教學

1 研究背景

《數學課程標準（2022年）》中指出：初中階段，核心素養主要表現為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識.核心素養的培養有助于學生養成良好的數學學習習慣，引導學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.而幾何直觀作為核心素養中非常重要的一部分，貫穿了整個初中階段，在數與代數、圖形與幾何、統計與概率的教學中均有涉及.下面主要研究在函數教學中幾何直觀能力的培養，以本人開設的區級公開課“探究函數y＝x＋1x的圖象和性質”為例.

2 教學設計過程

2.1 回顧舊知

我們前面學過一次函數和反比例函數，如圖1所示，你是如何研究的？請談談你的想法.

師生活動 引導學生經歷列表、描點、連線畫出函數圖象，同時根據圖象得到函數的性質.讓學生知道反比例函數圖象被分為兩部分是由函數表達式決定的，最后引導學習函數的主要目的是應用.

函數y1＝x

函數y2＝1x

設計意圖 表達式是數、圖象是形，我們研究函數時要數形結合.從而讓學生總結研究函數的一般方法.

2.2 探究活動

活動一：請畫出函數y＝x＋1x的圖象.（由表達式和圖象疊加來分析函數的圖象）

問題1：你打算如何研究呢？

師生活動：學生獨立思考，師生一起總結.

設計意圖：從“表達式、圖象、性質、應用”方面來得到研究函數的一般方法.

問題2：觀察表達式你得到什么結論？

師生活動：學生獨立思考，教師板書學生的猜想.猜想1：x≠0，y≠0；猜想2：函數圖象在第一、三象限；猜想3：當x＜0時，x＞y；猜想4：當x＝－1時，y ＝－2；猜想5：在同一象限內，y隨x的增大而增大.

設計意圖：讓學生猜想出函數的一些基本性質.

問題3：通過對表達式的初步研究，我們得到了函數的大致分布和一些性質，到底是否正確，請大家現在拿出學習單畫出函數的圖象，畫圖象的一般步驟是什么？

師生活動：學生畫圖，教師巡視，并批改.

設計意圖：讓學生通過列表、描點、連線畫出函數的大致圖象.

追問1：對于這位同學的表格，你有什么樣的想法？

師生活動：學生通過討論得出列表不全面.應該有負數，還有分數.

設計意圖：讓學生明白列表取值的重要性.

追問2：你們覺得為什么要取負數？為什么要取12？你認為取12必要嗎？你是如何想的？

師生活動：學生先思考，再對自己的取值、描點進行集體討論，得出x取值的重要性.

設計意圖：讓學生通過實踐操作、討論，明白列表中x取值的重要性.

追問3：第一象限，左邊應該是如何走向的呢？

師生活動：先讓學生想象，然后再取值畫圖嘗試總結.

設計意圖：讓學生明白第一象限函數圖象左邊的走向.

追問4：為什么畫到5不畫了？圖象后面是什么樣子的呢？你是如何判斷的？

師生活動：先讓學生想象，然后再取值畫圖嘗試總結.

設計意圖：讓學生明白函數的圖象右邊是無限延伸的.

問題4：列表時，還要注意什么？描點時，要注意什么？連線時，這位同學用折線連接，你認為呢？

師生活動：教師提問，學生回答.

設計意圖：讓學生總結畫函數圖象的注意事項.

問題5：展示好的學生作品，這些同學的圖象畫得都很準確，如果我們要得到更精確的圖，應該如何做呢？

師生活動：教師通過幾何畫板演示讓學生更加直觀明了.

設計意圖：通過加密點來獲得精確的圖象.

活動二：請寫出函數y＝x＋1x的性質.

問題1：你能根據圖象說出函數的性質嗎？

師生活動：學生思考回答，教師總結.

設計意圖：通過圖象來驗證剛剛學生猜想的函數性質是否正確.

問題2：剛剛前面這些同學所說的這些結論正確嗎？我們先看“當x＜0時，x＞y”的想法是否正確？

師生活動：學生判斷前面的猜想是否正確，思考回答，教師引導從式結構驗證.

設計意圖：學生課堂的生成通過圖象和式結構來驗證.

問題3：剛剛前面這位同學提出“在同一象限內，y隨x的增大而增大”的結論正確嗎？

師生活動：學生討論，師生得出結果.

設計意圖：強化自變量的取值范圍，同時讓學生明白該函數圖象是兩支.

2.3 課堂小結

問題：回顧整個過程，你的收獲是什么？

師生活動：學生總結，教師適當點評補充.

設計意圖：研究函數，我們先分析函數的表達式，然后得到函數的一些圖象特征及性質，然后應用列表、描點、連線得到函數的圖象.列表時應注意關鍵點，描點時要注意函數的走向，連線時要注意用光滑連續的線從左到右依次連接.而且在研究函數的過程中，我們應用了類比的思想方法以及數形結合思想.

2.4 布置作業

函數y1＝x與y2＝1x的圖象如圖2所示，下列關于函數y＝y1＋y2的結論：①函數的圖象關

于原點中心對稱；②當x＜2時，y隨x的增大而減小；③當x＞0時，函數圖象最低點的坐標是（2，4）．其中所有正確結論的序號是_____________．

設計意圖：以2017年南京中考題作為作業，考查學生對新函數性質的掌握.

2.5 目標檢測設計

請你研究函數y＝1x2.

設計意圖：讓學生明白研究新函數的一般方法.

課堂上雖然意外很多，但是收獲也很多.回顧整個課堂，讓我對“函數幾何直觀的教學”有以下認識：

第一，“函數幾何直觀的教學”要求課堂以訓練學生的思維為載體，層層遞進.課堂教學的落腳點要定位到人的發展上，這樣的理念與當前提倡的核心素養是不謀而合的.如何讓學生的思維落地生根，一句話，就是讓學生的思維活躍起來.

例如 對本節課的難點，我采用了如下提問方式：

師：對于這位同學的表格，你有什么樣的想法？

生：列表不全面.應該有負數，還有分數.

師：你們同意嗎？為什么要取負數？

生：因為x的取值范圍是x≠0.

師：為什么要取12？

生：…….

師：請大家嘗試畫一下看看.

師：你認為取12必要嗎？

此時有取12的同學舉手.

師：你是如何想的？

生：如果不取12，我們就不知道此時圖象的走勢.

本節課通過對學生思路一層層地抽絲剝繭，最終達到了很好的效果.

第二，“函數幾何直觀的教學”要求教師課堂教學以生為本，給予學生自我展示的空間.義務教育《數學課程標準》提出：數學課程應致力于實現義務教育階段的培養目標，要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.這樣就要求教師要重視學生在學習活動中的主體地位.

例如 課堂上，我讓學生回答你能得到什么猜想時，學生說x＜y，當時我就懵了，因為從來沒有過預設，也沒想到學生會如此猜想，然而我故作鎮靜，請這位同學坐下，通過畫圖的時間，讓學生考慮，最終從式結構提問讓學生獲得了突破，此時，班級給予了這位同學雷鳴般的掌聲，這也成為本節課的亮點.

第三，“函數幾何直觀的教學”要求教師注重思想方法的歸納，形成思維的邏輯體系.對于數學思想方法的學習和領悟可以使學生從整體和內部規律上掌握系統化的知識，有助于學生主動的建構，提高學生洞察事物、尋求聯系、解決問題的思維品質和各項能力.而本節課，通過教師對對勾函數大致→精致→一致的探索過程，充分體會到了函數探究的一般本質與思想方法，從而為后續的學習打下了堅實的基礎.

6 結語

路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索，在“函數幾何直觀的教學”過程中，我們還需繼續努力，落實黨的教育方針和教育思想，為培養現代化的創新型人才而不懈努力.

【課題項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃專項課題.名稱：農村初中學生幾何直觀能力培養的策略研究.編號：XC-c/2021/23】

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定.數學課程標準2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022（01）：7.

［2］楊俊榮，潘小柳.定理教學中運用分類討論思想方法的案例分析［J］.中學數學教學參考.2019（17）：65-68.