基于案例分析和數學實驗的“概率論與數理統計”教學改革探究與實踐

摘?要：“概率論與數理統計”是一門應用性較強的重要的數學基礎課，在教學過程中選用經典案例和數學實驗進行直觀教學，借助在線課程平臺進行資源整合，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞：概率論與數理統計；案例教學法；教學改革；數學實驗

2018年6月21日，教育部召開新時代全國高等學校本科教育工作會議，會議強調要創新本科教學方法和激勵機制［1］，這表明在科技教育及高等學校從精英教育向大眾化的轉變過程中，對教育教學模式的改革要求越來越高。而應用型本科高等教育在積極探索“教學做合一”的新培養模式方面，對培育應用型人才起到了關鍵作用。

“概率論與數理統計”是專業性和實踐性較強的一門課程，是人們用來探究隨機事件變化規律的一門重要的通識基礎課，該科目在保險精算、工業試驗設計、大數據科學與技術等領域有廣泛的應用，因此在教學過程中必須高度重視培養學生的實踐意識，增強學生運用知識解決生活中實際問題的能力。但是筆者在應用型民辦本科教育教學中發現，現階段該學科在教學中缺乏對學生應用能力及應用意識的培養，導致很少有學生能夠學以致用。產生這個問題有許多因素，其一是課時限制問題，本門課課時設置為48學時，教師在課堂上更多講授基本概念與定理等理論部分，使得數理統計思想和統計分析實例講解較少，而許多理論與實際應用關系比較密切的教學內容，例如回歸分析和方差分析等未設置到課程教學計劃方案中。其二則是課堂教學方式較落伍，教師沒有及時改變教學理念，在教學方法上，多數教師使用多媒體配合板書加以授課，而教師以講授為主，學生課堂學習較被動，課程中案例較少且沒有實踐性強的內容和必要的數學實驗教學環節，這樣不但培養不了學生自主學習能力，更會造成學生無法直接體會到知識的應用過程，進而讓學生覺得本門課程學習起來比較枯燥乏味，致使在課堂上經常會出現個別學生聽課不認真等現象，影響了教學質量。其三是期末考試平時成績考核也只是考查出勤與作業完成情況，這樣不但會導致學生不能提高解決實際問題的能力，還會出現考前臨時抱佛腳的情況出現，不利于應用型人才培養目標的實現。

一、應用導向的教學改革實施方法

根據當前“概率論與數理統計”課程教學中出現的問題，筆者根據有關課程教學實際，可以進行以下幾個方面的改革探索。

結合實際教學案例進行該課程的教學。案例教學能增強課堂的開放性和互動性，使學生學習達到事半功倍的目的，同時能夠培養學生學習興趣，因此教師可以選擇貼近實際生活且針對性強的案例和習題進行講解。

（一）列舉知識點：乘法公式

例如在講到概率中乘法公式這一節時，學生很容易把乘法公式與事件獨立性的公式弄混淆，應用時難免出現問題，所以教師在講解乘法公式時可以列舉實際生活中常遇到的“抓鬮”問題，加深學生的理解，從而更清晰地掌握公式用法。

引入例子：一場知識競賽勝出的八個人中有一人能夠獲得一張電影票，班長決定以抓鬮的方法安排這一名額，進行了一個共八人的抓鬮，只有一張有獎，你希望自己抓鬮順序排多少？引入生活中會遇到的實際問題可以引起學生學習興趣，學生展開討論并發表了不同的觀點。這時教師可以通過講解乘法公式原理，引導學生應用乘法公式的內容解決這個問題。設Ak=第k人中獎，k=1，2，…8，第一個人中獎的概率P（A1）=18，因為A2A1，于是獎券被第二個人摸到的概率P（A2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=78×17=18。如此類推，可得P（A3）=P（A4）=…P（A8）=18。得出結果表明八個人無論抓鬮順序如何，每個人在抽簽前不知自己前面抽簽結果，則每人抽到電影票的概率是相等的，在實際生活中分房問題、學生分班及短缺物資的調配問題等，都采用“抓鬮”的方式進行處理是有其合理性的。學習了概率后遇到抓鬮問題不要爭先恐后，同學們應發揚風格讓他人先行。通過對案例的講解及把復雜問題進行合理轉化，使學生能很好地掌握公式并了解對其的應用，明白做事的道理。

（二）知識點舉例：簡單隨機抽樣

在講解簡單隨機抽樣中，以往學生只能依照課本理解簡單隨機抽樣的特點，這樣知識掌握起來往往較教條化，理解不夠全面，從而脫離了實際應用，教師應通過隨機抽樣在實際應用中出現的具體情況，更加全面地、更貼近現實地讓學生學習簡單隨機抽樣并了解現實抽樣中會面臨的問題，從而激發學生學習熱情，指導學生學以致用。

引入例子：2004年，我國某知名電視機生產公司為了調查該企業電視機品牌的市場占有率，派出市場研究部的兩組員工就這個問題開展調查：請列舉您會選擇的電視機品牌。兩組調查結果令人大跌眼鏡：A組發現36%的消費者在購買時愿意選擇該公司的電視機；B組的結果卻僅僅16%，公司很納悶，不明白同樣的抽樣方法為何產生如此不同的結果，究竟是哪里出了問題？真相究竟如何？

教師引導學生從抽樣方法的選擇和抽樣會帶來風險的方面對該案例進行了熱烈討論，可以總結出抽樣中的風險可能來自于隨機誤差和系統性誤差，該公司問題在于市場調查人員在抽樣過程中引入了非隨機誤差（如圖1），可能存在被訪者受詢問員誘導出現了弄虛作假等現象，使得結果產生很大誤差。

教師在結合案例講解過程中還可以達到教書育人的目的，即讓學生明白每種獲取數據的方式都會有優點及不足，除了依靠科學技術外，更要具備批判性思維，能從數據中分析出隱藏的問題，同時在工作中要有責任心、誠實的態度和專業精神，否則會對社會生產帶來嚴重誤導，也不利于個人發展。

二、教學結合數學實驗加強學生應用意識

為使課堂教學變得更加直觀，并具有可視化，教師在課堂教學上還可以適當增加數學實踐活動，向學生介紹怎樣利用數學軟件處理數學問題，以加深學生對知識的理解，并充分調動學生學習的積極性。

（一）列舉知識點：泊松分布

泊松分布在排隊論、生物學、醫學以及服務行業等領域有著廣泛的應用，泊松分布較為抽象，教材一般只給出了以λ為參數的概率分布，課堂上教師可以結合實際背景進行案例教學，讓學生更能明白泊松分布的來源與應用。介紹下面這個案例：某運輸公司有600輛汽車參加保險，在一年內每輛汽車出事故的概率為0.005，每輛參加保險的汽車每年交保費1000元，若一輛車出事故保險公司最多賠償100000元，計算保險公司一年賺錢不少于200000元的概率。

學生經過分析發現直接用二項分布計算比較困難，這時教師通過該例子，討論出二項分布的一個近似公式，并得到泊松分布的分布律。故該案例采取泊松分布近似計算，之后和學生一起探究什么情況下采用泊松分布對二項分布近似計算效果較好，為了解決這個問題，教師運用Matlab的圖像繪制功能繪制了二項分布和泊松分布計算所得的概率值，并加以對比分析，實驗得出當n較大，p較小時，泊松分布的近似情況較好（如圖2）。師生對知識的探究加深了學生對該內容的理解，提高學習者對理論知識的運用能力和實踐水平。

（二）列舉知識點：假設檢驗的兩類錯誤

假設檢驗是利用樣本的信息，依據某種準則對總體的假設做出接受還是拒絕的決策。在假設檢驗過程中容易犯兩類錯誤：用α表示犯第一類“棄真”錯誤概率，用β表示犯第二類“取偽”錯誤的概率。在講解這兩類錯誤的重要性過程中，如果直接給學生證明這兩類錯誤的關系，過程往往比較復雜和生硬，學生容易產生畏難的情緒，從而失去學習信心。而興趣是最好的老師，首先教師提供一個課題讓學生展開思考以引起學生興趣，提出把一個有罪的人誤判為無罪和把一個無罪的人誤判有罪，哪一個后果更嚴重？而這個問題實際上可看成統計學中的兩類錯誤：棄真和取偽。

在討論過程中，教師為使學生理解犯兩類錯誤的概率的關聯，在課堂上結合數學實驗進行動態演示，通過演示學生觀察討論得出結論，盡管人們希望犯這兩類錯誤的概率越小越好，但在樣本容量一定的條件下，犯這兩類錯誤的概率不能同時降低，減少其中一個，另一個往往會增大（如圖3）［4］。類似的有醫學檢測中可能會出現假陰性和假陽性的兩類錯誤，而人們認為控制假陰性率遠遠比控制假陽性率重要，因此也將重點放在控制第一類錯誤上，進而做顯著性檢驗［5］。通過以上例子探討及講解幫助學生降低理解難度，加深學生對復雜問題的理解，為后續學習打下堅實基礎。

（三）加強網絡資源平臺建設輔助教學

對于教學時長相對有限的情形，教師一方面充分利用網絡技術工具進行輔助教學，另一方面通過超星學習通等教學工具創建“概率論與數理統計”課程，通過插入網絡資源或進行微課教學等多種方式給學生的課前預習和課后復習提供方便，使學生更好地把握知識的重難點。教師在課堂上還可以通過發布簽到、搶答、課堂測驗、小組討論等內容對案例進行解析，從而使課堂教學內容變得更加豐富多彩，也大大加強了師生之間的互動和溝通，促使學生深入思考，加強對知識點的理解。另一方面在統計部分中與實際應用聯系更為緊密的內容，比如方差分析、回歸分析等，教師可以借助于網絡教學資源進行補充，以便使學有余力的學生進一步了解有關概率統計更廣闊的知識，拓寬學生的視野，防止授課只局限于課本內容。

針對學生平時不努力學習考試前臨時抱佛腳的現象，教師也可以通過學習通或雨課堂等教學平臺發布學習任務，根據學生話題參與討論程度、視頻觀看時長等情況形成個人記錄，進而作為平時成績的依據，同時也方便教師對學生進行個性化輔導，并根據學生完成任務情況調整后續教學（如圖4）。

結語

針對應用型民辦高校，在“概率論與數理統計”的基礎課程教學中，教師面臨學生對課堂理論知識運用能力欠缺，部分學生上課學習積極性不高等各種問題，通過積極探索結合相關案例分析和數學實驗直觀演示等方法來代替抽象的理論證明，并利用網絡教學平臺加強教師對學生平時學習情況的監督和檢查，教學中充分調動學生學習的主觀積極性，以此來大大提高教學工作效率，使學生學習效果得以增強。

參考文獻：

［1］諶永榮，楊占英.基于案例和實驗教學的《概率論與數理統計》教學改革探究［J］.科技視界，2019（28）：2.

［2］施明華，岳芹，袁國軍，等.雙創背景下“概率論與數理統計”課程教學改革研究——以皖西學院為例［J］.2021（20206）：2932.

［3］陽平華，吳麗鎬.概率論與數理統計［M］.北京：航空工業出版社，2018.

［4］安建業，羅蘊玲，李乃華，盧志義主編.概率統計及其應用（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［5］楊軼莘.大數據時代下的統計學［M］.電子工業出版社，2015.

基金項目：廣州城市理工學院質量工程項目“以應用為導向的概率論與數理統計教學改革與實踐”（JY211401）；廣州城市理工學院校級“高校公共數學課程思政教學團隊培育”項目（S20421005）

作者簡介：李海榮（1989—?），女，漢族，吉林人，碩士，講師，研究方向：生物數學。