淺談運用數形結合思想培育幾何直觀的教學策略

陳華明

【摘 要】本文以筆者自身的教學實踐為依據，淺談在日常教學中如何運用數形結合的手段培育學生的幾何直觀素養。

【關鍵詞】數形結合 幾何直觀 教學策略

在數學學習中，經常借助圖形表征加深學生對數的感知能力。幾何直觀是應用圖和表將知識或者問題形象化、具體化，并通過合理的思考、想象、猜想做出一些可行的結論，有助于把握問題的本質，有利于新知識的遞增生成。因此，在小學階段對學生幾何直觀素養的構建越來越受到數學一線教師的重視。

一、借形賦能，感悟幾何直觀

在教學中，我們將數學語言中的文字描述通過形象化的圖形語言進行呈現，能夠有效地揭示問題的內在本質，有助于梳理知識脈絡，充分展現數學知識的特征，從而打破數學語言枯燥、難懂的思維定勢，有利于學生進行觀察、比較、分析等探究活動，變枯燥為生動、化抽象為具體。

例如，在教學人教版三上“兩位數乘兩位數”時，筆者在課堂上出示練習題：比較13×12與14×11的大小。學生自然而然地想到通過計算能夠實現兩道算式的大小比較。如果我們為題目進行賦能，對算式進行轉化，變為比較兩個長方形面積的大小，借助幾何圖形將兩個算式以另一種方式呈現在學生面前：一個長為13厘米、寬為12厘米的長方形和一個長為14厘米、寬為11厘米的長方形，運用多媒體手段將兩個圖形重疊在一起（如圖1）。此時，筆者引導學生對圖形進行觀察，生1：“我發現把圖形重疊后可以忽略掉相同的重合的部分13×11的面積大小，因此要比較13×12與14×11的大小，我們只要比較13×1與11×1的大小即可。”通過圖形的具象化引導，把較為復雜、難算的算式用圖形的語言進行呈現，不用計算，即可一目了然地比較出13×12＞14×11，而且能夠一下子比較出它們相差多少。通過此過程，教師引導學生感悟借助圖形解決問題的便捷性，從而進行幾何直觀素養的滲透。

二、化新為舊，孕育幾何直觀

形與數是數學中最重要的兩個因素，如何將二者巧妙的連接和貫通，并為教學所用，就需要執教者合理利用。教師應該創造條件，引導學生改變認知方式，關聯舊知、建立新知，要從學生已有的知識經驗出發，借助形與數的關系，構建新的數學知識內容。

例如，在進行人教版五下“通分”的教學伊始，筆者設計了一個情境導入新課：“爸爸買了兩塊同樣的蛋糕。爸爸吃了一塊蛋糕的[5/6]，媽媽吃了另一塊蛋糕的[2/3]，爸爸和媽媽誰吃得多？” 基于學生學習“分數的意義和性質”的相關內容，已充分掌握了運用畫圖表示分數的方法，在教師的引導下，大部分學生都能運用舊知中的方法解決新問題。一部分學生通過畫圖法成功解決了該問題：假設蛋糕是長方形的，把長方形平均分成6份，其中的5份涂上陰影，表示出爸爸吃了這塊蛋糕的[5/6]，再畫媽媽吃的[2/3]，通過觀察發現，那么媽媽吃的[2/3]即為6份中的4份，而爸爸吃的[56]即為6份中的5份，由此得出“爸爸吃的蛋糕比媽媽多”這個結論。這時，筆者也通過課件展示媽媽所吃蛋糕大小示意圖，引導學生觀察、比較后發現[2/3]＝[4/6]的結論，因為[2/3]＝[46]，所以[2/3]＜[5/6]。也就是要比較兩個異分母分數的大小時，首先要把異分母分數化為同分母分數才能比較出大小，從而引出通分的概念。在此過程中，運用直觀的圖形描述、分析數學問題，通過串聯新舊知識之間的內在聯系，促使學生領悟新知，初步孕育幾何直觀的模型。

三、化繁為簡，構建幾何直觀

化繁為簡或者化大為小是數學學習中常用的解題方法，當學生遇到一些復雜、抽象的問題時，往往因為錯綜復雜、混亂不堪的思緒而無從入手。此時，教師要引導學生想方設法從簡單直觀的知識入手，發現題目中蘊含的數學規律，再利用發現的規律去解決復雜問題。通過圖形的表達，可以化繁為簡、以退為進地解決問題，從而進行幾何直觀的素養構建。

例如，在教學人教版六下“整理與復習”中的“數學思考”時，筆者先拋出問題：一個小組10位同學進行兩兩握手游戲，一共握了幾次手？先讓學生嘗試尋找答案，學生會利用畫圖連線的方法尋求解決方案，但由于數據比較大，關系錯綜復雜，相互之間穿插頻繁，學生會有雜亂無章的感覺，產生畏難情緒。這時就需要教師引導學生進行有序思考，由淺入深、化繁為簡。首先，從2個人握手開始考慮，將人抽象為2個點，連線畫圖后得出2個點只能連成1條線段，相當于握了1次手；接著，研究3個人握手，也就是在原來2個點的基礎上又增加了一個點，通過連線畫圖后得出3個點可以連3條線段；再增加1個點，連線畫圖得出4個點可以連出6條線段；5個點可以連出10條線段。最后，把以上數據整理成表格，通過對表格中的數據推理可知：3個人兩兩握手1 + 2＝3（次），4個人1 + 2 + 3 ＝6（次），5個人1 + 2 + 3 + 4＝10（次）……以此類推，10個人1 + 2 + 3 + … +? 9 ＝??45（次）。教師引導學生畫圖連線、整理表格，觀察、感悟數據中蘊藏的規律，以此解決繁難的數學問題，進而構建幾何直觀數學素養。

四、借圖析義，建立幾何直觀

小學階段的數學問題經常借助畫線段圖來尋找解決問題的方法，幫助思維做出準確判斷。它能準確、清楚地表示題中蘊藏的數量關系，簡潔、形象地體現所要解決的問題，是一種重要的解決問題的輔助手段。面對比較復雜的數學問題，引導學生借助線段圖分析問題，鼓勵學生以形助學，嘗試畫圖，借助圖形分析數量關系，明確先求什么，再求什么。在列式解答后，讓學生再結合算式和線段圖整理解題思路，反思整個解題過程，感受畫圖策略的價值，經歷借助圖形思考問題的過程，形成初步的數學模型。

例如，在教學人教版五下“分數加減混合運算”時，教師出示題目：“一杯純牛奶，樂樂喝了一半后，覺得涼，就兌滿熱水。他又喝了一半，就出去玩了。樂樂一共喝了幾杯純牛奶？幾杯水？”教師的教學應該基于學生的經驗基礎：首先，學生的讀題能力差，遇到文字較多、邏輯交叉的題目有排斥感；其次，學生的理解基于生活化的經驗，在兌水的時候學生會想象成完全溶解在一起，無法分清哪些是水、哪些是奶，想象不出“水奶分離”的情況；最后，學生的思維架構不到題目主體，通常因無從入手而選擇性放棄。教師的教學應基于學生的經驗基礎，這時，解題策略的生成就顯得相當的重要。教師先讓學生理解“混合成一杯的水和奶，實際上是由半杯水和半杯奶組成的”這一解題的關鍵思路，引導學生根據題意畫出兌滿水后喝的水和奶的線段圖（如圖2），尋找解題策略。通過畫直觀圖等方法解決類似的生活化問題，在學生解答的同時，形成數學知識的模型，這樣通過幾何直觀建構的數學模型就有高度。

編后記

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了小學階段核心素養的11個主要表現，對數學課程教學起到指導性的作用。小學數學教師應在教學中對學生適時滲透核心素養的培育，以提升學生的數學綜合能力。本專輯的文章分別從量感和幾何直觀兩個核心素養的主要表現出發，探討核心素養的培養策略，希望能給一線教師帶來啟發。